2020版高考一轮复习物理通用版讲义：第十四章第1节机械振动

第十四章  波与相对论[选修3－4]

[全国卷5年考情分析]

第1节　机 械 振 动

一、简谐运动

1．简谐运动

(1)定义：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动就叫做简谐运动。

(2)条件：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

(3)平衡位置：物体在振动过程中回复力为的位置。

(4)回复力：使物体返回到平衡位置的力。

①方向：总是指向平衡位置。

②来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。

2．简谐运动的两种模型

二、简谐运动的公式和图像

1．表达式

(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相。

2．图像

(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。

三、受迫振动和共振

1．受迫振动

系统在驱动力作用下的振动。受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与系统的固有频率无关。

2．共振

驱动力的频率与系统的固有频率相等时，受迫振动的振幅达到最大，这种现象叫做共振。共振曲线如图所示。

[深化理解]

1．简谐运动是机械振动中最简单的一种理想化的振动，并不是所有的振动都是简谐运动。

2．做简谐运动的物体远离平衡位置运动时，其位移、加速度、回复力均增大，而速度减小；在关于平衡位置对称的两点，物体的位移、加速度、回复力均大小相等、方向相反，而速度大小相等、方向可能相反也可能相同。

3．做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零，如单摆。

4．物体做受迫振动的频率一定等于驱动力的频率，但不一定等于系统的固有频率，固有频率由系统本身决定。

[基础自测]

一、判断题

(1)简谐运动是匀变速运动。(×)

(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(√)

(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(×)

(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(×)

(5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(√)

(6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)

(7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√)

(8)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(×)

二、选择题

1．[鲁科版选修3－4 P5讨论与交流改编]如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是(　　)

A．振子从B经O到C完成一次全振动

B．振动周期是1 s，振幅是10 cm

C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

解析：选D　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，选项A、B错误；振幅A＝BO＝5 cm，振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动中通过的路程为40 cm，选项C错误；3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，选项D正确。

2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)

A．x＝8×10－3sin m

B．x＝8×10－3sin m

C．x＝8×10－1sin m

D．x＝8×10－1sin m

解析：选A　振幅A＝0.8 cm＝8×10－3 m，由周期T＝0.5 s 得ω＝＝4π rad/s，初始时具有负方向的最大加速度，则初始位移为正方向最大，初相φ0＝，所以振动方程x＝Asin(ωt＋φ0)＝8×10－3sinm，A正确。

3．[人教版选修3－4 P21T2改编](多选)如图所示，A球振动后，通过水平细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是(　　)

A．只有A、C的振动周期相等

B．C的振幅比B的振幅小

C．C的振幅比B的振幅大

D．A、B、C的振动周期相等

解析：选CD　B球、C球做受迫振动，周期都等于A球的振动周期，选项A错误，D正确；A球、C球摆长相等，所以固有频率相等，则C球发生共振，C的振幅比B的振幅大，选项B错误，C正确。

高考对本节内容的考查，主要集中在简谐运动的规律、简谐运动图像的理解和应用、受迫振动和共振，通常以选择题的形式呈现，难度一般。

考点一　简谐运动的规律[师生共研类]

简谐运动的规律——五个特征

[典例]　(多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek。下列说法正确的是(　　)

A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于

B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为T

C．物块通过O点时动能最大

D．当物块通过O点时，其加速度最小

E．物块运动至C点时，其加速度最小

[解析]　如果在t2时刻物块的速度大小也为v、方向也向下，则t2－t1的最小值小于，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值小于，选项B错误；当物块通过O点时，其加速度最小，速度最大，动能最大，选项C、D正确；物块运动至C点时，其加速度最大，速度为零，选项E错误。

[答案]　ACD

以位移为桥梁分析简谐运动中各物理量的变化情况

(1)位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。各矢量均在其值为零时改变方向。

(2)位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。　 　　

[题点全练]

1．[简谐运动周期的理解]

(多选)关于简谐运动的周期，以下说法正确的是(　　)

A．间隔一个周期的整数倍的两个时刻，物体的振动情况相同

B．间隔半个周期的奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同

C．半个周期内物体的动能变化一定为零

D．一个周期内物体的势能变化一定为零

E．经过一个周期质点通过的路程变为零

解析：选ACD　根据周期的定义可知，物体完成一次全振动，所有的物理量都恢复到初始状态，故选项A、D正确。当间隔半个周期的奇数倍时，所有的矢量都变得大小相等、方向相反，且物体的速度和加速度不同时为零，故选项B错误，C正确。经过一个周期，质点通过的路程为4A，选项E错误。

2.[简谐运动中各物理量的分析]

(多选)如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　　)

A．h＝1.7 m

B．简谐运动的周期是0.8 s

C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m

D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反

解析：选AB　t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin(2.5π×0.6)m＝－0.1 m，则对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，选项C错误；t＝0.4 s＝时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误。

3．[简谐运动周期的计算]

(多选)(2018·天津高考)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则(　　)

