2020届二轮复习直线与平面平行的判定教案（全国通用）

2020届二轮复习  直线与平面平行的判定 教案（全国通用）

重点难点

    如何判定直线与平面平行.

课时安排

    1课时

教学过程

复习

    复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.

导入新课

思路1.(情境导入)

    将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

思路2.(事例导入)

    观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？

图1

推进新课

新知探究

提出问题

①回忆空间直线与平面的位置关系.

②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.

③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.

④试证明直线与平面平行的判定定理.

活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.

问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题③引导学生进行语言转换.

问题④引导学生用反证法证明.

讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.

②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？

不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，

因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.

若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？

既然不可能相交，则该直线与平面平行.

③直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

符号语言为：.

图形语言为：如图2.

图2

④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.

∴aβ，bβ.

∵aα，aβ，∴α和β是两个不同平面.

∵bα且bβ，

∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,

则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.

∴假设错误.故a∥α.

应用示例

思路1

例1  求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.

求证：EF∥面BCD.

活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

证明：如图3,连接BD,

图3

EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.

变式训练

    如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.

图4

画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.

证明：如图5,

图5

.

所以,BC∥平面MNEF.

点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行.

例2  如图6，已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点.

图6

求证：AC∥平面EFG，BD∥平面EFG.

证明：连接AC、BD、EF、FG、EG.

在△ABC中，

∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AC∥EF.

又EF面EFG，AC面EFG,

∴AC∥面EFG.

同理可证BD∥面EFG.

变式训练

    已知M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α.

证明：如图7,连接AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连接PQ.

图7

∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心，

∴=2.∴MN∥PQ.

又PQα，MNα,∴MN∥α.

点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

思路2

例题  设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8,

（1）证明PQ∥平面AA1B1B；

（2）求线段PQ的长.

图8

(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M,N,连接MN,NQ,MP,

∵MP∥AD,MP=,NQ∥A1D1,NQ=,

∴MP∥ND且MP=ND.

∴四边形PQNM为平行四边形.

∴PQ∥MN.

∵MN面AA1B1B,PQ面AA1B1B,

∴PQ∥面AA1B1B.

证法二：连接AD1,AB1,在△AB1D1中,显然P,Q分别是AD1,D1B1的中点,

∴PQ∥AB1,且PQ=.

∵PQ面AA1B1B,AB1面AA1B1B,

∴PQ∥面AA1B1B.

(2)解:方法一:PQ=MN=.

方法二：PQ=.

变式训练

    如图9，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E=BF.

图9

求证：EF∥平面BB1C1C.

证明：连接AF并延长交BC于M，连接B1M.

∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB.

∴.

又∵BD=B1A，B1E=BF,∴DF=AE.

∴.

∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C.

∴EF∥平面BB1C1C.

知能训练

    已知四棱锥P—ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点,求证:PA∥平面MBD.

证明：如图10,连接AC、BD交于O点,连接MO,

图10

∵O为AC的中点,M为PC的中点,

∴MO为△PAC的中位线.

∴PA∥MO.

∵PA平面MBD,MO平面MBD,

∴PA∥平面MBD.

拓展提升

    如图11，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于AC,M是线段EF的中点.

图11

求证:AM∥平面BDE.

证明：设AC∩BD=O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是平行四边形，

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

课堂小结

知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.

方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.

作业

    课本习题2.2  A组3、4.

设计感想

    线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来，高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定.本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目.学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心.