(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第06讲 二次函数的图像、性质和解析式（学生版）
展开
二次函数的图象、
性质和解析式
模块一 二次函数的定义
模块二 二次函数的图象和性质
模块三 二次函数的解析式
模块一：二次函数的定义
1．定义：一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
注意：二次函数的二次项系数，而b、c可以为零．
模块二：二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点．
2．二次函数的性质：
（1）函数的图象与a的符号关系．
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；
③决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．
（2）抛物线的顶点是坐标原点(0, 0)，对称轴是（y轴）．
a的 符号 | 开口 方向 | 顶点 坐标 | 对称轴 | 增减性 |
向上 | (0, 0) | y轴 | 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值0． | |
向下 | (0, 0) | y轴 | 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值0． |
3．二次函数的性质：
a的 符号 | 开口 方向 | 顶点 坐标 | 对称轴 | 增减性 |
向上 | (0, c) | y轴 | 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值c． | |
向下 | (0, c) | y轴 | 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值c． |
4．二次函数()的性质：
a的 符号 | 开口 方向 | 顶点 坐标 | 对称轴 | 增减性 |
向上 | （h，k） | x=h | 时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值k． | |
向下 | （h，k） | x=h | 时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最大值k． |
5．二次函数的性质：
配方：二次函数
a的 符号 | 开口 方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 |
向上 | （，） | 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小； 时，y有最小值． | ||
向下 | （，） | 时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大； 时，y有最大值． |
注意：二次函数与坐标轴的交点：
（1）与y轴的交点：；
（2）与x轴的交点：使方程成立的x值．
模块三：二次函数的解析式
1．一般式：
已知图象上三点、、，可用一般式求解二次函数解析式．
2．顶点式：
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式．
3．交点式：
已知抛物线与轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
4．对称式：
已知抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式．
注意：
（1）二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
（2）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
（1）在函数①；②；③（、b、c是常数）；④（k为常数）；⑤中，y关于x的二次函数是________．（填写序号）
（2）当________时，函数是二次函数．
（3）下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是（ ）
A．圆的周长与半径之间的关系
B．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D．我国人口的自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
（1）若二次函数（a，b为常数）的图象如图2-1，则a的值为___________．
（2）如图2-2，抛物线①②③④对应的解析式为，，，，将、、、从小到大排列为______．
图2-1 图2-2
（1）抛物线的对称轴是直线，则b的值为________，顶点坐标为________．
（2）抛物线的对称轴是直线_______，与x轴的交点为_______和_______．
（3）二次函数的顶点在y轴上，则______，若顶点在x轴上，则_______．
（1）若点，，三点在抛物线的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，，，则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
（3）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是___．
（1）已知抛物线经过点，，，，则________．
（2）已知抛物线经过点，，则__________．
（3）已知点，是函数上两点，则当和________时的函数值相等．
（1）已知二次函数．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③其图象顶点坐标为；④当时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2）对于二次函数，有下列说法：
①如果，则y有最小值；
②如果当时，y随x的增大而减小，则；
③如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为3．
其中正确的说法是________________．（把你认为正确的结论的序号都填上）
（3）在同一直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（ ）
A B C D
（1）已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式．
（2）已知一个二次函数的图象经过、、三点，求此二次函数的解析式并把二次函数转化成顶点式．
（1）已知二次函数过点，且顶点为，求二次函数的解析式．
（2）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与x轴的交点坐标．
（1）若抛物线过，，且与y轴交点为，求二次函数的解析式．
（2）已知二次函数的对称轴为，且经过点、，求二次函数的解析式．
（1）已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
（2）已知函数的图象与x轴交于相异两点A、B，另一抛物线过A、B，顶点为P，且是等腰直角三角形，求a、b、c．
（1）下列函数：①；②；③（b、c是常数）；④（a为常数）；⑤，其中是二次函数的是___________．（填序号）
（2）当________时，函数是关于x的二次函数．
（3）已知函数是二次函数，则函数为______________．
（1）如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①，②，③的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________．（填序号）
（2）抛物线的顶点坐标是________．
（3）抛物线的对称轴是_________，顶点坐标为_________，当 _____时，y有最______值是________．
（4）已知抛物线经过点，则抛物线与x轴交点的坐标为_________和_________．
（1）已知二次函数的对称轴为直线，则________．
（2）已知抛物线的顶点在x轴上，则k的值是________．
（3）抛物经与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p，则该抛物线的顶点的坐标是_____________．
（1）已知点，，在函数上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____________．
（1）已知，当x取不同的值，时函数值相等，则当时的值（ ）
A．与的函数相等 B．与的函数相等
C．与的函数相等 D．与的函数相等
（2）已知抛物线经过点，，则________．
（3）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A B C D
（1）已知二次函数的图像经过、、，求二次函数的解析式．
（2）已知抛物线经过点，且顶点坐标为，求这条抛物线的解析式．
（3）已知二次函数的对称轴是直线，且图像过点和，求此函数的解析式．
（4）设二次函数，当时取得最大值为10，并且它的图象在x轴上截得的线段长为4．求二次函数的解析式．
