2021届山东高考数学一轮创新教学案：第5章第1讲数列的概念与简单表示法

第五章　数列

第1讲　数列的概念与简单表示法

1.数列的有关概念

2．数列的分类

3．数列{an}的an与Sn的关系

(1)数列{an}的前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an.

(2)an＝

特别提醒：若当n≥2时求出的an也适合n＝1时的情形，则用一个式子表示an，否则分段表示．

1．概念辨析

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)

(3)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)

A．第19项  B．第20项

C．第21项  D．第22项

答案　C

解析　5＝，125＝5＋(n－1)×6，n＝21.故选C.

(2)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)

A．15  B．16

C．49  D．64

答案　A

解析　a8＝S8－S7＝82－72＝15.

(3)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.

答案　21

解析　a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.

(4)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　观察数列可知，分母为以项数与项数加1的乘积形式的数列，分子是常数1的数列，各项的符号正负相间，故可得数列的通项公式an＝(n∈N*)．

题型 一　知数列前几项求通项公式

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)－1,7，－13,19，…；

(2)0.8,0.88,0.888，…；

(3)1,0，，0，，0，，0，…；

(4)，1，，，….

解　(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．

(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.

(3)把数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝或an＝.

(4)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，

所以可得它的一个通项公式为an＝.

由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③各项的符号特征和绝对值特征；

④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系，如举例说明(4)．

⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．如举例说明(1)．

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)，，，，，…；

(2)，，－，，－，，…；

(3)，2，，8，，…；

(4)5,55,555,5555，….

解　(1)这是一个分数数列，分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.

(2)数列可以改为－，，－，，－，，…，则分母为2n，分子为2n－3，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n.

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.

(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1).

题型 二　由an与Sn的关系求通项公式　

1.已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________.

答案　

解析　因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，

所以an＝

2.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

答案　－

解析　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，

两边同时除以SnSn＋1得－＝1，

即－＝－1.又＝－1，

∴是首项为－1，公差为－1的等差数列，

∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－.

条件探究　将本例中的条件“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”改为“Sn＝(－1)n＋1·n”，则a5＋a6＝________，an＝________.

答案　－2　(－1)n＋1·(2n－1)

解析　因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1).

1.已知Sn求an的三个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1.

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．如举例说明1.

2.Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．如举例说明2.

(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．如举例说明2的条件探究．

1.(2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．

两式相减得(2n－1)an＝2，

所以an＝(n≥2)．

又由题设可得a1＝2，满足上式，

从而{an}的通项公式为an＝(n∈N*).

2.若数列{an}的前n项和为Sn，首项a1>0，且2Sn＝a＋an(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．

解　当n＝1时，2S1＝a＋a1，则a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，

即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0⇒an＝－an－1或an＝an－1＋1，

所以an＝(－1)n－1或an＝n.

题型 三　由递推关系求通项公式　

角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an

1.已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求通项公式an.

解　∵an＋1＝an＋ln ，

∴an－an－1＝ln ＝ln (n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝ln ＋ln ＋…＋ln ＋ln 2＋2

＝2＋ln ＝2＋ln n(n≥2)．

又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N*).

角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an

2.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.

解　∵an＝an－1(n≥2)，

∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.

以上(n－1)个式子相乘得

an＝a1···…·＝＝.

当n＝1时也满足此等式，∴an＝.

角度3　形如an＋1＝pan＋q，求an

3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公式an.

解　递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t⇒t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)，令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，则bn＝4×2n－1＝2n＋1，

所以an＝2n＋1－3.

1.累加法求通项公式的四步骤

2.累乘法求通项公式的四步骤

3.构造法求通项公式的三步骤

1.数列{an}中，a1＝1，an＋1＋an＝2n，则通项公式an＝________.

答案　(n∈N*)

解析　∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.

即数列{an}是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．

当n为偶数时，a2＝1，

故an＝a2＋2＝n－1.

当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.

综上所述，an＝(n∈N*).

2.在数列{an}中，a1＝3，(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an(n≥1)，则an＝________.

答案　

解析　∵(3n＋2)an＋1＝(3n－1)an，∴an＋1＝an，∴an＝··…···a1＝××…×××3＝，当n＝1时，满足此等式，∴an＝.

3.设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.

答案　

解析　因为(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0，

所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.

又因为an>0，所以an＋1＋an>0，

所以(n＋1)an＋1－nan＝0，

即＝，n∈N*.

所以＝，＝，＝，…，＝，

以上各式相乘得

＝···…·＝.

又a1＝1，所以an＝.

题型 四　数列的性质及应用

1.已知an＝，那么数列{an}是(　　)

A.递减数列  B．递增数列

C.常数列  D．摆动数列

答案　A

解析　an＝＝＝1＋，

因为函数y＝1＋在(0.99，＋∞)上是减函数，

所以数列{an}是递减数列.

2.(2019·大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，则数列{an}的项取最大值时，n＝________.

答案　4或5

解析　因为an＋1－an＝(n＋3)n＋1－(n＋2)n

＝n＝n·.

当n<4时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝4时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>4时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以该数列中最大项为第4项和第5项.

