2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第八章　第4讲　直线、平面平行的判定与性质

第4讲　直线、平面平行的判定与性质

一、知识梳理

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

常用结论

1．三种平行关系的转化：

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．

2．平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

二、习题改编

1．(必修2P58练习T3改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.

2．(必修2P57例2改编)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的是        (只填序号)．

①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.

解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D，BD，因为ABC1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，

故AD1∥BC1，从而①正确；

易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，

又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，

故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面．③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．

答案：①②④

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(　　)

(2)若直线l在平面α外，则l∥α.(　　)

(3)若直线l∥b，直线b⊂α，则l∥α.(　　)

(4)若直线l∥b，直线b⊂α，那么直线l就平行于平面α内的无数条直线．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)对空间平行关系的相互转化条件理解不够；

(2)忽略线面平行、面面平行的条件．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

A．一条直线不相交　　 B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交  D．任意一条直线都不相交

解析：选D.因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.

2．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为        ．

解析：因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．

答案：平行四边形

　　　　与线、面平行相关命题的判定(师生共研)

设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是(　　)

A．若m∥α，m∥n，则n∥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β

D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

【解析】　A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.

【答案】　D

解决线、面平行关系应注意的问题

(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易被忽视．

(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．

1．下列命题中正确的是(　　)

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

解析：选D.A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交；D正确，由a∥α，可得a平行于经过直线a的平面与α的交线c，即a∥c，又a∥b，所以b∥c，b⊄α，c⊂α，所以b∥α.

2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

解析：选B.对于A，C，D选项，α均有可能与β相交，故排除A，C，D选项，选B.

　　　　　　线面平行的判定与性质(多维探究)

角度一　线面平行的证明

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：

(1)BF∥HD1；

(2)EG∥平面BB1D1D.

【证明】　(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，

所以HD1∥MC1.

又因为在平面BCC1B1中，BMFC1，

所以四边形BMC1F为平行四边形，

所以MC1∥BF，

所以BF∥HD1.

(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OE∥DC且OE＝DC，

又D1G∥DC且D1G＝DC，

所以OED1G，

所以四边形OEGD1是平行四边形，

所以GE∥D1O.

又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，

所以EG∥平面BB1D1D.

证明直线与平面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义．

(2)利用线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．　

角度二　线面平行性质的应用

如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，过BC的平面交棱FD于点P，交棱FA于点Q.

证明：PQ∥平面ABCD.

【证明】　因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC，

⇒BC∥平面ADF，

⇒BC∥PQ，

PQ∥平面ABCD.

应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．该定理的作用是由线面平行转化为线线平行．

1．(2020·辽宁丹东质量测试(一))如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D，E分别为AA1，B1C的中点．证明：DE∥平面ABC.

证明：取BC的中点F，

连接AF，EF，

则EF∥BB1，EF＝BB1，所以EF∥DA，EF＝DA，

则四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥AF.

又因为DE⊄平面ABC，AF⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.

2．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．

(1)求证：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．

解：(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.

因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，

所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.

又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

所以AM∥平面BDE.

(2)l∥m，证明如下：

由(1)知AM∥平面BDE，

又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，

所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，

又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，

所以m∥AM，所以l∥m.

　　　　　　面面平行的判定与性质(典例迁移)

如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【证明】　(1)因为G，H分别是

A1B1，A1C1的中点，

所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，

所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．

(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，

所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.

又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，

所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.

【迁移探究1】　(变条件)在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明：如图所示，连接HD，A1B，

因为D为BC1的中点，

H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

所以HD∥平面A1B1BA.

【迁移探究2】　(变条件)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

证明：如图所示，

连接A1C交AC1于点M，

因为四边形A1ACC1是平行四边形，

所以M是A1C的中点，连接MD，

因为D为BC的中点，

所以A1B∥DM.

因为A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

所以DM∥平面A1BD1.

又由三棱柱的性质知，D1C1BD，

所以四边形BDC1D1为平行四边形，

所以DC1∥BD1.

又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

所以DC1∥平面A1BD1，

又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，

所以平面A1BD1∥平面AC1D.

1．如图，AB∥平面α∥平面β，过点A，B的直线m，n分别交α，β于点C，E和点D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选C.由AB∥α∥β，易证 ＝.

