2019届二轮复习（文）数列综合学案（全国通用）
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【母题 一】【2018全国卷1文数17】
【母题原题】已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【 】2018年全国普通高等学校招生统一考试文 数学（新课标I卷）
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.
(3) an=n·2n-1．
（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．
点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.
【母题 二】【2017全国卷1文数17】
【母题原题】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=−6．
（1）求的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
（2）由（1）可得．
由于，
故，，成等差数列．
【考点】等比数列+ +k ]
【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．学 ]
【母题 三】【2016全国卷1文数17】
【母题原题】已知是公差为3的等差数列，数列满足.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的前n项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.
【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. ]
【方法总结】
1.求数列前n项和的常用方法
1）分组求和法
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 学
2）裂项相消法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数
如：是公差为的等差数列，求
解：由
∴
3）错位相减法
若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.
如： ①
②
①—②
时，，时，
4）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 学 ]
相加
2.数列与函数综合
（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．
3.数列与不等式综合
与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．
4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；
5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．
1．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】等比数列中，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：本题考查等比数列的性质，本题可以用基本量法求解，即求出首项和公比后，再计算，当然应用性质求解更应提倡．本题所用性质为：数列是等比数列，则（为常数）仍是等比数列．
2．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：
若等差数列的前项和为，且，则
①若，则；
②、、、 成等差数列．
3．【安徽省安庆市第一中学2018届高三热身考试】数列中，已知，且，(且)，则此数列为( )
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 从第二项起为等差数列 D. 从第二项起为等比数列
【答案】D
【解析】分析：由已知得，, (且)，即，(且)，由此能推导出数列从第2项起是以2为公比的等比数列． 学
详解：由得；
又，得．
∵，(且)，
∴, (且)，
∴，(且)，
当时，上式不成立．
∴故数列从第2项起是以2为公比的等比数列．
故选D．
点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是，当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．
4．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，，，则（ ）
A. B. C. D. 学 ]
【答案】D
点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.
5．【2018年天津市南开中学高三模拟考试】已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：设出等比数列的公比为，利用等比数列的性质，根据已知等式求出的值，进而求出的值，表示出与，即可求出结果.
详解：设等比数列的公比为，所以，
所以，
解得，，
，所以，故选D. 学
点睛：该题考查的是有关等比数列的问题，涉及到的知识点有等比数列项之间的关系，等比数列的通项公式和等比数列的求和公式的应用，在解题的过程中，注意认真运算.
6．【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】已知数列是公差为3的等差数列，是公差为5的等差数列，若，则数列为
A. 公差为15的等差数列 B. 公差为8的等差数列
C. 公比为125的等比数列 D. 公比为243的等比数列
【答案】A
7．【重庆市第八中学2018届高考适应性月考（八）】公差与首项相等的等差数列的前项和为，且.记，其中表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：先求出数列的通项，再分组求数列的前项和.
详解：由题得
所以
所以
所以数列的前项和为.
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查等差数列的通项和前n项和，考查学生接受新定义及利用新定义解题的能力.(2)由于新数列的通项不方便求出，所以利用列举法比较恰当.
8．【北京西城八中2017届高三上学期期中考试】已知数列的前项和满足，其中．
（Ⅰ）求证：数列为等比数列．
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】(1)见解析（2）
∴，
则的前项和，
．
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型 （如 ）
9．【福建省三明市第一中学2018届高三模拟卷（一）】若数列的前项和为，首项且（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）若（），令，求数列的前项和.
【答案】(1) 或.(2) . 学！
；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
10．【辽宁省葫芦岛市2018年普通高中高三第二次模拟考试】设等差数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1) an=2n-1 (2)
所以
点睛：本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
11．【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】已知等比数列的前项和为，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 学
12．【四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试】已知数列中， ，其前项和为，且满足．
（11）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）当时，利用与的关系式化简即可证明；
（2）由（1）可知，，所以，利用放缩法、裂项相消法即可证明.
详解：（1）当时，， 学 ]
点睛：本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查.
