2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第三章第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 学案

第三章  三角函数、解三角形

第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

2019考纲考题考情

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z。

2．弧度与角度的互化

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝。

(3)角度与弧度的换算

①1°＝rad；②1 rad＝°。

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝lr＝|α|·r2。

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念

(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广

设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝，cosα＝，tanα＝。

一、走进教材

1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案　－　二

2．(必修4P15练习T2改编)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________。

解析　由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－，cosθ＝，所以2cosθ－sinθ＝2×－＝。

答案　

3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度。

答案　

二、走近高考

4．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是(　　)

A． B．

C． D．

解析　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得<x<y，所以x<0，y>0，所以P所在的圆弧是。故选C。

答案　C

三、走出误区

微提醒：①终边相同的角理解出错；②三角函数符号记忆不准；③求三角函数值不考虑终边所在象限。

5．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)

解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确。故选C。

答案　C

6．若sinα<0，且tanα>0，则α是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

解析　由sinα<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tanα>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角。故选C。

答案　C

7．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα<0，则tanα＝________。

解析　如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝＝＝－1。

答案　－1

考点一  象限角及终边相同的角的表示

【例1】　(1)设θ是第三象限角，且＝－cos，则是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________。

解析　(1)因为θ是第三象限角，所以π＋2kπ<θ<＋2kπ(k∈Z)，故＋kπ<<＋kπ(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第二象限角；当k＝2n＋1时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，是第四象限角，又＝－cos，即cos<0，因此是第二象限角。

(2)因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°。

答案　(1)B　(2)150°

1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角。

2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。

【变式训练】　(1)设集合M＝，N＝，那么(　　)

A．M＝N B．M⊆N

C．N⊆M D．M∩N＝∅

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________。

解析　(1)由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N。故选B。

解析：由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N。故选B。

(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，所以，所求角的集合为。

答案　(1)B　(2)

考点二  弧度制及其应用

【例2】　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l。若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积。

解　由已知得α＝，R＝10，所以S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)。

【互动探究】　(1)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积。

(2)若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解　(1)l＝α·R＝×10＝(cm)，

S弓形＝S扇形－S三角形

＝·l·R－·R2·sin

＝··10－·102·

＝(cm2)

(2)由已知得，l＋2R＝20。

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad。

应用弧度制解决问题的方法

1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度。

2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决。

3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形。

【变式训练】　若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________。

解析　设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以其圆心角的弧度数是＝。

答案　

考点三  三角函数的定义及应用微点小专题

方向1：三角函数的定义

【例3】　(1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sinα＋cosα的值为(　　)

A． B．

C． D．

(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。

解析　(1)因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4,2)，且角α的终边过点P，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sinα＝，cosα＝，所以sinα＋cosα＝＋＝。选D。

(2)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。

答案　(1)D　(2)－

三角函数定义主要应用于两方面

1．已知角的终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离，然后用三角函数定义求解三角函数值。特别地，若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。

2．已知角α的某个三角函数值，可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题。

方向2：三角函数值的符号

【例4】　(1)使lg(sinθ·cosθ)＋有意义的θ为(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角

C．第三象限角 D．第四象限角

(2)若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋＝________。

解析　(1)由题意知sinθ·cosθ>0且－cosθ≥0，由sinθ·cosθ>0，知θ为第一、三象限角，又由－cosθ≥0，即cosθ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上，所以可知θ为第三象限角。故选C。

(2)因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限。当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0。所以＋＝0。

答案　(1)C　(2)0

要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号。如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解。

方向3：三角函数线的应用

【例5】　函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为________________。

解析　要使原函数有意义，必须有：即如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为。

答案　

三角函数线的应用问题的求解思路

确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，则tan的值为(　　)

A．3 B．

C．－ D．－3

解析　因为P(m，－2m)(m≠0)是角α终边上的一点，所以tanα＝－2。所以tan＝＝＝－。故选C。

答案　C

2．(方向2)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

解析　由题意知tanα<0，cosα<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限。故选B。

答案　B

3．(方向3)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是(　　)

A．sinα<tanα<cosα B．cosα<sinα<tanα

C．sinα<cosα<tanα D．tanα<sinα<cosα

解析　如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα。故选C。

答案　C

1．(配合例1使用)如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用弧度制表示)。

解　在0～2π范围内，终边落在直线y＝x上的角有两个，分别是和π，即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是，π。

因此，所有与终边相同的角的集合是S＝，所有与π终边相同的角的集合是T＝。

所以，终边落在直线y＝x上的角的集合为

S∪T＝∪＝∪＝。

2．(配合例2使用)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长，则其圆心角的弧度数是________。

解析　设圆的半径为r，则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r，一条直角边长为r，所以周长为2r＋2r，所以圆弧所对圆心角的弧度数是＝2＋2。

答案　2＋2

3．(配合例2使用)若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是________。

解析　设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝18，即l＝18－2r，所以扇形面积S＝l·r＝(18－2r)·r＝－r2＋9r，当r＝时，S取得最大值，此时l＝18－2r＝9，所以圆心角的弧度数是＝＝2。

答案　2

4．(配合例3使用)已知A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点O，半径为1)上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转到OB，OB交单位圆于点B(xB，yB)，已知m>0，若myA－2yB的最大值为3，则m＝________。

解析　设∠xOA＝α，由三角函数的定义，得yA＝sinα，yB＝sin，则myA－2yB＝msinα－2sin＝(m－1)sinα－cosα，其最大值为＝3，又m>0，所以m＝＋1。

答案　＋1