2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第十章　第3讲　几何概型

第3讲　几何概型

一、知识梳理

1．几何概型

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

(2)几何概型的两个基本特点

2．几何概型的概率公式

P(A)＝.

二、教材衍化  

1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为        ．

答案：

2．如图是某商场通过转动如图所示的质地均匀的6等分的圆盘进行抽奖活动，当指针指向阴影区域时为中奖，则顾客中奖的概率是        ．

答案：

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)

(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)

(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　)

(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

二、易错纠偏

(1)易混淆几何概型与古典概型；

(2)几何概型的测度选择不正确．

1．如图，在一边长为2的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m颗)．落在曲线L围成的区域内的豆子有n颗(n<m)，则L围成的区域面积(阴影部分)为(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选B.＝，

所以S阴影＝×22＝.

2．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是        ．

解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为＝.

答案：

　　　　　　与长度有关的几何概型(典例迁移)

(2020·福建五校第二次联考)在区间[0，2]上随机取一个数x，使sin x≥的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D.

【解析】　当x∈[0，2]时，0≤x≤π，所以sinx≥⇔≤x≤⇔≤x≤.故由几何概型的知识可知所求概率P＝＝.故选A.

【答案】　A

【迁移探究】　(变条件)若将本例中的不等式变为sin x≤，如何求概率？

解：结合正弦曲线，在[0，π]上使sin x≤的x∈∪，

故所求概率为P＝＝.

与长度有关的几何概型

(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝.

(2)与时间、不等式等有关的概率问题可转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解．

1．(2020·河南焦作模拟)某路公交车在6：30，7：00，7：30，准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为        ．

解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30，7：00，7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝＝.

答案：

2．(2020·江西赣州十四县联考)在(0，8)上随机取一个数m，则事件“直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点”发生的概率为        ．

解析：因为m∈(0，8)，直线x＋y－1＝0与圆(x－3)2＋(y－4)2＝m2没有公共点，所以，解得0<m<3，所以所求概率P＝.

答案：

　　　　　　与面积有关的几何概型(多维探究)

角度一　与平面图形面积有关的几何概型

(1)(2020·昆明市诊断测试)如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH(图中阴影部分)，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH内的概率是(　　)

A.   B. 

C.  D.

(2)(2020·江西七校第一次联考)图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是(　　)

A.   B. 

C.－1  D.2－

【解析】　(1)设第1个正方形ABCD的边长为2，则第2个正方形的边长为，第3个正方形的边长为1，第4个正方形EFGH的边长为，所以所求概率P＝＝＝.故选C.

(2)设圆的半径为1，则该点取自阴影区域内的概率P＝＝＝－1，故选C.

【答案】　(1)C　(2)C

角度二　与线性规划知识交汇命题的几何概型

(2020·广州综合测试)在平面区域{(x，y)|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y≤2x的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D.

【解析】　依题意作出图象如图，则P(y≤2x)＝＝＝.

【答案】　A

与面积有关的几何概型的求法

求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．

1．(2020·郑州市第一次质量预测)已知矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足·≥0的概率是(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选B.由·≥0，知∠BMC为锐角或直角，则点M所在的区域如图中阴影部分所示，则所求概率P＝1－＝1－＝，故选B.

2．某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为 (　　)

A.   B. 

C.  D.．

解析：选B.在平面直角坐标系中，设x，y分别表示乙、甲两人的到达时刻，当x－y>20时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为＝.故选B.

　　　　　　与体积有关的几何概型(师生共研)

一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF­BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F­AMCD内的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D.．

【解析】　因为VF­AMCD＝×S四边形AMCD×DF＝a3，VADF­BCE＝a3，所以它飞入几何体F­AMCD内的概率为＝.

【答案】　D

与体积有关的几何概型的求法

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．

　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)

A.  B．1－ 

C.  D．1－

解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．

记“点P到点O的距离大于1”为事件M，

则P(M)＝＝1－.

[基础题组练]

1．已知集合A＝，若在集合A内任取一个数a，使得1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选B.由10＋3a－a2≥0，解得－2≤a≤5，即A＝[－2，5]．因为1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，故2＋a－a2＞0，解得－1＜a＜2.由几何概型的知识可得，所求的概率P＝＝.故选B.

2.(2020·河南百校联盟联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)

A．1－   B. 

C.  D.1－

解析：选A.鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－，故选A.

3.(2020·安庆二模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径为18 mm，小米同学为了测算图中装饰狗的面积，他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是(　　)

A. mm2   B. mm2 

C. mm2  D. mm2

解析：选B.设装饰狗的面积为S mm2.由题意得＝，所以S＝ mm2.

4．(2020·湖南省五市十校联考)一只蚂蚁在三边长分别为6，8，10的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选B.由题意，可得三角形为直角三角形，其面积为×6×8＝24，三角形内距离三角形的任意一个顶点的距离不大于1的区域如图中阴影部分所示，它的面积为半径为1的半圆面积，即S＝π×12＝，所以所求概率P＝＝，故选B.

5．在区间[0，6]上随机取一个数x，则log2x的值介于1到2之间的概率为        ．

解析：由题知1<log2x<2，解得2<x<4，故log2x的值介于1到2之间的概率为＝.

答案：

6.如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为        ．

解析：设球的半径为R，

则所求的概率为P＝＝＝.

答案：

7．(2020·西安市八校联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2的概率为        ．

解析：如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组

对应的可行域，即图中阴影部分，

则所求概率P＝

＝＝.

答案：

8．(2020·洛阳尖子生第二次联考)某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位的停靠时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，依此类推，统计结果如表：

设该月这100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a小时．

(1)求a的值；

(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．

解：(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.

(2)设甲船到达的时间为x，乙船到达的时间为y，

则.

若这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待，则|y－x|<4，符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x，y轴)所示．

记“这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待”为事件A，

则P(A)＝＝.

即两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.

[综合题组练]

1.(2020·江西六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选B.因为3DF＝2BF，所以不妨设DF＝2，BF＝3，则DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝＝7，所以镖落在小等边三角形内的概率是＝，故选B.

2．(2020·甘肃张掖第一次联考)如图，B是AC上一点，分别以AB，BC(AB<BC)，AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC＝6，BD＝2，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是(　　)

A.   B. 

C.  D.

解析：选C.连接AD，CD，

可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，

所以BD2＝AB·BC，设AB＝x(0<x<3)，

则有8＝x(6－x)，得x＝2，所以AB＝2，BC＝4，

由此可得图中阴影部分的面积等于－＝2π，

故概率P＝＝.故选C.

3．(2020·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝(a，4b)，n＝(4a，b)，则m·n≥4π2的概率为        ．

解析：在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上．因为m·n＝4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝＝1－.

答案：1－

4．在平面区域内随机取一点(a，b)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为        ．

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的△AOB的内部及边界AB(不包括边界OA，OB)，则S△AOB＝×4×4＝8.函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数，则应满足a>0，且x＝≤1，满足可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC，BC，不包括边界OB)，由解得a＝，b＝，所以S△COB＝×4×＝，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为＝.

答案：