2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第2章5第5讲　指数与指数函数

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第5讲　指数与指数函数

1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
(2)根式的性质
①()n＝a(n∈N*，且n>1)．
②＝
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象及性质

函数
y＝ax(a>0，且a≠1)

图象
0 a>1

图象特征
在x轴上方，过定点(0，1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降
当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
单调性
减
增
函数值
变化
规律
当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；
当x<0时，0 当x>0时，0 当x>0时，y>1

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)＝π－4.(　　)
(2)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)
(3)(－1)＝(－1)＝.(　　)
(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　)
(5)若am>an，则m>n.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
(教材习题改编)有下列四个式子：
① ＝－8；② ＝－10；
③ ＝3－π；④＝a－b.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　 B．2
C．3　　　　 D．4
解析：选A.①正确，＝|－10|＝10，②错误；
＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，＝|a－b|＝，故选A.
(2018·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1 D．y＝log2(2x)
解析：选A.由f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝，知(1，1)不在y＝的图象上．
函数f(x)＝的值域为________．
解析：由1－ex≥0，ex≤1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．
所以0 函数f(x)的值域为[0，1)．
答案：[0，1)
(教材习题改编)若指数函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．　
解析：由题意知0 得－答案：(－，－1)∪(1，)

　　　　　　指数幂的化简与求值[学生用书P23]
[典例引领]
化简下列各式：
(1)0.027－－＋－(－1)0；
(2)·(－3a－b－1)÷(4ab－3)·.
【解】　(1)原式＝－72＋－1
＝－49＋－1＝－45.
(2)原式＝÷(2ab－)·ab
＝－a－b－·ab＝－b－1＝－.

[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　
[通关练习]
1．化简(x<0，y<0)得(　　)
A．2x2y B．2xy
C．4x2y D．－2x2y
解析：选D.因为x<0，y<0，所以4＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.
2．化简下列各式：
(1)(0.027)＋－；
(2)·.
解：(1)原式＝0.32＋－
＝＋－＝.
(2)原式＝
＝＝.

　　　　　　指数函数的图象及应用
[典例引领]
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0 (2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为________．
【解析】　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0 (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．
【答案】　(1)D　(2){0}∪[1，＋∞)

1.若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________．
解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>0.

答案：(0，＋∞)
2.若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．
解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．

由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
3.若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？
解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．

指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．　
[通关练习]
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．
2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
解析：(1)当0 (2)当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a>1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0
答案：

　　　　　　指数函数的性质及应用(高频考点)
指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)比较指数幂的大小；
(2)解简单的指数方程或不等式；
(3)研究指数型函数的性质．
[典例引领]
角度一　比较指数幂的大小
已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．c C．a 【解析】　把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，>>，所以<<，即b 【答案】　B角度二　解简单的指数方程或不等式
设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3，1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【解析】　当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即<8，即<，
因为0<<1，所以a>－3，此时－3 故a的取值范围是(－3，1)，故选C.
【答案】　C
角度三　研究指数型函数的性质
已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】　(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，
单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指数函数的性质知，
要使y＝的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)
故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.

有关指数型函数性质的常考题型及求解策略

题型
求解策略
比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
解简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质
与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
　
[通关练习]
1．函数y＝()x2＋2x－1的值域是(　　)
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0，4] D．[4，＋∞)
解析：选C.设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.
因为0<<1，
所以y＝()t为关于t的减函数．
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，
所以0 故所求函数的值域为(0，4]．
2．(2018·河南南阳、信阳等六市模拟)已知a、b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1 A．0 C．1 解析：选C.因为x>0时，11.
因为x>0时，bx0时，>1.
所以>1，所以a>b.
所以1 3．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．
解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间上单调递减，
故有－≥9，解得m≤－18.
所以m的取值范围为(－∞，－18]．
答案： (－∞，－18]

与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．
指数函数的图象与性质
(1)利用性质判断
根据指数函数y＝ax的图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数值(正负)等．
(2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小．
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域
(1)y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域．
(2)求y＝af(x)和y＝f(ax)的值域的解法．
①形如y＝af(x)的值域，要先令u＝f(x)，求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的
值域．若a的取值范围不确定，则需要对a进行分类讨论：当01时，y＝au为增函数．
②形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)的单调性确定y＝f(ax)的值域．
与指数函数有关的复合函数的单调性
利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．
(2)若0 易错防范
(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0 (2)在解形如a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．化简4a·b－÷的结果为(　　)
A．－　 B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C.原式＝4÷a－(－)b－－
＝－6ab－1＝－，故选C.
2．(2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A.因为f(x)＝3x－，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－＝－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数，所以f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.
3．(2018·湖北四市联考)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　)

解析：选B.y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B.
4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　)
A．[，2) B．[，2]
C．(－∞，] D．[2，＋∞)
解析：选B.因2x2＋1≤＝24－2x，则x2＋1≤4－2x即x2＋2x－3≤0.所以－3≤x≤1.
所以≤y≤2.
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选B.由f(1)＝得a2＝.
又a>0，
所以a＝，因此f(x)＝.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
6．化简：＋2－2×－(0.01)0.5＝________．
解析：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
答案：
7．(2018·陕西西安模拟)若函数f(x)＝ax－2－2a(a>0，a≠1)的图象恒过定点，则函数f(x)在[0，3]上的最小值等于________．
解析：令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2，1－2a)，因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝－，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0，3]上的最小值为f(3)＝－.
答案：－
8．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．
解析：①当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得无解．
②当0 答案：－
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．
解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝是单调递减的，
因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，
且＝，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，从而a＝2.
10．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
解：(1)因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
所以－b≤2，b≥－2.
②当0 所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.

1．(2018·河南濮阳检测)若“m>a”是函数“f(x)＝＋m－的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为(　　)
A．－2　　　B．－1　　 C．0　　　D．1
解析：选B.因为f(0)＝m＋，所以函数f(x)的图象不过第三象限等价于m＋≥0，即m≥－，所以“m>a”是“m≥－”的必要不充分条件，所以a<－，则实数a能取的最大整数为－1.
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析：选D.设2x＝3y＝5z＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，所以2x>3y；因为3y－5z＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以3y<5z；因为2x－5z＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故选D.
3．若不等式(m2－m)2x－<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：(m2－m)2x－<1可变形为m2－m<＋.
设t＝，则原条件等价于不等式m2－m 答案：(－2，3)
4．已知函数f(x)＝设a>b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是________．
解析：画出函数图象如图所示，
由图象可知要使a>b≥0，
f(a)＝f(b)同时成立，
则≤b<1.
b·f(a)＝b·f(b)＝b(b＋1)
＝b2＋b＝－，
所以≤b·f(a)<2.
答案：
5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
所以t2－2t>－2t2＋1即3t2－2t－1>0.
解得t>1或t<－，所以该不等式的解集为{t|t>1或t<－}．
6．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤2)．
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值．
解：(1)f(x)＝－＋3＝()2x－2λ·()x＋3(－1≤x≤2)．
设t＝()x，
得g(t)＝t2－2λt＋3(≤t≤2)．
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3
＝(t－)2＋(≤t≤2)．
所以g(t)max＝g()＝，
g(t)min＝g()＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为[，]．
(2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3
＝(t－λ)2＋3－λ2(≤t≤2)，
①当λ≤时，
g(t)min＝g()＝－＋，
令－＋＝1，得λ＝>，
不符合舍去；
②当<λ≤2时，
g(t)min＝g(λ)＝－λ2＋3，
令－λ2＋3＝1，得λ＝(λ＝－<，不符合舍去)；
③当λ>2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝<2，不符合舍去．
综上所述，实数λ的值为.