3.(2020·大兴一中月考)数列{an}满足an＋1＝

a1＝，则数列的第2019项为________．

答案　

解析　∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.

∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.

∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….

∴该数列的周期为4.∴a2019＝a3＝.

1.判断数列增减性的两种方法

(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．

(2)作商比较法

①当an>0时，>1⇔数列{an}是递增数列；<1⇔数列{an}是递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

②当an<0时，>1⇔数列{an}是递减数列；<1⇔数列{an}是递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列．

2.求数列最大项或最小项的方法

(1)可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项．

(2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项.

1.若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，则a2019＝(　　)

A.  B．2 

C.   D.

答案　A

解析　因为a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，

所以a3＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝，a6＝＝＝，a7＝＝＝2＝a1，a8＝＝＝3＝a2，所以{an}的周期T＝6，所以a2019＝a6×336＋3＝a3＝.

2.(2019·永州模拟)已知数列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围为________．

答案　(0,1)

解析　由an＋2－an＝2可知数列{an}的奇数项、偶数项分别递增，若数列{an}是递增数列，则必有a2－a1＝(2－a)－a>0且a2－a1＝(2－a)－a<an＋2－an＝2，可得0<a<1，故实数a的取值范围为(0,1).

　组　基础关

1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为(　　)

A．5n－1  B．6n

C．5n＋1  D．4n＋2

答案　C

解析　第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件.

2.(2020·秦皇岛质检)数列，－，，－，…的第10项是(　　)

A.－  B．－

C．－  D．－

答案　C

解析　观察前4项可知，此数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·，所以a10＝－.

3.数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)

A.103  B．108

C．103  D．108

答案　D

解析　an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋.结合二次函数的性质可得此数列的最大项为a7＝108.

4.(2019·沈阳模拟)已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　)

A.2n－1   B.n－1

C.n  D．n2

答案　C

解析　解法一：特值法可确定C正确．

解法二：an＝n(an＋1－an)，而＝，则an＝××…××＝××…××＝n.故选C.

5.(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝××…×，得an＝，n＝1时，上式也成立．故选B.

6.(2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2019的末位数字为(　　)

A.8  B．2

C．3  D．7

答案　D

解析　由an＝，可得数列{an}的整数项为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2019＝4×504＋3，故b2019的末位数字为7.故选D.

7.(2019·辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数为(　　)

A.7  B．10

C．12  D．22

答案　A

解析　依题意a4＝2a3－1＝2(2a2＋2)－1＝2[2(2a1－1)＋2]－1＝7.

8.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1＝________.

答案　

解析　∵Sn＝，a4＝32，∴－＝32，

∴a1＝.

9.(2020·陕西商洛期中)在数列{an}中，已知an＝(－1)n＋n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________.

答案　97

解析　由题意，得a1＝a，a4＝5＋a，a2＝3＋a.

因为a1＋a4＝3a2，所以a＋5＋a＝3(3＋a)，

解得a＝－4，所以an＝(－1)n＋n－4，

所以a100＝(－1)100＋100－4＝97.

10.(2019·河南省八市重点高中联盟“领军考试”高三第五次测评)在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝(an＋1)·cosnπ，Sn是数列{an}的前n项和，若S2019＝－2019，则a＝________.

答案　1010

解析　因为a1＝a，a2＝－(a＋1)，a3＝－a，a4＝a－1，a5＝a，a6＝－(a＋1)，a7＝－a，…

所以数列{an}是周期为4的数列．

因为a1＋a2＋a3＋a4＝a－(a＋1)－a＋(a－1)＝－2，

故S2019＝504×(－2)＋a1＋a2＋a3＝－1008－a－1＝－2019，

则a＝1010.

　组　能力关

1.(2020·广东中山一中月考)已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(　　)

A.第127项  B．第128项

C.第129项  D．第130项

答案　B

解析　将该数列的第一项1写成，再将该数列分组，第一组1项：；第二组2项：，；第三组3项：，，；第四组4项：，，，，…，容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得是该数列的第128项.

2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<.由λ<1可推得λ<，但反过来，由λ<不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.

3.(2019·菏泽模拟)设数列{an}满足a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，则an＝________.

答案　

解析　由题得a1·2a2·3a3·…·nan＝2n，①

a1·2a2·3a3·…·(n－1)an－1＝2n－1，n≥2，②

两式相除得nan＝2，

所以an＝(n≥2)，

由题意得a1＝2，满足an＝(n≥2)，故an＝.

4.已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.

由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

解得a3＝(a1＋a2)＝6.

(2)当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

又a1＝1，

所以a2＝a1，

a3＝a2，

…

an－1＝an－2，

an＝an－1，

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

当n＝1时，满足上式．

综上，{an}的通项公式an＝.

5.(2019·银川模拟)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：数列{an}是递减数列．

解　(1)因为f(x)＝2x－，f(log2an)＝－2n，所以an－＝－2n，所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±，

因为an>0，所以an＝－n，n∈N*.

(2)证明：＝

＝<1，

因为an>0，所以an＋1<an，所以数列{an}是递减数列.