高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质课后测评

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第二章 函数


§4 函数的奇偶性与简单的幂函数


课时2 简单幂函数的图像和性质


知识点1 幂函数的概念


1.☉%5#￥038@￥%☉(2020·山东济宁一中高一检测)下列函数是幂函数的是( )。


A.y=x3+1B.y=x5


C.y=5xD.y=(x+1)3


答案：B


解析：函数y=x3+1中含常数项,不是幂函数;函数y=5x的系数不是1,不是幂函数;函数y=(x+1)3的底数不是自变量x,不是幂函数;函数y=x5是幂函数。故选B。


2.☉%￥54*#63#%☉(2020·四川绵阳中学高一月考)下列函数中,定义域是R的是( )。


A.y=x-2B.y=x


C.y=x2D.y=x-1


答案：C


解析：函数y=x-2,y=x-1的定义域为{x|x∈R,x≠0},函数y=x的定义域为{x|x≥0},函数y=x2的定义域为R。故选C。


3.☉%￥38#9￥8*%☉(2020·重庆一中高一期中)已知幂函数y=(a2-2a-2)·xa在实数集R上单调,那么实数a=( )。


A.1B.3或-1


C.-1D.3


答案：D


解析：由幂函数定义可知a2-2a-2=1,所以a=-1或a=3。当a=3时,y=x3,满足在实数集R上单调;当a=-1时,y=x-1,不满足在实数集R上单调,所以a=3,故选D。


4.☉%*4924@#￥%☉(2020·福州一中月考)若函数f(x)=(t+2)xt-1是幂函数,则这个函数的解析式为 。


答案：f(x)=x-2


解析：因为t+2=1,所以t=-1,所以f(x)=x-2。


5.☉%*@￥9￥117%☉(2020·内江统考)函数f(x)=(m2+3m+1)·xm2+m-1是幂函数,且其图像过原点,则m= 。


答案：-3


解析：因为函数f(x)=(m2+3m+1)·xm2+m-1是幂函数,所以m2+3m+1=1,解得m=0或-3。当m=0时,f(x)=x-1,其图像不过原点,舍去;当m=-3时,f(x)=x5,其图像过原点。∴m=-3。


6.☉%@#72*1@7%☉(2020·福建三明二中统考)若f(x)=xa是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f12= 。


答案：13


解析：因为f(4)f(2)=3,所以4a2a=3,即2a=3,所以f12=12a=2-a=3-1=13。


知识点2 幂函数的图像


7.☉%1￥5**@82%☉(多选)(2020·衡水二中单元测验)下列命题中不正确的是( )。


A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线


B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点


C.若幂函数y=xα的图像关于原点对称,则y=xα在定义域上是增函数


D.幂函数的图像不可能在第四象限


答案：ABC


解析：当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图像为两条射线,故A选项不正确;当α<0时,函数y=xα的图像不过(0,0)点,故选项B不正确;幂函数y=x-1的图像关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故选项C不正确;当x>0,α∈R时,y=xα>0,故幂函数的图像都不在第四象限,故选项D正确。


8.☉%*8@#951@%☉(2020·西安二中月考)函数y=x13的图像是( )。





图2-4-2-1


答案：B


解析：直接由幂函数的图像特征判定。故选B。


9.☉%@*4@@410%☉(2020·盐城中学月考)函数y=x12-1的图像关于x轴对称的图像大致是( )。





图2-4-2-2


答案：B


解析： y=x12的图像在第一象限,函数y=x12-1的图像可看作是由y=x12的图像向下平移1个单位长度得到的,将y=x12-1的图像关于x轴对称后即为选项B所示图像。故选B。


10.☉%@50￥*7*3%☉(2020·丰台二中月考)如图2-4-2-3,给出4个幂函数的图像,则图像与函数大致对应的是( )。





图2-4-2-3


A.①y=x2,②y=x13,③y=x12,④y=x-1


B.①y=x3,②y=x2,③y=x12,④y=x-1


C.①y=x2,②y=x3,③y=x12,④y=x-1


D.①y=x13,②y=x12,③y=x2,④y=x-1


答案：B


解析：注意到函数y=x2≥0,其图像关于y轴对称,该函数图像应与②对应;y=x12=x的定义域、值域都是[0,+∞),该函数图像应与③对应;y=x-1=1x,其图像应与④对应。故选B。


