2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第7章第2节基本不等式

第二节　基本不等式

[最新考纲]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．

2．两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．

3．利用基本不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

1．＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．

2．ab≤2≤.

3．≤≤≤(a＞0，b＞0)．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)

(2)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)

(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.(　　)

(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80　　　　　　 B．77

C．81 D．82

C　[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]

2．若x<0，则x＋(　　)

A．有最小值，且最小值为2

B．有最大值，且最大值为2

C．有最小值，且最小值为－2

D．有最大值，且最大值为－2

D　[因为x<0，

所以－x>0，－x＋≥2＝2，

当且仅当x＝－1时，等号成立，

所以x＋≤－2.]

3．函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为________．

4　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥

2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]

4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，

则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，

则y＝x(10－x)≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

考点1　利用基本不等式求最值

　配凑法求最值

　配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式

进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.

　(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是(　　)

A．　　　　 B．

C．3 D．9

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

(3)已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________.

(1)C　(2)2＋2　(3)7　　[(1)∵a>0，b>0,4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤2＝×2＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.

(2)∵x>1，∴x－1>0，

∴y＝＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．

(3)∵x>，∴4x－5>0.

y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.

当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．

即x＝时，ymin＝7.]

[母题探究]　把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为________，此时x＝________.

3　1　[因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]

　(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋3b)≤2，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝，b＝0时，a(a＋3b)的最大值为，从而错选B.

(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)．

　常数代换法求最值

　常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．

(2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．

(4)利用基本不等式求解最值．

　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

4　[因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．]

[母题探究]

1．若本例条件不变，求的最小值．

[解]　＝＝·

＝5＋2≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时，等号成立．

2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．

[解]　因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.

当且仅当a＝b时，等号成立．

　常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求

＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．

[教师备选例题]

设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．

－2　[∵a＋b＝2，b>0，

∴＋＝＋＝＋

＝＋＋≥＋2＝＋1，

当且仅当＝时等号成立．又a＋b＝2，b>0，

∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]

　(2019·深圳福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则

＋的最小值为(　　)

A.＋ B.＋

C.3＋2 D.＋

A　[已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，

又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]

＝1＋＋＋≥＋2＝＋.

当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．

则＋的最小值为＋.故选A.]

　消元法求最值

　对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．

　(2019·嘉兴模拟)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为(　　)

A．5＋2 B．8

C．5 D．9

A　[∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，

∴a＝＞0，∴b＞2，

∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5

≥5＋2＝5＋2.

当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时取等号．

∴a＋2b的最小值为5＋2.故选A.]

　求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为

“a＝”，然后借助配凑法求最值．

　(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2

－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　)

A．3 B．

C．1 D．0

C　[由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.

又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，

所以此时c＝12b2，

所以＋－＝≤＝1，

故最大值为1.]

　利用两次基本不等式求最值

　当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

　已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为______．

4　[由题意a＞b＞0，则a－b＞0，

所以b(a－b)≤2＝，

所以a2＋≥a2＋≥2＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.]

　由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．

　若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为____．

4　[因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.]

考点2　利用基本不等式解决实际问题

　利用基本不等式解决实际问题的3个注意点

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

　经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量

y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

[解]　(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.

当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，

故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.

因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．

(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，

①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，

当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.

②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，

所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

　当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．

　(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工

厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为

每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．

(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

[解]　(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．

由题意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500，

所以年存储成本费T(x)＝60x＋，

若该化工厂每次订购300吨甲醇，

所以年存储成本费为

T(300)＝60×300＋＝68 000.

(2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋，x＞0，

所以T(x)＝60x＋≥2＝60 000，

当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号．

所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．

考点3　基本不等式的综合应用

　基本不等式的综合应用的2类问题

(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围．

(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．

　(1)(2019·台州模拟)若两个正实数x，y满足＋＝1，且存在这样的x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,4)

B．(－4,1)

C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)

(2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．函数y＝[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域是(　　)

A．{0,1} B．(0,1]

C．(0,1) D．{－1,0,1}

(3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C＝ccos B，则＋＋的最小值为(　　)

A. B.

C. D.2

(1)C　(2)A　(3)A　[(1)∵正实数x，y满足＋＝1，

∴x＋＝＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝且＋＝1，即x＝2，y＝8时取等号，∵存在x，y使不等式x＋＜m2＋3m有解，

∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，故选C.

(2)f(x)＝＝，

∵2x＋≥2，∴0＜f(x)≤1，

则函数y＝[f(x)]的值域为{0,1}，故选A.

(3)∵2bcos C＝ccos B，

∴2sin Bcos C＝sin Ccos B，

∴tan C＝2tan B．又A＋B＋C＝π，

∴tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)

＝－＝－＝，

∴＋＋＝＋＋

＝tan B＋.

又∵在锐角△ABC中，tan B＞0，

∴tan B＋≥2＝，

当且仅当tan B＝时取等号，

∴min＝，故选A.]

　条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用．

　1.已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9 B．12

C．18 D．24

B　[由＋≥，

得m≤(a＋3b)＝＋＋6.

又＋＋6≥2＋6＝12(当且仅当＝，即a＝3b时等号成立)，

∴m≤12，∴m的最大值为12.]

2．两圆x2＋y2－2my＋m2－1＝0和x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则＋的最小值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

D　[由题意可知两圆内切，x2＋y2－2my＋m2－1＝0化为x2＋(y－m)2＝1，x2＋y2－4nx＋4n2－9＝0化为(x－2n)2＋y2＝9，故＝3－1＝2，即4n2＋m2＝4，＋＝(4n2＋m2)＝2＋＋≥2＋2＝4.]

3．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn(n∈N＋)，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

　[an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

∴＝＝≥＝，

当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是.]