A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s

B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s

C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s

D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s

解析：选AD　若振幅为0.1 m，则T＝1 s，其中n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝2 s，n＝1时，T＝ s，n＝2时，T＝ s，故A正确，B错误。若振幅为0.2 m，振动分4种情况讨论：

第①种情况，设振动方程为x＝Asin(ωt＋φ)，t＝0时，－＝Asin φ，解得φ＝－，所以由P点到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，由P点到Q点用时至少为，即T＝1 s，其中n＝0,1,2，…，当n＝0时，T＝6 s，n＝1时，T＝ s；第②③种情况，由P点到Q点用时至少为，周期最大为2 s；第④种情况，周期一定小于2 s，故C错误，D正确。

考点二　简谐运动图像的理解和应用[基础自修类]

[题点全练]

1.[简谐运动图像的理解]

(2017·北京高考)某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是(　　)

A．t＝1 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值

B．t＝2 s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值

C．t＝3 s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零

D．t＝4 s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值

解析：选A　t＝1 s时，振子在正的最大位移处，振子的速度为零，由a＝－知，加速度为负的最大值，A项正确；t＝2 s时，振子位于平衡位置，速度为负的最大值，加速度为零，B项错误；t＝3 s时，振子在负的最大位移处，速度为零，加速度为正的最大值，C项错误；t＝4 s时，振子位于平衡位置，速度为正的最大值，加速度为零，D项错误。

2．[两横波图像的对比]

(多选)一列简谐横波沿着x轴正方向传播，波中A、B两质点在平衡位置间的距离为0.5 m，且小于一个波长，如图甲所示，A、B两质点振动图像如图乙所示。由此可知(　　)

A．波中质点在一个周期内通过的路程为8 cm

B．该机械波的波长为4 m

C．该机械波的波速为0.5 m/s

D．t＝1.5 s时，A、B两质点的位移相同

E．t＝1.5 s时，A、B两质点的振动速度相同

解析：选ACE　根据A、B两质点的振动图像可知该波的周期为4 s，振幅为2 cm，波中质点在一个周期内通过的路程为4个振幅，为4×2 cm＝8 cm，选项A正确；根据A、B两质点的振动图像可画出A、B两点之间的波形图，A、B两点之间的距离为波长，即λ＝0.5 m，该波的波长为λ＝2 m，选项B错误；该机械波的传播速度为v＝＝0.5 m/s，选项C正确；在t＝1.5 s时，A质点的位移为负值，B质点的位移为正值，两质点位移一定不同，选项D错误；在t＝1.5 s时，A质点的振动速度方向沿y轴负方向，B质点的振动速度方向沿y轴负方向，且两质点位移大小相同，故两质点振动速度相同，选项E正确。

3．[单摆图像的分析]

(多选)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　)

A．单摆的摆长约为1.0 m

B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin(πt) cm

C．从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大

D．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小

E．从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大

解析：选ABE　由题图乙可知单摆的周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由单摆的周期公式T＝2π ，代入数据可得l＝1 m，选项A正确；由ω＝可得ω＝π rad/s，则单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin ωt＝8sin(πt) cm，选项B正确；从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，选项C错误；从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，选项D错误，E正确。

[名师微点]

1．对简谐运动图像的认识

(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。

(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。

2．图像信息

(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。

(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。

(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。

(4)确定某时刻质点速度的方向。

(5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。

(6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。

考点三　受迫振动和共振[基础自修类]

[题点全练]

1.[受迫振动的理解]

(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是(　　)

A．某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同

B．如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2π

C．如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A

D．如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大

E．驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量

解析：选ABD　某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝＝－x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2π ，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，D正确，E错误。

2．[共振现象的理解]

(多选)铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车由于受到周期性的冲击力做受迫振动。普通钢轨长为12.6 m，列车的固有振动周期为0.315 s。下列说法正确的是(　　)

A．列车的危险速率为40 m/s

B．列车过桥需要减速，是为了防止列车与桥发生共振现象

C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的

D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行

解析：选ABD　对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v＝＝40 m/s，A正确；为了防止共振现象发生，过桥时需要减速，B正确；列车运行时的振动频率总等于驱动力的频率，只有共振时才等于列车的固有频率，C错误；由v＝可知，l增大，T不变，v变大，所以D正确。

3．[受迫振动的应用]

如图甲所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的圆柱体带动一个T形支架在竖直方向振动，T形架下面系着一个弹簧和小球组成的系统。圆盘以不同的周期匀速转动时，测得小球振动的振幅与圆盘转动频率的关系如图乙所示。当圆盘转动的频率为0.4 Hz时，小球振动的周期是________ s；当圆盘停止转动后，小球自由振动时，它的振动频率是________ Hz。

解析：小球做受迫振动，当圆盘转动的频率为0.4 Hz时，小球振动的频率也为0.4 Hz，小球振动的周期为T＝＝2.5 s。由题图乙可知小球的固有频率为0.6 Hz，所以当圆盘停止转动后，小球自由振动的频率为0.6 Hz。

答案：2.5　0.6

[名师微点]

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

2．对共振的理解

(1)共振曲线

如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化：

做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。