11.☉%3**10￥9#%☉(2020·湖北襄阳四中期中)在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-1a的图像可能是( )。





图2-4-2-4


答案：C


解析：当a<0时,函数y=ax-1a是减函数,且在y轴上的截距-1a>0,y=xa在(0,+∞)上是减函数,所以B,D项均不正确。对于A,C项,由y=ax-1a是增函数可知a>0,则y=xa应为增函数,A项错,C项正确,故选C。


12.☉%2￥￥@2*45%☉(2020·山西大同高一月考)若幂函数y=(m2-3m+3)·xm2-m-2的图像不过原点,则m的取值是( )。


A.-1≤m≤2B.m=1或m=2


C.m=2D.m=1


答案：B


解析：由幂函数的定义,可得m2-3m+3=1,解得m=1或2。


当m=1时,y=x-2,其图像不过原点;当m=2时,y=x0,其图像不过原点。故m=1或2。故选B。


13.☉%96*09***%☉(2020·湖南湘潭一中、岳阳一中高一联考)如图2-4-2-5,曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像,已知n取±2,12三个值,则相应于曲线C1,C2,C3的n值依次为( )。





图2-4-2-5


A.-2,12,2B.2,12,-2


C.-2,2,12D.2,-2,12


答案：B


解析：函数y=x-2,y=x2,y=x12中令x=4得到的函数值依次为116,16,2,函数值由大到小对应的解析式为y=x2,y=x12,y=x-2,因此相应于曲线C1,C2,C3的n值依次为2,12,-2,故选B。


14.☉%#*￥923*6%☉(2020·开封中学月考)已知幂函数f(x)的图像过点(4,2),则f18= 。


答案：24


解析：设幂函数为y=xα(α为常数)。


因为函数f(x)的图像过点(4,2),所以2=4α,


所以α=12。所以f(x)=x12,


所以f18=1812=24。


15.☉%5@@*03￥0%☉(2020·山东临沂高一检测)如图2-4-2-6,幂函数f(x)=x3m-7(m∈N)的图像关于y轴对称,且与x轴,y轴均无交点,求此函数的解析式及不等式f(x+2)<16的解集。





图2-4-2-6


答案：解:由题意,得3m-7<0,所以m<73。


因为m∈N,所以m=0,1或2。


因为幂函数的图像关于y轴对称,所以3m-7为偶数。


因为m=0时,3m-7=-7,m=1时,3m-7=-4,m=2时,3m-7=-1,所以当m=1时,y=x-4符合题意,即f(x)=x-4。


所以不等式f(x+2)<16可化为(x+2)-4<16,


即-2<(x+2)-1<2,解得x>-32或x<-52,


所以该不等式的解集为-∞,-52∪-32,+∞。


题型1 利用幂函数的性质比大小


16.☉%19#@￥8￥2%☉(2020·宿迁一中高一月考)a=1.212,b=10912,c=1.112的大小关系是( )。


A.c

C.b

答案：D


解析：因为y=x12是增函数, 所以1.212>10912>1.112,即a>b>c。故选D。


17.☉%790@#1*@%☉(2020·江苏扬州中学月考)已知幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于( )。


A.0B.1C.2D.3


答案：B


解析：因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以3m-5<0(m∈N),则m=0或m=1。当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不合题意。当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意,因此m=1,故选B。


18.☉%36@#4*5@%☉(2020·郑州一中月考)设a=20.3,b=30.2,c=70.1,则a,b,c的大小关系为( )。


A.c

C.a

答案：A


解析： a=20.3=80.1,b=30.2=90.1,c=70.1,由幂函数y=x0.1在(0,+∞)上单调递增,可知c

19.☉%77#￥74##%☉(2020·河南方成二高月考)设a=2535,b=2525,c=3525,则a,b,c的大小关系是( )。


A.a>b>cB.c>a>b


C.ac>a


答案：C


解析：因为a=2535=812515,b=2525=42515,c=3525=92515,又函数f(x)=x15单调递增,且8125<425<925,所以a

20.☉%*77#0￥#7%☉(2020·大连第23中学期中)比较下列各组数的大小。


(1)3-52和3.1-52;


