数学2.2 基本不等式第1课时课堂检测
展开1.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则ba+ab≥2ba·ab=2
B.若x>0,则x-1+1x-1≥2(x-1)·1x-1=2
C.若x<0,则x+4x≤2x·4x=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则ba+ab=--ba--ab≤-2-ba·-ab=-2
2.已知a>0,b>0,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )
A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b
3.已知m=a+1a-2(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2
A.m>nB.m≥nC.m=nD.m≤n
4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有( )
A.最大值25B.最大值50C.最小值25D.最小值50
5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2B.22C.4D.5
6.若x>0,y>0,且xy=10,则2x+5y的最小值为 .
7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是 .
8.已知a>3,则4a-3+a-316的最小值为 .
9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)23.
参考答案
1.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a,b∈R,则ba+ab≥2ba·ab=2
B.若x>0,则x-1+1x-1≥2(x-1)·1x-1=2
C.若x<0,则x+4x≤2x·4x=4
D.若a,b∈R,且ab<0,则ba+ab=--ba--ab≤-2-ba·-ab=-2
答案:D
2.已知a>0,b>0,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是( )
A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b
解析:(方法一)特殊值法.
令a=4,b=2,则a+b2=3,ab=8,a2+b22=10,2aba+b=83.
故2aba+b最小.
(方法二)2aba+b=21a+1b,由21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22,可知2aba+b最小.
答案:D
3.已知m=a+1a-2(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2
A.m>nB.m≥nC.m=nD.m≤n
解析:∵m=(a-2)+1a-2+2≥2(a-2)×1a-2+2=4,
n=(2-x)(2+x)≤2-x+2+x22=4,
∴m≥n.
答案:B
4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有( )
A.最大值25B.最大值50C.最小值25D.最小值50
解析:∵x>0,y>0,x+y=10,
∴x+y≥2xy,
∴xy≤x+y22=25,当且仅当x=y=5时取“=”,
∴xy有最大值25.
答案:A
5.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2B.22C.4D.5
解析:1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4,
当且仅当a=b,ab=1时,取“=”,即a=b=1时,原式取得最小值4.
答案:C
6.若x>0,y>0,且xy=10,则2x+5y的最小值为 .
解析:∵x>0,y>0,且xy=10,
∴y=10x,
∴2x+5y=2x+x2≥2,
当且仅当x=2,y=5时,取等号.
答案:2
7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是 .
解析:∵20=x+4y≥2x×4y=4xy,
∴xy≤5⇒xy≤25.
等号成立的条件是x=4y=10,即x=10,y=52.
∴xy的最大值是25.
答案:25
8.已知a>3,则4a-3+a-316的最小值为 .
解析:∵a>3,∴a-3>0,
∴4a-3+a-316≥24a-3·a-316=1,
当且仅当4a-3=a-316,即a=11时,取等号.
答案:1
9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.
证明:∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,c+a≥2ac>0,
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2bc·2ac=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.
10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥(a+b+c)23.
证明:a2+b2≥2ab,①
b2+c2≥2bc,②
c2+a2≥2ac,③
a2+b2+c2=a2+b2+c2,④
由①+②+③+④,得3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,
即a2+b2+c2≥(a+b+c)23.
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