江苏省苏州市2021届高三（10月）苏州八校联盟第一次适应性检测数学试题（解析版）

江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测
数学试题
2020．10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则A B＝
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．命题“(0，1)，”的否定是
A．(0，1)， B．(0，1)，
C．(0，1)， D．(0，1)，
3．的部分图象大致是

4．函数在x＝1处的切线方程为
A． B． C． D．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的 最大值为
A． B． C． D．
6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则的值为
A． B． C． D．
7．已知a＞0，b＞0，，则
A． B． C． D．







第11题
第6题
8．函数的值域为
A．[5，10] B．[，10] C．[7，10] D．[7，]
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下面命题正确的是
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件
C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间(，)上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则
A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数
12．关于函数，下列判断正确的是
A．x＝2是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，，且＞，若，则
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 ．
14．已知函数，则＝ ；若实数a满足，则a的取值范围是 ．
15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B
处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和
BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，
决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝(
)，为了节省建设成本，要使得 PE＋PF的值
最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝ km．
第15题
16．已知，(，)，且，则的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
（1）已知，求的值；
（2）求值：．

18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．
请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且ÐAOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．
（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；
（2）求（1）中函数的值域．





20．（本小题满分12分）
对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．












21．（本小题满分12分）
在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a＋c＝mb(m＞1)．
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．











22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设，恒成立，求a的最大值；
（2）设a＞0，讨论函数在[0，]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）











江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测
数学试题
2020．10

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则A B＝
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
答案：D
解析：∵若1AB，∴B＝{1，3}，
又∵A＝＝{0，1，2}，∴AB＝{0，1，2，3}，故选D．
2．命题“(0，1)，”的否定是
A．(0，1)， B．(0，1)，
C．(0，1)， D．(0，1)，
答案：B
解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B．
3．的部分图象大致是

答案：A
解析：首先可判断函数是奇函数，其次可判断x≠0，当x＞0时，＞0，综上，选A．
4．函数在x＝1处的切线方程为
A． B． C． D．
答案：C
解析：设切线斜率为k，首先求得切点是(1，2)，，故k＝4，根据点斜式得，y﹣2＝4(x﹣1)，即，故选C．
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的 最大值为
A． B． C． D．
答案：C
解析：由cos2B＋2sinAsinC＝1，得sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，
∴cosB＝，则B的最大值为，故选C．
6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则的值为

A． B． C． D．
答案：B
解析：∵，且，故，又0＜＜，
∴0＜＜，即∠AOB(0，)，根据S△AOB＝，得sin∠AOB＝，
，故选B．
7．已知a＞0，b＞0，，则
A． B． C． D．
答案：C
解析：∵a＞0，b＞0，，故0＜a＜1，0＜b＜1，
∴，，故，故选C．
8．函数的值域为
A．[5，10] B．[，10] C．[7，10] D．[7，]
答案：D
解析：∵，
∴，∵0≤≤1，故49≤≤50，
又≥0，∴7≤≤，故选D．
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下面命题正确的是
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件
C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
答案：AD
解析：选项A，a＞1，故A正确；
选项B，sinA＋cosA＝sinB＋cosBA＝B或A＋B＝，故B错误；
选项C，“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；
选项D，∵a≠0时，ab≠0不一定成立，而ab≠0，则a≠0一定成立，故D正确．
综上，选AD．
10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是
A．函数的值域与的值域不相同
B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象
C．函数和在区间(，)上都是增函数
D．若是函数的极值点，则是函数的零点
答案：CD
解析：，，
所以函数的值域与的值域相同，A错误，
把函数的图象向右平移个单位长度，得到，并不是函数的图象，故B错误；
选项C，D都正确，故选CD．
11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则

A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数
C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数
答案：BD
解析：OD的长度是a，b的算术平均数，CD的长度是a，b的算术平均数，DE的长度是a，b的调和平均数，FC的长度是a，b的加权平均数，故选BD．
12．关于函数，下列判断正确的是
A．x＝2是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数k，使得成立
D．对任意两个正实数，，且＞，若，则
答案：BD
解析：，，
选项A，x＝2是的极小值点，故A错误；
选项B，，，y在(0，)上单调递减，当x＝1时，y＞0，当x＝2时，y＜0，故函数有且只有1个零点，B正确；
选项C，由，当，，，知C错误；
选项D，，欲证，
则证，即证，显然成立，故D正确，故选BD．
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 ．
答案：(﹣1，2)
解析：∵不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，
∴a＜0，，
∵，
∴﹣1＜x＜2，解集为(﹣1，2)．
14．已知函数，则＝ ；若实数a满足，则a的取值范围是 ．
答案：2；(，﹣1]
解析：，
，∴，解得a≤﹣1．
15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝()，为了节省建设成本，要使得 PE＋PF的值最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝ km．

