数学北师大版1 二次函数教案

这是一份数学北师大版1 二次函数教案，共19页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第11讲


讲














二次函数综合


























概述





【教学建议】


本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策略。


学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难：


1. 非特殊三角形的面积问题；


2. 非竖直型线段的最值；


3.抛物线中直角三角形的存在性问题。


【知识导图】























教学过程








一、导入





【教学建议】


本节所讲的三个问题：1.二次函数与三角形的面积；2.二次函数与线段和差；3.二次函数与直角三角形。是二次函数考题中常出现的题型，而且常常是在二次函数的压轴题中出现。建议教师在教学中，可以采取一题多解的方式，从多个角度切入问题，以期帮助孩子形成有效地解题策略，要把典例讲透，要让学生有自己的反思，自己的总结，自己的收获。





二、知识讲解








知识点1 二次函数与三角形的面积








1.常用面积的处理方法：





2.坐标系中的铅锤法模型








知识点2 二次函数与线段和差





二次函数中的线段线段和差问题，常通过三角函数转移到竖直方向的和差或水平方向的和差，其中竖直方向的和差最重要，可以用上面点的纵坐标减去下面的点的纵坐标，极易出现二次式，也就是二次函数模型。为了便于学生记忆：我给它起了一个名字叫“定海神针”。





知识点3 二次函数与直角三角形





抛物线中出现直角三角形常见的处理方法：


已知:定点A(2, 1) 、B(6, 4)和动点M（m, 0）, 存在直角三角形ABM,求点M的坐标.


1.两线一圆


在平面直角坐标系中遇到直角三角形的相关问题后,通常是以顶点作为分类标准,比如:当以点A为直角顶点时,过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点B为直角顶点时,过点B作AB的垂线交x轴的点即为所求；当以点M为直角顶点时,只需要以AB为直径作辅助圆与x轴的交点即为所求.


提示:两直线垂直,则其K值得乘积为-1,通过求垂线的解析式再求其与x轴的交点即可.（请学生完成做题过程）


2.“K型相似”


提示:竖直型,上减下；水平型,右减左.遇直角,构矩形,得相似,求结果.（请学生完成做题过程）


3.暴力法（两点间距离公式）


利用两点间距离公式.勾股定理及其逆定理的应用进行求解.其基本解题思路是列点.列线.列式.


第一步,列出构建所求直角三角形的三个点,定点找到后,动点用参数表示其坐标；


第二步,采用分类讨论思想,列出构建所求直角三角形的三个边,并分类讨论两两垂直的三种可能性；


第三步,把定点坐标及参数点坐标代入两点间距离公式,利用勾股定理的逆定理列出等式求解.注意:解出点的坐标应结合已知进行检验,若出现三点共线或出现不合题意得点均要舍去.（请学生完成做题过程）


注意:有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单,在一些综合题中一般要结合“K型相似”去做更简单一些.








三、例题精析








例题1





【题干】如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．


（1）求a、b及sin∠ACP的值；


（2）设点P的横坐标为m．


①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；


②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．














B


C


D


X


O


P


A


Y















































例题2





【题干】已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．


（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；


（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；


（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．











例题3





【题干】如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．


（1）用含m的式子表示a；


（2）求证：为定值；


（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．











四 、课堂运用





【教学建议】


在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，注意总结相应测处理方法，形成有用的解题模型，再给学生做针对性的练习。





基础





1.如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0, 6)、(－4, 0)，联结PD、PE、DE．


（1）直接写出抛物线的解析式；


（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；


（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数” 的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．


请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．





2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、


B(2, 0)三点．


（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；


（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．





图1





3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．


（1）求点A、B、C的坐标；


（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；


（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





图1








巩固





1.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(－2, 0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．


（1）求抛物线的解析式；


（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？


（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．





图1








2.已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．


（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；


（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；


（3）若m＞，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．





3.如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．


（1）求点A、B的坐标；


（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；


（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．





图1








拔高





1.如图1，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．


（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；


（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；


（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．


①求S的取值范围；


②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．





图1








2.如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．


（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；


（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；


（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．








3.在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．


（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；


（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；


（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．


























课堂小结





1.二次函数与三角形的面积的常见处理方法


2.二次函数与线段和差的常见处理方法


3.二次函数与直角三角形的常见处理方法








拓展延伸








基础





1. 如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c(a≠0)经过点A(－1，0)，点E(4，5)，与y轴交于点B，连接AB．


（1）求该抛物线的解析式；


（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．


①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；


②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．





2. 如图,已知二次函数的图象过点,一次函数的图象经过点.


求值并写出二次函数表达式；


求值；


设直线与二次函数图象交于两点,过作垂直轴于点,


试证明:；


在（3）的条件下，请判断以线段为直径的圆与轴的位置关系,并说明理由.





























3.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值。











巩固





1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，过点作AD∥x轴交抛物线于点D.





（1）求此抛物线的表达式；


（2）点是抛物线上一点，且点关于轴的对称点在直线上，求的面积；


（3）若点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，的面积最大，求出此时点的坐标和的最大面积．





2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点。动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动。点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN。设运动时间为x秒。


(1) 当秒时，点Q的坐标是 ；


(2) 在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；


(3) 若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出运动过程中OT+PT的最小值。








3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：经过点A(－2，1)和点B(－1，－1)，抛物线C2：，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

















拔高





1.如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点。


（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标


（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由








2.如图，点P为抛物线y=x2上一动点．


（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；


（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M．


①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．


②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．











3.如图，抛物线经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．


（1）求抛物线的表达式；


（2）求证：AB平分；


（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．


适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.二次函数与三角形的面积


2.二次函数与线段和差


3.二次函数与直角三角形
教学目标
1.掌握解二次函数综合题的方法


2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点
能熟练掌握二次函数综合问题
教学难点
能熟练掌握二次函数综合问题