高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学演示ppt课件
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1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念.
NEIRONGSUOYIN
1.角的概念：角可以看成平面内一条 绕着它的端点 所成的 .2.角的表示：如图，OA是角α的 ，OB是角α的 ，O是角α的 .角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.
思考 角的概念中主要包含哪些要素？
答案 角的概念包含的三要素为：顶点、始边、终边.
知识点二 角的加法与减法
设α，β是任意两个角， 为角α的相反角.(1)α＋β：把角α的 旋转角β.(2)α－β：α－β＝ .
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第几 ；如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
思考 “锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
答案 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝__________________ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
{β|β＝α＋k·360°，
思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.第二象限角是钝角.( )2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.( )3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
例1 下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确的结论为______(填序号).
解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确.
理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120° B.－120° C.－60° D.60°
二、终边相同的角及象限角
例2 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角.(1)420°；
解 420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.
解 －510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.
解 1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角.
首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可.
跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为A.0 B.1 C.2 D.3
(2)与－460°角终边相同的角可以表示成A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈ZC.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.
解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.
例3 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.
表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
解 如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}.∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}.如题图(2)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}.
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
解 方法一 ∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α
延伸探究1.在本例条件下，求角2α的终边的位置.
解 ∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α
1.与－30°终边相同的角是A.－330° B.150° C.30° D.330°
解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
2.－240°是A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角
解析 因为－240°角的终边落在第二象限，故为第二象限角.
3.下列说法正确的是A.锐角是第一象限角 B.第二象限角是钝角C.第一象限角是锐角 D.第四象限角是负角
解析 由于锐角范围是0°<α<90°，显然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是钝角；380°是第一象限角，但不是锐角；330°是第四象限角，但不是负角.
4.终边与坐标轴重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析 终边在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.
5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是____________________________________.
{α|k·360°＋45°<α
1.知识清单：(1)任意角的概念.(2)终边相同的角与象限角.(3)区域角的表示.2.方法归纳：数形结合，分类讨论.3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
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