2020版高考数学（理）新创新一轮复习通用版讲义：第四章第七节正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理

1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形形式(边角转化)
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
可解决的问题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
(1)已知三边，求各角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
[熟记常用结论]
1．在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝.
2．在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
3．在△ABC中，∠A＞∠B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
4．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.(　　)
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．(　　)
(3)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.(　　)
(4)在△ABC中，a2＋b2＜c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．(　　)
(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
二、选填题
1．在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b等于(　　)
A．2　　　　　　　　 B．12
C．2 D．28
解析：选A　由b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝4＋16－8＝12，所以b＝2.
2．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A. B.
C. D．1
解析：选B　根据＝，有＝，得sin B＝.故选B.
3．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
解析：选C　由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝＞1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．故选C.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝________.
解析：易知cos A＝＝＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
答案：
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
答案：2
6．已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则c＝________.
解析：∵a＝1，b＝，A＝30°，
∴由a2＝b2＋c2－2bccos A得1＝3＋c2－3c，
即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
答案：1或2

考点一利用正、余弦定理解三角形[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2019·莆田联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则B＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
①求角A的大小；
②若cos B＝，a＝3，求c的值．
[解析]　(1)∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，
∴由正弦定理得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，
即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B.
∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角，∴B＝，故选A.
(2)①由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
②由①可知sin A＝，
因为cos B＝，B为△ABC的内角，所以sin B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得c＝＝＝1＋.
[答案]　(1)A
[解题技法]
正、余弦定理的应用技巧
(1)解斜三角形时，主要应用正弦定理和余弦定理，这两个定理应用时要注意区分．如果已知条件中边较多，常用余弦定理求解；如果要用正弦定理，题目条件中必须出现已知角．
(2)解斜三角形中最典型的是边边角问题，一般是先用正弦定理求出一个角的正弦值，如sin A＝x.①若sin A＝1，则∠A＝90°；②若sin A＞1，矛盾无解；③若0＜sin A＜1，可能有两解，也可能只有一解．需要比较两个边的大小，用“大边对大角”来确定A是两解或者一解．
(3)在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚综合题，正弦定理来统一”．
　　　　　[口诀记忆]
斜三角形把我问，两个定理有区分；
余弦定理多见边，正弦定理角必现；
边边角，解难辨，正弦值，先计算；
等于1，九十度，大于1，矛盾出；
小于1时怎么办？利用大角对大边；
边角会聚综合题，正弦定理来统一．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B.
C. D．2
解析：选A　∵cos＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝4.
2．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝，若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，则A＝________.
解析：在△ABC中，由sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A可得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A，即sin Acos B＋cos Asin B＋cos Asin B－sin Acos B＝4sin Acos A，∴cos Asin B＝2sin Acos A，即cos A(sin B－2sin A)＝0，即cos A＝0或sin B＝2sin A，
①当cos A＝0时，A＝；
②当sin B＝2sin A时，根据正弦定理得b＝2a，
由余弦定理c2＝b2＋a2－2abcos C，结合c＝2，C＝，
得a2＋b2－ab＝4，
∴a＝，b＝，∴b2＝a2＋c2，
∴B＝，∴A＝.
综上可得，A＝或.
答案：或
3．(2019·开封模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C.
(1)求C；
(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．
解：(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，
所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.
由余弦定理得cos C＝＝－，
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由(1)知C＝，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋(2)2－2×2×2×＝20，所以c＝2.
由正弦定理＝，得＝，
解得sin B＝，从而cos B＝.
设BC的垂直平分线交BC于点E，
因为在Rt△BDE中，cos B＝，
所以BD＝＝＝，
因为点D在线段BC的垂直平分线上，
所以CD＝BD＝.
考点二与三角形面积有关的问题[师生共研过关]
[典例精析]
(2019·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c.
(1)求B；
(2)若b＝2，a＋c＝，求△ABC的面积．
[解]　(1)由正弦定理，知2sin Bcos C＝2sin A＋sin C，
由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2(sin Bcos C＋cos Bsin C)＋sin C，即2cos Bsin C＋sin C＝0.
因为sin C≠0，所以cos B＝－.
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可知b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，
因为b＝2，a＋c＝，
所以22＝()2－2ac－2accos，得ac＝1.
所以S△ABC＝acsin B＝×1×＝.
[解题技法]
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
2．(2019·沈阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝5，B＝，△ABC的面积为，则cos 2A＝________.
解析：由三角形的面积公式，得S△ABC＝acsin B＝×a×5×sin＝××5a＝，解得a＝3.由b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－2×3×5×＝49，得b＝7.又由＝⇒sin A＝sin B＝sin＝，∴cos 2A＝1－2sin2A＝1－2×2＝.
答案：
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos A＝(2c－a)cos B.
(1)求B；
(2)若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由bcos A＝(2c－a)cos B，
得2ccos B＝bcos A＋acos B.
由正弦定理可得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，
因为sin C≠0，所以cos B＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
(2)因为S△ABC＝acsin B＝，所以ac＝4.
又13＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
所以a2＋c2＝17，
所以a＋c＝5，
故△ABC的周长为5＋.
考点三平面图形中的计算问题[师生共研过关]
[典例精析]

