2021版高考数学苏教版一轮教师用书：8.7抛物线

第七节　抛物线

[最新考纲]　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程与几何性质

设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．               (　　)

(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．

  (　　)

(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.              (　　)

(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)

A．9　　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]

2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)

A.   B.

C.   D．0

B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]

3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

A．4   B．6 

C．8   D．12

B　[如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，

则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.]

4．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是        ．

y2＝－x或x2＝－8y　[若焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，由题意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝nx，由题意，得4＝－4n，∴n＝－1，∴y2＝－x.

综上知，y2＝－x或x2＝－8y.]

考点1　抛物线的定义及应用

(1)应用抛物线定义的两个关键点

①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．

②注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋.

(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”．

 (1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为(　　)

A.　　　B.　　　C．1　　　D．3

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为        ．

(1)B　(2)4　[(1)∵F是抛物线y2＝x的焦点，

∴F，准线方程x＝－，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可得

|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，

∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3.

解得x1＋x2＝，∴线段AB的中点横坐标为，

∴线段AB的中点到准线的距离为＋＝.故选B.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.]

[母题探究]

1．若将例(2)中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

[解]　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

　∴|PB|＋|PF|≥|BF|

＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

2．若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

[解]　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，

故d2＋|PF|的最小值为＝3，

所以d1＋d2的最小值为3－1.

　与抛物线有关的最值问题的转换方法

(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

　(2017· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝        .

6　[如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.

由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.

∵点M为FN的中点，PM∥OF，

∴|MP|＝|FO|＝1.

 又|BP|＝|AO|＝2，

∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.

由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]

考点2　抛物线的标准方程及其性质

　求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

 (1)(2019·潍坊模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝6x   B．y2＝8x

C．y2＝16x   D．y2＝

(2)[一题多解]在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝        .

(1)B　(2)4　[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.

(2)法一：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因为PA⊥l，所以yP＝yA＝2.将其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4.

法二：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF为等边三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.]

　在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

　1.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A．2   B．4 

C．6   D．8

B　[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2，

抛物线的准线方程为x＝－，

∴不妨设A，D.

∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，

∴ ∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．

∴C的焦点到准线的距离为4.]

2.如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝8x

B．y2＝4x

C．y2＝2x

D．y2＝x

B　[如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ，

则在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵AE∥FG，

∴＝，即＝，p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.故选B.]

考点3　直线与抛物线的位置关系

　求解抛物线综合问题的方法

(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．

提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．

 (1)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有        条．

(2)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

②若＝3，求|AB|.

(1)3　[(1)结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．]

(2)[解]　设直线l：y＝x＋t，A，B.

①由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，

由题设可得x1＋x2＝.

由 ，可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.

从而由－＝，得t＝－.

所以l的方程为y＝x－.

②由＝3得y1＝－3y2.

由 ，得y2－2y＋2t＝0.

所以y1＋y2＝2.

从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.

代入C的方程得x1＝3，x2＝.

故|AB|＝.

　解答本例(2)第②问的关键是从条件“＝3”中发现变量间的关系“y1＝－3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向．

[教师备选例题]

1．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

[解](1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16＞0，

故x1＋x2＝.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.

由题设知＝8，

解得k＝－1(舍去)或k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

　(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则

解得或

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

2．(2019·金华模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为.

(1)若N，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；

(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请说明由．

[解](1)∵点P(2，t)到焦点F的距离为，

∴2＋＝，解得p＝1，

故抛物线C的方程为y2＝2x，P(2,2)，

∴l1的方程为y＝x＋，

联立得解得xQ＝，

又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，∴＝＝.

(2)设直线l2的方程为x＝ny＋m(m≠0)，代入抛物线方程可得y2－2ny－2m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①

由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，

整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②

将①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，满足Δ＝4n2＋8m>0，∴直线l2：x＝ny＋2，

∵圆心M(a,0)到直线l2的距离d＝，

∴|DE|＝2，

显然当a＝2时，|DE|＝2，∴存在实数a＝2，使得|DE|为定值．

　1.[一题多解]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)

A．4   B. 

C．5   D．6

B　[法一：(直接法)易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．

由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

得xA·xB＝1，①

因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②

由①②解得xA＝2，xB＝，

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.

法二：(应用性质)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，

设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，

则|AB|＝3m，

由抛物线的定义知

|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，

所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.

法三：(应用性质)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.]

2．(2019·临沂模拟)已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.

(1)求证：直线BC的斜率为定值；

(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．

[解](1)证明：∵点A(m,4)在抛物线上，

∴16＝m2，∴m＝±4，

又m＞0，∴m＝4.

设B(x1，y1)，C(x2，y2)，

则kAB＋kAC＝＋＝＝0，

∴x1＋x2＝－8.

∴kBC＝＝＝＝－2，

∴直线BC的斜率为定值－2.

(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)

关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则

kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.

∴M(1，－2＋b)．

又点M在抛物线内部，

∴－2＋b＞，即b＞.

由

得x2＋8x－4b＝0，

∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.

∴|BC|＝|x3－x4|

＝·

＝×.

又b＞，∴|BC|＞10.

∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．