数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制授课课件ppt

课题名

5.1.1任意角

教学目标

1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角；

2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合；

3.了解象限角的概念。

教学重点

了解任意角、象限角的概念，区分正角、负角与零角

教学难点

理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？

【思考1】 初中学过角的概念是什么？范围是多大?

【提示】有公共端点的两射线组成的几何图形叫角.角的范围：0°～360°。

   【思考2】在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？

【提示】上述问题中，角的度数已经不再局限在360度内，所以角的概念需进行推广。

【设计意图】通过复习初中角的概念，引入本节新课,建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

二、 讲授新课

任意角的概念

规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.

这样，我们就把角的概念推广到了任意角.

【做一做】画出下列各角：，，.

【提示】

相等角与相反角

①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.

②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.

③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.

【设计意图】通过概念学习 ，让学生进一步理解任意角的概念，提高学生分析问题、概括能力。

象限角

【探究1】为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？

   【提示】  任意角的终边落在四个象限都有可能，如图。          

象限角的概念：

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。

【做一做】 下列各角：-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？

【提示】

       第四象限角              第一象限角          第三象限角

第二象限角                 轴线角

【探究】四个象限角如何用集合的形式表示？

【提示】

【设计意图】通过探究学习，使学生掌握象限角的判断方法，强化数学抽象的核心素养。

终边相同的角

【探究1】 -32°，328°，-392°是第几象限的角？ 这些角有什么内在联系？

【提示】都是第四象限角，这些角的终边相同，相差3600的整数倍。

【探究2】一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？

【提示】S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}

终边相同的角的概念：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

【探究3】终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？

【提示】x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ；       

x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ；

y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； 

y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z 。

【拓展】终边在x轴的角表示为：,

        终边在y轴的角表示为：，

【辩一辩】

1．第二象限角是钝角．(　×　)

2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(　√　)

3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　√　)

【设计意图】通过探究学习，培养学生数学抽象的核心素养。

【例1】　(1)下列说法正确的有________．(填序号)

①零角的始边和终边重合．

②始边和终边重合的角是零角．

③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.

④绝对值最小的角是零角．

(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？

[解析]　(1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的

始边和终边也重合．

(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－

30°，而5小时25分钟为5小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－×360°＝－1 950°.

【类题通法】

求解任意角问题的步骤

(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．

(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．

【巩固练习1】

写出下列说法所表示的角：

(1)顺时针拧螺丝2圈；

(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；

(3)向右转体3周．

【解析】(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角

为－720°.

(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.

(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的

角为－1 080°.

【例2】(1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．

(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.

[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的

最小正角是150°.

(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.

②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.

【类题通法】

1.判断α是第几象限角的三个步骤

第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．

第二步，判断β的终边所在的象限．

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

2．求解给定范围内终边相同的角的方法

先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.

【巩固练习2】

在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

(1)－150°；(2)650°.

【解】(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

【例3】如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围。

[解]若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.

若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.

所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，

k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}

在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，

所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，

＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，

S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}

＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，

所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．

【类题通法】

由角的终边的范围求角的集合的步骤

(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．

(2)按照所给的范围写出角的范围．

(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．

【巩固练习3】

如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．

【解】(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：

S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，

∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为

{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．

(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．

【例4】已知α是第二象限角，求角所在的象限．

【解】方法一　∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．

当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<<n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<<n·360°＋270°，这表明是第三象限角．

∴为第一或第三象限角．

方法二　如图，

先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．

【类题通法】

已知角α所在象限，要确定角所在象限，有两种方法：

(1)用不等式表示出角的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．

(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角的终边所落在的区域．如此，角所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．

【变式探究1】

在本例条件下，求角2α的终边的位置．

【解】∵α是第二象限角，

∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．

∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．

∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．

【变式探究2】

若本例条件中角α变为第三象限角，求角是第几象限角．

解　如图所示，

先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角．

三、课堂小结

四、达标检测

1．与30°角终边相同的角的集合是(　A　)

A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}

C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}

2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(D　)

A．45°－4×360°　　　　 B．－45°－4×360°

C．－45°－5×360°  D．315°－5×360°

3．若α是锐角，则180°＋α是第__三__象限角．

4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是__240°。

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

教学反思

学生基本上能掌握本节的基础知识，不过对于象限角有关的题目还是不是很灵活，还需要加强。