(2019·佛山质检)如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝(负值舍去)，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin θ＝，即sin∠CAD＝.
[解题技法]
平面图形中计算问题的解题关键及思路
求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
[过关训练]
(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos ∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
所以sin ∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，
所以cos ∠ADB＝ ＝.
(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理，
得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25，
所以BC＝5.

一、题点全面练
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则B的大小为(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
解析：选B　由正弦定理知，＝，
∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sin Asin B，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.
又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)，故选C.
3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选D　由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，则sin A＝.
由b2＝ac，得sin2B＝sin Asin C，∴＝，
∴＝＝＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C　∵＝，
∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
5．(2019·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)
A．5＋ B．12
C．10＋ D．5＋2
解析：选A　在△ABC中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.
6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则CD＝________.
解析：设BD＝x，过点E作EF⊥AB于点F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝x，∵tan θ＝，∴tan 2θ＝，∴在Rt△EFD中，EF＝xsin 2θ，DF＝xcos 2θ，∵＝，∴＝，∴tan 2θ＝＝，解得x＝，∴AD＝，∴CD＝.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．
解析：∵＝，由正弦定理可知＝⇒tan A＝tan B，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos 2B＝－cos C＝－＝1－2sin2B，解得sin B＝，cos B＝，tan B＝.
∵AB＝c＝3，∴C到AB的距离h＝×tan B＝×＝，∴△ABC的面积为×AB×h＝.
答案：
8．(2019·菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝________.
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2.
答案：2
9．(2019·惠州调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，
∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0，
∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，
又0°＜B＜180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，
又0°＜C＜180°，∴C＝120°.
(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，
又a＞0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，
∴△ABC的面积为.
10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解：(1)由题设得acsin B＝，
即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝，
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.
所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，
解得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．在△ABC中， 若＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D　由已知＝＝＝，得＝或＝0，即＝或C＝90°.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，∴＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A. B.或
C. D.
解析：选D　∵b＝a，∴由正弦定理可得sin B＝sin Acos C＋sin Asin C．又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，∴cos Asin C＝sin Asin C．由sin C≠0，可得sin A＝cos A，∴tan A＝.由A为三角形内角，可得A＝.∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得sin C＝＝，∴由c＜a，可得C＝，故选D.
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与数列交汇]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选C　∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，
∴S△ABC＝acsin B＝，故选C.
4．[与三角函数交汇]已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)·cos(π＋x)－.
(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－
＝－sin 2x－
＝－sin，
∴2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
(2)由(1)知f(x)＝－sin，
∴f(A)＝－sin＝－1，
∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，
∴－＜2A－＜，
∴2A－＝，即A＝.
又bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
(三)素养专练——学会更学通
5．[数学运算]已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos∠BCA＝a，点M在线段AB上，且∠ACM＝∠BCM.若b＝6CM＝6，则cos∠BCM＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设∠ACM＝∠BCM＝θ，则∠BCA＝2θ.又a＝bcos∠BCA，b＝6CM＝6，∴a＝6cos 2θ，CM＝1.则由面积关系S△ACM＋S△BCM＝S△ABC，得×6×1×sin θ＋×1×6cos 2θ×sin θ＝×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0.∵0＜θ＜，∴cos θ＝，故选B.
6．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　设AB＝2，AD＝x，又AB＝AC，所以CD＝2－x.由黄金分割点的定义可得AD2＝AC·CD，即x2＝2·(2－x)，解得AD＝－1.在△ABD中，由余弦定理得cos 36°＝＝＝.故选B.
7.[直观想象、数学运算]如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.
(1)求∠ACP；
(2)若△APB的面积是，求sin∠BAP.
解：(1)在△APC中，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，
由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC，
所以22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos 60°，
整理得AP2－4AP＋4＝0，
解得AP＝2，
所以AC＝2，
所以△APC是等边三角形，
所以∠ACP＝60°.
(2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°，
因为△APB的面积是，
所以·AP·PB·sin∠APB＝，
所以PB＝3.
在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos∠APB＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，
所以AB＝.
在△APB中，由正弦定理得＝，
所以sin∠BAP＝＝.