2019版高中数学二轮复习教师用书：专题四第1讲　小题考法——统计、统计案例与概率

第1讲　小题考法——统计、统计案例与概率

一、主干知识要记牢

1．概率的计算公式

(1)古典概型的概率计算公式

P(A)＝；

(2)互斥事件的概率计算公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

(3)对立事件的概率计算公式：P()＝1－P(A)；

(4)几何概型的概率计算公式

P(A)＝．

2．抽样方法

(1)三种抽样方法的比较

(2)分层抽样中公式的运用

①抽样比＝＝；

②层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．

3．用样本数字特征估计总体

(1)众数、中位数、平均数

(2)方差和标准差

方差和标准差反映了数据波动程度的大小．

①方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；

②标准差：s＝ ]．

二、二级结论要用好

1．频率分布直方图的3个结论

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率．

(2)各小长方形的面积之和等于1．

(3)小长方形的高＝，所有小长方形高的和为．

2．与平均数和方差有关的4个结论

(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；

(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；

(4)s2＝(xi－)2＝－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．

求s2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式．

3．线性回归方程

线性回归方程＝x＋一定过样本点的中心(，)．

三、易错易混要明了

1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．

2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

4．在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等).

考点一　用样本估计总体

1．方差的计算与含义

(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．

(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．

2．与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略

(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据．

(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．

1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是(　A　)

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

解析　对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A．

2．(2018·齐齐哈尔二模)某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是(　B　)

A．68  B．72

C．76  D．80

解析　由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是320×(0.02＋0.07)×2.5＝72人．选B．

3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　D　)

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

解析　由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5 ℃，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20℃的月份有2个，故D错误．

4．(2018·南充三联)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是(　D　)

A．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

D．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

解析　由茎叶图知，

甲的平均成绩是＝82，

乙的平均成绩是＝87，

所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图看出乙的成绩稳定，故选D．

考点二　变量间的相关关系、统计案例

求回归直线方程的关键及实际应用

(1)求回归直线方程的关键是正确理解，的计算公式和准确地求解．

(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

1．(2018·永州三模)党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能．共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是(　D　)

解析　根据四个列联表中的等高条形图可知，图D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．

2．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：

根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中m的值为(　D　)

A．45  B．50

C．55  D．60

解析　＝＝5，

＝＝．

∵当＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，

∴＝50，解得m＝60．

3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　D　)

A．5%  B．75%

C．99.5%  D．95%

解析　由表中数据可得，当k>3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D．

考点三　古典概型与几何概型

1．利用古典概型求概率的关键及注意点

(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数．

(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏．

2．几何概型的适用条件及求解关键

(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

1．(2018·攀枝花一模)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套，如图所示是一枚3克圆形金质纪念币，直径18 mm，某同学为了算图中装饰狗的面积．他用1枚针向纪念币上投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上，据此可估计装饰狗的面积大约是(　C　)

A． mm2  B． mm2

C． mm2  D． mm2

解析　由题意得，纪念币的面积为S＝π×2＝81π，设装饰狗的面积为S1，则＝，所以S1＝×S＝×81π＝ mm2，故选C．

2．(2018·菏泽二模)甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为(　A　)

A．  B．

C．  D．

解析　甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，故他们选择相同颜色运动服的概率为＝，故选A．

3．(2018·延安二模)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是____．

解析　由题意知这是一个几何概型，∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，∴事件总数包含的时间长度是30，∵时长均为5分钟，∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P＝．