2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第三章第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学案

第三节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2019考纲考题考情

1．两角和的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

(3)tan(α＋β)＝。

2．两角差的正弦、余弦、正切公式

(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)。

(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)。

(3)＝tan(α－β)。

3．二倍角公式

(1)sin2α＝2sinαcosα。

(2)cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α。

(3)tan2α＝。

4．常用公式的变化形式

(1)asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，

其中cosφ＝，sinφ＝

或asinx＋bcosx＝cos(x－θ)，

其中cosθ＝，sinθ＝。

(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)。

(3)＝tan。

(4)＝tan。

1．两角和与差的正切公式的变形：

tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)。

2．二倍角余弦公式的变形：

sin2α＝，cos2α＝。

3．一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)。

一、走进教材

1．(必修4P131练习T5改编)计算：sin108°cos42°－cos72°·sin42°＝________。

解析　原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝。

答案　

2．(必修4P137A组T5改编)已知sin＝，α∈，则sinα的值为(　　)

A． B．

C． D．

解析　因为α∈，所以α－∈，cos>0，cos＝＝，所以sinα＝sin＝sincos＋cos·sin＝×＋×＝。故选D。

答案　D

二、走近高考

3．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________。

解析　tan＝＝＝，解得tanα＝。

解析：因为tan＝，所以tanα＝tan＝＝＝。

答案　

三、走出误区

微提醒：①不会逆用公式找不到思路；②不会合理配角出错；③忽视角的范围，用错公式。

4．化简：＝________。

解析　原式＝＝＝＝。

答案　

5．若tanα＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝________。

解析　tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝。

答案　

6．已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝________。

解析　sin＝，得sinθ－cosθ＝①，θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，所以sinθ＝，cosθ＝，所以tanθ＝，tan2θ＝＝－。

解析：因为θ∈且sin＝，所以cos＝，所以tan＝＝，所以tanθ＝，故tan2θ＝＝－。

答案　－

考点一  公式的基本运用

【例1】　(1)(2019·贵阳市监测考试)sin15°＋cos15°的值为(　　)

A．　　　B．－

C．　　　D．－

(2)(2019·贵阳市监测考试)sin415°－cos415°＝(　　)

A．　　　B．－

C．　　　D．－

(3)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________。

解析　(1)sin15°＋cos15°＝sin60°＝。故选A。

解析：sin15°＋cos15°＝＝＝＝。

(2)sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－。故选D。

(3)因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。

答案　(1)A　(2)D　(3)－

1．使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征。

2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值。

【变式训练】　(1)已知sinα＝，α∈，则cos的值为(　　)

A． B．

C． D．

(2)计算的值为________。

解析　(1)因为sinα＝，α∈，所以cosα＝，sin2α＝2sinαcosα＝2××＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝，所以cos＝×－×＝。故选A。

(2)＝＝＝＝。

答案　(1)A　(2)

考点二  公式的逆用与变形

【例2】　(1)若α＋β＝－，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________。

(2)(2019·四省八校双教研联盟联考)f(x)＝×(1＋tanx)的最小正周期为______。

解析　(1)tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ，所以1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2。

(2)f(x)＝×(1＋tanx)＝×＝×＝2(cosx＋sinx)＝4sin，则最小正周期T＝2π。

答案　(1)2　(2)2π

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形。公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力。

【变式训练】　(1)sin42°cos18°－cos138°cos72°＝________。

(2)(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝________。

解析　(1)sin42°cos18°－cos138°cos72°＝sin42°cos18°＋cos42°sin18°＝sin(42°＋18°)＝sin60°＝。

(2)(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°tan25°＝2，同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2，所以原式＝4。

答案　(1)　(2)4

考点三  角的变换问题

【例3】　(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－。

(1)求cos2α的值；

(2)求tan(α－β)的值。

解　(1)cos2α＝＝＝＝－。

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)。

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2。因为tanα＝，

所以tan2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－。

1．解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示。①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角” 有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系。

2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等。

【变式训练】　(1)(2019·南充模拟)已知α∈，β∈，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝________。

(2)(2019·河南濮阳一模)设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝________。

解析　(1)因为已知α∈，β∈，且cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝，则sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×－×＝。

(2)因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°。又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－。所以sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝×＝。

答案　(1)　(2)

1．(配合例1使用)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(　　)

A．－　 　 B．－

C．　 　 　D.

解析　由f′(x)＝cosx＋sinx，所以f′(α)＝cosα＋sinα。由f′(α)＝3f(α)，得cosα＋sinα＝3sinα－3cosα，所以2sinα＝4cosα，即tanα＝2。所以tan2α＝＝＝－。故选A。

答案　A

2．(配合例2使用)已知atanα＋b＝(a－btanα)tanβ，且α＋与β的终边相同，则的值为(　　)

A． B．

C． D．

解析　已知等式可化为atanα＋b＝atanβ－btanα·tanβ，即b(1＋tanα·tanβ)＝a(tanβ－tanα)，所以＝＝tan(β－α)，又因为α＋与β的终边相同，即β＝2kπ＋α＋(k∈Z)，所以tan(β－α)＝tan＝tan＝，即＝，故选B。

答案　B

3．(配合例3使用)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－。

(1)求sinα；

(2)求2α＋β。

解　(1)因为所以sin2α＝，

又因为α为锐角，所以sinα＝。

(2)因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝－<0。

所以α＋β∈，

所以sin(α＋β)＝＝。

由(1)可知sinα＝，cosα＝，

所以sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝0，

又因为α∈，α＋β∈，

所以2α＋β∈，所以2α＋β＝π。

以黄金分割为背景的三角函数求值

众所周知，≈0.618叫做黄金分割比，黄金分割最早起源于几何学，是古希腊数学家毕达哥拉斯最早发现的。黄金分割的定义：把任一线段分割成两段，使＝，如图，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。

设此黄金比为x，不妨设全段长为1，则大段长为x，小段长为1－x，故有＝，即x2＋x－1＝0，解得x＝，其正根为x＝≈0.618 034 0≈0.618为黄金分割比。

【典例】　公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝(　　)

A．8 B．4

C．2 D．1

【解析】　由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，＝＝＝＝2。故选C。

【答案】　C

黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这种“分割”在视觉上给人极大的愉悦感，非常难得，如黄金一样珍贵。黄金分割比是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐。