2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:选修4-5 第1讲 绝对值不等式
展开第1讲 绝对值不等式
一、知识梳理
1.绝对值三角不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| {x|-a
∅
|x|>a
{x|x>a或x<-a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
常用结论
1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系:
(1)|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时,等号成立.
(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0时,右边等号成立.
2.解绝对值不等式的两个要点
(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号.
(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点,分区间,逐个解,并起来”.
二、教材衍化
1.求不等式3≤|5-2x|<9的解集.
解:由题意得即解得不等式的解集为(-2,1]∪[4,7).
2.求不等式|x+1|+|x-2|≤5的解集.
解:不等式|x+1|+|x-2|≤5,等价于或或解得-2≤x≤3,所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤3}.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( )
(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√
二、易错纠偏
(1)解集中等号是否成立不注意;
(2)含参数的绝对值不等式讨论不清.
1.不等式|x-4|+|x-1|-3≤2的解集.
解: 不等式等价于或或解得0≤x≤5,故不等式|x-4|+|x-1|-3≤2的解集为[0,5].
2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},求实数k的值.
解:因为|kx-4|≤2,所以-2≤kx-4≤2,所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3},所以k=2.
含绝对值不等式的解法(师生共研)
(2020·安徽安庆质量检测)已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+|2x+1|的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x,
由f(x)≥3x+|2x+1|,得|x-1|-|2x+1|≥0,
当x>1时,x-1-(2x+1)≥0,得x≤-2,无解;
当-≤x≤1时,1-x-(2x+1)≥0,得-≤x≤0;
当x<-时,1-x-(-2x-1)≥0,得-2≤x<-.
所以不等式的解集为{x|-2≤x≤0}.
(2)由|x-a|+3x≤0,可得或
即或
当a>0时,不等式的解集为{x|x≤-}.
由-=-1,得a=2.
当a=0时,不等式的解集为{x|x≤0},不合题意.
当a<0时,不等式的解集为.
由=-1,得a=-4.
综上,a=2或a=-4.
含绝对值不等式解法的常用方法
设函数f(x)=|x+4|.求不等式f(x)>1-x的解集.
解:f(x)=|x+4|=所以不等式f(x)>1-x等价于
解得x>-2或x<-10,
故不等式f(x)>1-x的解集为{x|x>-2或x<-10}.
绝对值不等式性质的应用(师生共研)
(2020·昆明市质量检测)已知函数f(x)=|2x-1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+1)≥4;
(2)当x≠0,x∈R时,证明:f(-x)+f()≥4.
【解】 (1)不等式f(x)+f(x+1)≥4等价于|2x-1|+|2x+1|≥4,
等价于或或
解得x≤-1或x≥1,
所以原不等式的解集是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(2)当x≠0,x∈R时,f(-x)+f()=|-2x-1|+|-1|,因为|-2x-1|+|-1|≥|2x+|=2|x|+≥4,当且仅当,即x=±1时等号成立,
所以f(-x)+f()≥4.
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.
(2)该定理可强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.
(2020·陕西省五校联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.
(1)解不等式f(x)<|x|+1;
(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.
解:(1)因为f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1,
即或或
得≤x<2或0
绝对值不等式的综合应用(师生共研)
(2018·高考全国卷Ⅰ )已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.
【解】 (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}.
(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.
若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;
若a>0,|ax-1|<1的解集为0
(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决,这是常用的思维方法.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.
(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f(x)=|x|+2|x-1|.
(1)解不等式f(x)≥4;
(2)若不等式f(x)≤|2a+1|有解,求实数a的取值范围.
解:(1)不等式f(x)≥4,即|x|+2|x-1|≥4,等价于或或⇒x≤-或无解或x≥2.故不等式的解集为(-∞,-]∪[2,+∞).
(2)f(x)≤|2a+1|有解等价于f(x)min≤|2a+1|.
f(x)=|x|+2|x-1|=
故f(x)的最小值为1,
所以1≤|2a+1|,得2a+1≤-1或2a+1≥1,
解得a≤-1或a≥0,
故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,+∞).
[基础题组练]
1.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
解:(1)证明:f(x)=|x-2|-|x-5|
=
当2
(2)由(1)可知,
当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15的解集为空集;
当2
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.
2.(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|·(x-a).
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;
当x≥1时,f(x)≥0.
所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).
(2)因为f(a)=0,所以a≥1.
当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以,a的取值范围是[1,+∞).
3.(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f(x)=x2-x-1.
(1)解不等式:|f(x)|<1;
(2)若|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
解:(1)由|f(x)|<1得-1
(2)证明:因为|x-a|<1,所以|f(x)-f(a)|=|x2-a2+a-x|
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|
≤|x-a|+|2a|+1<|2a|+2=2(|a|+1).
4.(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)若f(x)>a成立有解,求a的取值范围;
(2)解不等式f(x)
故f(x)∈[-3,3],
所以若使f(x)>a成立有解,应有a
(2)当x≤-1时,x2-2x>3,
所以x<-1;
当-1
所以1
综上所述,不等式的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
5.(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f(x)=|4x-1|-|x+2|.
(1)解不等式f(x)<8;
(2)若关于x的不等式f(x)+5|x+2|
当x≤-2时,由-3x+3<8,得x>-,无解;
当-2
即-
得x<,即≤x<.
所以不等式的解集为.
(2)f(x)+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9.
则由题可得a2-8a>9.
解得a<-1或a>9.
6.(2020·原创冲刺卷三)已知函数f(x)=|x-2a|,a∈R,若∀x∈R,f(x)都满足f(x)=f(4-x).
(1)求a的值;
(2)若∃x∈R,使得不等式f(2x-1)-f(x)≤4-2m成立,求实数m的取值范围.
解:(1)因为f(x)=f(4-x),x∈R,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)=|x-2a|的图象关于直线x=2a对称,所以2a=2,a=1.
(2)令h(x)=f(2x-1)-f(x)=|2x-3|-|x-2|=h(x)在上单调递减,在上单调递增,所以h(x)min=h()=-,故-≤4-2m,解得m≤,故实数m的取值范围是.
[综合题组练]
1.(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)记函数g(x)=f(x)+f(-x),若对任意的x∈R,不等式|k-1|
(2)g(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|+(|2x+1|+|2x-1|)≥|(x-1)-(x+1)|+|(2x+1)-(2x-1)|=4,
当且仅当,即x∈[-,]时取等号,
若对任意的x∈R,不等式|k-1|
(1)当a=2时,解不等式|x-|+f(x)≥1;
(2)设不等式|x-|+f(x)≤x的解集为M,若[,]⊆M,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1|+|x-2|≥3,
①当x≤时,1-3x+2-x≥3,解得x≤0,所以x≤0;
②当
综上所述,当a=2时,不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.
(2)不等式|x-|+f(x)≤x可化为|3x-1|+|x-a|≤3x,
依题意不等式|3x-1|+|x-a|≤3x在x∈[,]上恒成立,
所以3x-1+|x-a|≤3x,即|x-a|≤1,
即a-1≤x≤a+1,
所以,解得-≤a≤,
故实数a的取值范围是.