2021版高考数学苏教版一轮教师用书：5.4数系的扩充与复数的引入
展开第四节 数系的扩充与复数的引入
[最新考纲] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．
3．z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0. ( )
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．( )
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi. ( )
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解． ( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
A [∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.]
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D [∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]
3．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1 B. C. D．2
A [＝i，
则z＝＝i，
∴|z|＝1.]
4．已知(1＋2i)＝4＋3i，则z＝ .
2＋i [由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.
∴z＝2＋i.]
考点1 复数的概念
复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．
1.若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
C [由纯虚数的概念得得m＝1，故选C.]
2．(2019·长沙模拟)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝( )
A．－5 B．－1
C．－ D．－
D [z＝＋i＝＋i＝＋i，
因为复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，所以－＝，解得a＝－.故选D.]
3．(2019·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3＋i D．3－i
C [由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，
所以＝3＋i，故选C.]
4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B.
C．1 D.
C [法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.
法二：因为z＝＋2i＝＝，所以|z|＝＝＝＝1，故选C.]
解决此类时，一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
考点2 复数的运算
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．
(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)计算：＝( )
A．2 B．－2
C．2i D．－2i
(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．i B．i－1
C．－i－1 D．－i
(4)(2019·武汉调研)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝( )
A．－i B．i
C．1－i D．1＋i
(1)D (2)A (3)C (4)B [(1)由题意得z＝＝＝1＋i，故选D.
(2)＝＝＝2，故选A.
(3)由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
(4)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以解得所以z＝i，故选B.
法二：把各选项代入验证，知选项B满足题意．]
(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；
(2)在含有z，，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
1.(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
D [(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.]
2．对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；＝＝＝－i，②正确；＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i＋2i＝0，④正确．]
3．(2019·贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z＋1)＝1，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
C [由题意，得z＝－1＝－1－i，故选C.]
4．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝( )
A．1 B．0
C．1＋i D．1－i
D [z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
则有a2－1＝0，a＋1≠0，
得a＝1，
则有＝＝＝1－i.]
考点3 复数的几何意义
与复数几何意义相关的问题的一般解法
第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；
第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应．
(1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(1)C (2)C (3)A [(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0,1)，且|z－i|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0,1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，故选C.
(2)∵z＝－3＋2i，∴＝－3－2i，
∴在复平面内，对应的点为(－3，－2)，此点在第三象限．
(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.]
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．
1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D [由已知＝(－2，－1)，＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]
2．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为 ．
2π [设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.]
3．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是 ．
1 [由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，
＝(1，－1)，
根据＝λ＋μ得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.]