答案：解:函数y=x-52在(0,+∞)上为减函数,


又3<3.1,所以3-52>3.1-52。


(2)-8-78和-1978;


答案：-8-78=-1878,函数y=x78在(0,+∞)上为增函数,


又18>19,则1878>1978,从而-8-78<-1978。


(3)4.125,3.8-23和-(1.9)35。


答案：4.125>125=1,0<3.8-23<1-23=1,-(1.9)35<0,


所以-(1.9)35<3.8-23<4.125。


题型2 利用幂函数的性质求最值及参数的范围


21.☉%#844*1#@%☉(2020·杭州二中月考)函数f(x)=x3的图像( )。


A.关于直线y=x对称B.关于x轴对称


C.关于原点对称D.关于y轴对称


答案：C


解析：因为f(x)=x3是奇函数,所以f(x)的图像关于原点对称。故选C。


22.☉%57@#2#1@%☉(2020·上海交大附中摸底)若幂函数f(x)=xm-1在(0,+∞)上是增函数,则( )。


A.m>1B.m<1


C.m=1D.m的值不能确定


答案：A


解析：因为幂函数f(x)=xm-1在(0,+∞)上是增函数,所以m-1>0,解得m>1。故选A。


23.☉%9#*3#0#0%☉(多选)(2020·四川双统中学月考)已知幂函数y=xm2-m-6(m∈Z)的图像与x轴无公共点,则m的取值可为( )。


A.-1B.0


C.1D.2


答案：ABCD


解析：由题意知m2-m-6<0,解得-2

24.☉%##485@8*%☉(2020·广西河池示范性高中课改联盟体高一联考)已知幂函数f(x)=xα的图像过点2,12,则函数g(x)=(x-2)f(x)在区间12,1上的最小值是( )。


A.-1B.-2


C.-3D.-4


答案：C


解析：由已知得2α=12,解得α=-1,所以g(x)=x-2x=1-2x。因为g(x)在区间12,1上单调递增,所以g(x)min=g12=-3。故选C。


25.☉%0@@3*￥76%☉(2020·南京师大附中月考)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则m的值为 。


答案：2


解析：根据幂函数的定义得m2-m-1=1,


解得m=2或m=-1。


因为函数在(0,+∞)上为减函数,


所以-5m-3<0,即m>-35,


所以m=2。


26.☉%@@88*31*%☉(2020·成都模拟)已知幂函数y=x1n-3(n∈N*)的定义域为(0,+∞),且单调递减,则n= 。


答案：1


解析：因为幂函数y=x1n-3(n∈N*)在区间(0,+∞)上单调递减。所以指数1n-3<0,即可得n<3。又n∈N*,所以n=1或2。当n=1时,函数y=x-12,则定义域为(0,+∞),且单调递减,符合题意;当n=2时,函数y=x-1的定义域是x≠0,不符合题意。综上n=1。


27.☉%*4*56#6@%☉(2020·江苏镇江月考)若函数f(x)=x12-x,则满足f(x)<0的x的取值范围是 。


答案：(1,+∞)


解析：因为x12-x<0,所以x12(1-x12)<0。因为x≥0,所以x12>0,所以1-x12<0,所以x12>1,所以x>1。


28.☉%*@093￥￥1%☉(2020·开封中学模拟)已知幂函数y=f(x)=x-2m2-m+3,其中m∈{x|-2

(1)是区间(0,+∞)上的增函数;


(2)对任意的x∈R,都有f(-x)+f(x)=0。


求同时满足(1),(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时f(x)的值域。


答案：解:因为m∈{x|-2

所以m∈{-1,0,1}。因为对任意x∈R,都有f(-x)+f(x)=0,


即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数。


当m=-1时,f(x)=x2,只满足条件(1),而不满足条件(2);


当m=1时,f(x)=x0,条件(1),(2)都不满足。


当m=0时,f(x)=x3,条件(1),(2)都满足,且在区间[0,3]上是增函数。


所以当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0,27]。


综上,f(x)=x3,且当x∈[0,3]时的值域为[0,27]。