2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：选修4-4第二节　参数方程 学案

第二节　参 数 方 程

2019考纲考题考情

1．参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程

过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段的数量。

3．圆的参数方程

圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为(α为参数)α∈[0,2π)。

4．椭圆的参数方程

以椭圆的离心角θ为参数，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)，θ∈[0,2π)。

1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离。

一、走进教材

1．(选修4－4P26T4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________。

解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0。

答案　x－y－1＝0

2．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值。

解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，

椭圆C的普通方程为＋＝1，

所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，

若直线l过(3,0)，则3－a＝0，所以a＝3。

二、走出误区

微提醒：①不注意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。

3．若曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是(　　)

A．直线x＋2y－2＝0

B．以(2,0)为端点的射线

C．圆(x－1)2＋y2＝1

D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段

解析　将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故选D。

答案　D

4．已知直线(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝(　　)

A．|t1＋t2|   B．|t1－t2|

C.|t1－t2|   D.

解析　依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB|＝

＝|t1－t2|。故选C。

答案　C

5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________。

解析　由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①。

又消去t，得y2＝8x②。

联立①②得即交点坐标为(2，－4)。

答案　(2，－4)

　考点一    参数方程与普通方程的互化　　　　　  　　　　　  　　　　

　【例1】　把下列参数方程化为普通方程。

(1)(t为参数)。

(2)(θ为参数，θ∈[0,2π))。

解　(1)由已知得t＝2x－2，

代入y＝5＋t中得y＝5＋(2x－2)。

即它的普通方程为x－y＋5－＝0。

(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，

即y＝1－x2。又因为|sinθ|≤1，

所以其普通方程为y＝1－x2(|x|≤1)。

将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普

通方程与参数方程的等价性。参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。

【变式训练】　在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝m。

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围。

解　(1)由曲线C1的参数方程为

(α为参数)，可得其普通方程为y＝x2(－2≤x≤2)，

由曲线C2的极坐标方程为ρsin＝m，可得其直角坐标方程为x－y＋m＝0。

(2)联立曲线C1与曲线C2的方程，

可得x2－x－m＝0，

所以m＝x2－x＝2－，

因为－2≤x≤2，曲线C1与曲线C2有公共点，

所以－≤m≤6。

考点二  直线参数方程的应用

【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)。

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率。

解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1。

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1。

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0。

又由①得t1＋t2＝－，

故2cosα＋sinα＝0，

于是直线l的斜率k＝tanα＝－2。

1．直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离。

2．根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：

(1)若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|。

(2)若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1＋t2＝0。

(3)设线段M1M2的中点为M，则点M对应的参数为tM＝。

【变式训练】　(2019·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|。

解　(1)由ρsin2θ＝4cosθ，

可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，

所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x。

(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，

整理得4t2＋8t－7＝0，

所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－，

所以|AB|＝|t1－t2|＝× ＝×＝。

考点三  圆与椭圆参数方程的应用

【例3】　(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)。

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a。

解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1。当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0。

由解得或

从而C与l的交点坐标为(3,0)，。

(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，

故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为

d＝＝，

其中sinφ＝，cosφ＝。

当a≥－4时，d的最大值为。

由题设得＝，所以a＝8；

当a<－4时，d的最大值为。

由题设得＝，所以a＝－16。

综上，a＝8或a＝－16。

椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。

【变式训练】　(2019·安徽质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，C1与C2相交于A，B两点。

(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；

(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围。

解　(1)由题意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，

C2：x－y＝0。联立

解得A(－1，－1)，B(1,1)或A(1,1)，B(－1，－1)。

(2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα)，

不妨设A(－1，－1)，B(1,1)，

则|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8sin，

所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为

[16－8，16＋8]。

考点四  求曲线的参数方程

【例4】　在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点。

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。

解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1。

当α＝时，l与⊙O交于两点。

当α≠时，记tanα＝k，

则l的方程为y＝kx－。

l与⊙O交于两点当且仅当<1，

解得k<－1或k>1，

即α∈或α∈。

综上，α的取值范围是。

(2)l的参数方程为。

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0。

于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα。

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

。

求曲线的参数方程最为关键的一点是根据题意合理恰当地选择参数，比如本题选择了直线的倾斜角α为参数，并且也要注意参数的取值范围。

【变式训练】　如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程。

解　圆的半径为，

记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，

故xP＝＋cos2θ＝cos2θ，

yP＝sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)。

所以圆的参数方程为(θ为参数)。

1．(配合例2使用)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin。

(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；

(2)设圆C与直线l交于A，B两点，若P点的直角坐标为(2,1)，求||PA|－|PB||的值。

解　(1)易得直线l的普通方程为y＝x－1。

因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0(或写成(x－2)2＋(y－2)2＝8)。

(2)点P(2,1)在直线l上，且在圆C内，把代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－t－7＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－7<0，即t1，t2异号，

所以||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝。

2．(配合例3使用)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝(0≤θ≤π)。

(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值。

解　(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0。

由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，

所以曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1(0≤y≤1)。

(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(cosα，sinα)，α∈[0，π]，

则点P到曲线C1的距离d＝＝

。

因为α∈[0，π]，所以cos∈，

2cos∈[－2，]，

由点P到曲线C1的最小距离为2得，

若m＋<0，则m＋＝－4，即m＝－4－。

若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6。

若m－2<0，m＋>0，当|m＋|≥|m－2|，即m≥时，－m＋2＝4，即m＝－2，不合题意，舍去；

当|m＋|<|m－2|，即m<时，m＋＝4，即m＝4－，不合题意，舍去。

综上，m＝－4－或m＝6。