答案：4
解析：由PE＋PF＝，由权方和知，
故AE＝8tan＝4．
16．已知，(，)，且，则的最大值为 ．
答案：﹣4
解析：由已知齐次化得，
故．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
（1）已知，求的值；
（2）求值：．
解：（1）由可得：且，
所以，
即.
（2） 因为


18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．
请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选择①
由正弦定理可将化为：
又，所以
所以
即，
，
所以（当时取到等号）
所以面积的最大值为2.
若选择②
由正弦定理可将化为：
又，所以
所以
即，

又，
又由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号）

所以面积的最大值为.
若选择③
因为，所以
（当且仅当时取等号）
又由余弦定理得：
（当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）
所以面积的最大值为.
19．（本小题满分12分）
如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且ÐAOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．
（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；
（2）求（1）中函数的值域．

解：（1）∵OE=1，EF=
∴∠EOF=60°
当∈[，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，
且AE=tan ,BE=tan(45°+ )
∴f()=S△AOB=[tan(45°+ )－tan ]
==
当∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=
∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°
=
综上得：f()=
（2）由（1）得：当∈[0，]时
f()= ∈[,－1]
且当=0时，f()min=；=时，f()max=－1；
当∈时,－≤2 －≤，f（）=∈[－,]
且当=时，f() min=－；当=时，f() max=
所以f() ∈[,]．
20．（本小题满分12分）
对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解：（1）当f(x)=ax2+2x-4a(a∈R)时，
方程f(x)+f(-x)=0即有解x=±2，
所以f(x)为“局部奇函数”．
（2）当f(x)=4x-m2x+1+m2-3时，f(x)+f(-x)=0可化为
4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0．
设t=2x+2-x∈[2,+∞)，则4x+4-x=t2-2，
从而t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”．
令F(t)=t2-2mt+2m2-8，
1° 当F(2)≤0，t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解，
由F(2)≤0，即2m2-4m-4≤0，解得1-3≤m≤1+3；
2° 当F(2)>0时，t2-2mt+2m2-8=0在[2,+∞)有解等价于
Δ=4m2-4(2m2-8)≥0,m>2,F(2)>0解得1+3 （说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为1-3≤m≤22．
21．（本小题满分12分）
在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；
（2）若a＋c＝mb(m＞1)．
（i）证明：；（可能运用的公式有）
（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．
解：（1）因为，
所以由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号）
又，
所以角B的最大值为.
（2）（i）由及正弦定理得，
所以
（或者由可得上式）
因为，所以有，
展开整理得，
故，
（ii）由及半角正切公式可得
，
对其展开整理得


即，
即，即
与原三角式作比较可知存在且．
22．（本小题满分12分）
已知函数，，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设，恒成立，求a的最大值；
（2）设a＞0，讨论函数在[0，]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）
解：（1）设函数，
所以，令得，（a>0）
且当时，；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
因为要使得恒成立，只要恒成立
即 ①
设，且
，在上单调递减
又，，
且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3.
（2），
设，则，
因为，所以在内必存在唯一的实数，使得
所以为增函数
，，为减函数
（说明单调性同样给分）
下面先证明：.
因为，所以，
（法一）当时，有，（不证明不扣分）
，

下证，即证，即证.

.
（法二）当时，有，（不证明不扣分）
，
下证，令，则
即证，即证
令，则
为单调递增函数
当时，
.
（法三）欲证，即证
因为，所以只需证，
即证，
即证
即证，又
只需证，即证
即证
又，所以显然成立.
.

接下来，求函数在上的零点个数
，且函数在上单调递减
在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1
最后，求函数在上的零点个数
，且函数在上单调递增
当时，，所以函数在上没有零点，
即函数在上的零点个数为0
当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数在上的零点个数为1
综上所述：当时，在上的零点个数为1 ；
当时，在上的零点个数为2 .