2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第6章第2节　等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和

[最新考纲]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

(对应学生用书第96页)

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.

3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系

(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)．

(2)Sn＝na1＋d＝n2＋n，

当d≠0时，Sn是关于n的二次函数(缺少常数项)，

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)已知{an}是等差数列，若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an；若2k＝p＋q，则ap＋aq＝2ak，其中k，l，m，n，p，q∈N*.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

1．等差数列前n项和的最值

在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．

2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝.

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列也是等差数列．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．  (　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)

(3)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为－2. (　　)

(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)

[答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、教材改编

1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的(　　)

A．第19项　　　　 B．第20项

C．第21项 D．第22项

C　[由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]

2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝(　　)

A．600 B．603.5

C．604.5 D．602.5

C　[由an＝a1＋(n－1)d得32＝14.5＋0.7(n－1)，

解得n＝26，所以S26＝＝13(14.5＋32)＝604.5.]

3．小于20的所有正奇数的和为________．

100　[小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝＝100.]

4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.

180　[由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450得

a5＝90.

所以a2＋a8＝2a5＝180.]

(对应学生用书第96页)

⊙考点1　等差数列的基本运算

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5　　　 B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n

(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.

(1)A　(2)4　[(1)设数列{an}的公差为d，由题意得

解得

所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，

Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n，故选A.

(2)由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1.

所以S5＝5a1＋d＝25a1，

S10＝10a1＋d＝100a1，

所以＝4.]

(3)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.

①若a3＝4，求{an}的通项公式；

②若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

[解]　①设{an}的公差为d.

由S9＝－a5得a1＋4d＝0.

由a3＝4得a1＋2d＝4.

于是a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

②由①得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.

由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．

　a1和d是等差数列的两个基本量，求出a1和d进而解决问题，是常用的方法之一．

　1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12　　　B．－10  C．10　　　D．12

B　[法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，

∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.

法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.……∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝(　　)

A．3　　　　B．7     C．9　　　　D．10

D　[因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.]

⊙考点2　等差数列的判定与证明

　等差数列的判定与证明的方法

　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

[解](1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，

所以bn＋1－bn＝－

＝－

＝－＝1.

又b1＝＝－.

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)知bn＝n－，

则an＝1＋＝1＋.

设f(x)＝1＋，

则f(x)在区间和上为减函数．

所以当n＝3时，an取得最小值－1，

当n＝4时，an取得最大值3.

　求数列的最大项和最小项，实际就是求函数的最值问题，可借助函数的图像及函数的单调性求解．

　1.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列的通项公式an＝________.

　[由an＋1＝得＝，

即－＝2.

又＝1，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，

所以an＝.]

2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．

求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．

[证明]　由题意知2an＝1＋anan＋1，

∴－

＝＝

＝＝1.

又a1＝2，＝1，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．

⊙考点3　等差数列性质的应用

　利用等差数列的性质解题的两个关注点

(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．

(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.

　等差数列项的性质

(1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)

A．10　　　　B．20　　　　C．40　　　　D．2＋log25

(2)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝(　　)

A．84 B．70 

C．49 D．42

(1)B　(2)D　[(1)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10

＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.

故选B.

(2)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝＝7(a6＋a9)＝42.

故选D.]

　一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.

　等差数列前n项和的性质

(1)(2019·莆田模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)

A．35 B．42 

C．49 D．63

(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.

(1)B　(2)2 020　[(1)由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，

即7,14，S15－21成等差数列，

∴S15－21＋7＝28，

∴S15＝42，故选B.

(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，

设其公差为d，则－＝6d＝6，

∴d＝1，

∴＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，

∴S2 020＝2 020.]

　本例T(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．

　1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)

A．63 B．45 

C．36 D．27

B　[由题意知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，

即9,27，S9－S6成等差数列．

∴S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.]

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.

6　[S2m－1＝＝＝110，解得m＝6.]

3．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.

　[＝＝＝

＝＝＝.]

⊙考点4　等差数列的前n项和及其最值

　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

(1)二次函数法

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．

(2)通项变号法

①a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

(1)[一题多解]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)

A．5 B．6 

C．7 D．8

C　[法一(通项变号法)：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．

法二(二次函数法)：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．

法三(图像法)：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．]

(2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.

①求等差数列{an}的通项公式；

②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.

[解]　①设等差数列{an}的公差为d，

则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.

由题意得

解得或

所以由等差数列通项公式可得

an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.

故an＝－3n＋5或an＝3n－7.

②当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；

当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．

故|an|＝|3n－7|＝

记数列{3n－7}的前n项和为Sn，

则Sn＝＝n2－n.

当n≤2时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n，

当n≥3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10，

综上知：Tn＝n∈N*.

　当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，故在对称轴处Sn有最值，当对称轴不是正整数时，离对称轴最近的n值使Sn取得最值．

　1.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.]

2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

[解](1)设{an}的公差为d.

因为a1＝－10，

所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.

因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，

所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．

所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．

解得d＝2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.

(2)由(1)知，an＝2n－12.

则当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.

所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.