即＝，

所以BD＝＝＝.

2．(一题多解)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，ED⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3.证明：平面ABF∥平面DCE.

证明：法一：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，

所以DE∥AF.

因为AF⊄平面DCE，DE⊂平面DCE，

所以AF∥平面DCE.

因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.

因为AB⊄平面DCE，

所以AB∥平面DCE.

因为AB∩AF＝A，AB⊂平面ABF，AF⊂平面ABF，

所以平面ABF∥平面DCE.

法二：因为DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，

所以DE∥AF.

因为四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD.

又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，

所以平面ABF∥平面DCE.

法三：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC.

又DE∩DC＝D，所以AD⊥平面DEC.

同理AD⊥平面ABF.所以平面ABF∥平面DCE.

[基础题组练]

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α与直线l至少有两个公共点

D．α内的直线与l都相交

解析：选B.因为l⊄α，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．

2．(2020·大连双基测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)

A．l⊂α，m⊂β，α∥β  B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m

C．l∥α，m⊂α  D．l⊂α，α∩β＝m

解析：选B.选项A中，直线l，m也可能异面；选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l∥m，B正确；选项C中，直线l，m也可能异面；选项D中，直线l，m也可能相交，故选B.

3．(2020·长沙市统一模拟考试)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列命题：

①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.

真命题的个数是(　　)

A．1  B．2 

C．3  D．4

解析：选A.由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β.α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是1，故选A.

4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)

A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．

5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为        ．

解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案：平行

6.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于        ．

解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点．

故EF＝AC＝.

答案：

7．在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB＝90°，且AC＝1，AB＝2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM＝AC.

(1)若三棱锥A1­C1ME的体积为，求AA1的长；

(2)证明：CB1∥平面A1EM.

解：(1)设AA1＝h，

因为VA1­C1ME＝VE­A1C1M，S△A1C1M＝A1C1×h＝，三棱锥E­A1C1M的高为2，

所以VE­A1C1M＝××2＝，解得h＝，即AA1＝.

(2)证明：如图，连接AB1交A1E于点F，连接MF.

因为E为BB1的中点，所以AF＝AB1，

又AM＝AC，所以MF∥CB1，

又MF⊂平面A1EM，CB1⊄平面A1EM，

所以CB1∥平面A1EM.

8．(2020·南昌市摸底调研)如图，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．

(1)求证：平面CMN∥平面PAB；

(2)求三棱锥P­ABM的体积．

解：(1)证明：因为M，N分别为PD，AD的中点，

所以MN∥PA，

又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，

所以∠ACN＝60°.

又∠BAC＝60°，所以CN∥AB.

因为CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CN∥平面PAB.

又CN∩MN＝N，所以平面CMN∥平面PAB.

(2)由(1)知，平面CMN∥平面PAB，

所以点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．

因为AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，所以BC＝，

所以三棱锥P­ABM的体积V＝VM­PAB＝VC­PAB＝VP­ABC＝××1××2＝.

[综合题组练]

1．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　)

A．AC⊥BD

B．AC＝BD

C．AC∥截面PQMN

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

解析：选B.因为截面PQMN是正方形，

所以PQ∥MN，QM∥PN，

则PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，

由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；

由BD∥PN，

所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；

由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.

所以＝，＝，

而AN≠DN，PN＝MN，

所以BD≠AC.B错误．故选B.

2．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件        时，有平面D1BQ∥平面PAO.

解析：如图所示，设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，PA⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.

答案：Q为CC1的中点

3．如图，四边形ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

(1)求证：BE∥平面DMF；

(2)求证：平面BDE∥平面MNG.

证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.

4．(2020·南昌二模)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.

(1)确定点E，F的位置，并说明理由；

(2)求三棱锥F­DCE的体积．

解：(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CE∥AD，又AB∥DC，

所以四边形AECD是平行四边形，

所以DC＝AE＝AB，

即点E是AB的中点．

因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，

平面PAD∩平面PAB＝PA，

所以EF∥PA，又点E是AB的中点，

所以点F是PB的中点．

综上，E，F分别是AB，PB的中点．

(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，

所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以PE⊥平面ABCD.

又AB∥CD，AB⊥AD，

所以VF­DEC＝VP­DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.