2019届二轮复习小题综合限时练（十）作业（全国通用）

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.在复平面内，复数6＋5i，2＋4i(i为虚数单位)对应的点分别为A、C.若C为线段AB的中点，则点B对应的复数是(　　)

A.－2＋3i  B.4＋i

C.－4＋i  D.2－3i

解析　∵两个复数对应的点分别为A(6，5)、C(2，4)，C为线段AB的中点，∴B(－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A.

答案　A

2.如图，设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|1≤x≤8}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　)

A.3  　　　 .4 

C.7  　　　 .8

解析　依题意，A∩B＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A.

答案　A

3.已知实数x、y满足不等式组若z＝x－y，则z的最大值为(　　)

A.3  B.4 

C.5  D.6

解析　作出不等式组

所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y＝x－z，平移直线y＝x－z可知，当直线经过点(3，0)时，z取最大值，代值计算可得z＝x－y的最大值为3.故选A.

答案　A

4.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)

A.  B. 

C.  D.

解析　由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，

又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2，|PF1|＝4，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos ∠F1PF2＝＝.故选B.

答案　B

5.已知定义在R上的函数f(x)满足条件：

①对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)；

②对任意的x1、x2∈[0，2]且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)；

③函数f(x＋2)的图象关于y轴对称.

则下列结论正确的是(　　)

A.f(7)＜f(6.5)＜f(4.5) B.f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)

C.f(4.5)＜f(6.5)＜f(7) D.f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)

解析　由函数f(x＋2)的图象关于y轴对称，得f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，由题意知，f(x)在[0，2]上是增函数，∴f(4.5)＜f(7)＜f(6.5).故选D.

答案　D

6.已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，△ABC的面积等于，则b的取值范围为(　　)

A.[2，)  B.[，)

C.[2，6)  D.[4，6)

解析　∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，即B＝60°.

∵S＝acsin B＝acsin 60°＝ac＝，

∴ac＝4.

法一　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac，又△ABC为锐角三角形，∴a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，∵b2＝a2＋c2－ac，∴b2＋c2＜(a2＋c2－ac)＋(a2＋b2)，整理得2a＞c，且b2＋a2＜(a2＋c2－ac)＋(b2＋c2)，整理得2c＞a，∴＜a＜2c，＜a2＜2ac，又ac＝4，∴2＜a2＜8，b2＝a2＋c2－ac＝a2＋－4，2＜a2＜8，∴令a2＝t∈(2，8)，则b2＝f(t)＝t＋－4，2＜t＜8，∵函数f(t)在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，

∴f(t)∈[4，6)，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.

法二　由正弦定理＝＝，得ac＝·

sin Asin C⇒4＝b2sin Asin(120°－A)，

即b2＝＝

＝＝＝，

∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A－30°＜150°，1＜sin(2A－30°)＋≤，∴≤b2＜，即4≤b2＜6，∴2≤b＜.故选A.

答案　A

7.点P是底边长为2，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则·的取值范围是(　　)

A.[0，2]  B.[0，3]

C.[0，4]  D.[－2，2]

解析　如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，由正三棱柱底边长为2，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM＝ON＝1，外接球半径为OA＝OA1＝，对三棱柱上任一点P到球心O的距离的范围为[1，]，∴·＝2－2＝2－1∈[0，4].故选C.

答案　C

8.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是(　　)

A.－  B.－ 

C.－  D.－

解析　∵圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴圆C的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2，∵|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离≤2，解得－≤k≤0，即k的最小值是－.故选A.

答案　A

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.)

9.曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________.

解析　法一　∵y＝1－＝，∴y′＝＝，

∴y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

法二　由题意得y＝1－＝1－2(x＋2)－1，

∴y′＝2(x＋2)－2，∴y′|x＝－1＝2，

所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

答案　y＝2x＋1

10.在等比数列{an}中，若a5＋a6＋a7＋a8＝，a6a7＝，则＋＋＋＝________.

解析　由等比数列的性质知a5a8＝a6a7，∴＋＋＋＝＋＝＝×＝.

答案　

11.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；几何体的体积是________.

解析　由三视图知该几何体为两个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，所以几何体的表面积为4π×12＋2π×1×2＝8π，体积为π×13＋π×12×2＝.

答案　8π　

12.若x＝是函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的一条对称轴，则函数f(x)的最小正周期是________；函数f(x)的最大值是________.

解析　因为f(x)＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋φ)，所以f(x)的最小正周期T＝＝π；因为x＝是函数f(x)的一条对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋，即φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝，所以a＝tan φ＝，所以函数f(x)的最大值为＝.

答案　π　

13.已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.

解析　设y＝1－x，则x－y＝x－(1－x)＝2x－1，0<x<1，所以x－y∈(－1，1)；＋＝＋＝＋＋1≥3，当且仅当＝，即x＝y＝时取得等号.

答案　(－1，1)　3

14.如图，等腰△OAB中，∠OAB＝∠OBA＝30°，E，F分别是直线OA，OB上的动点，＝λ，＝μ，||＝2.若·＝9，则μ＝________；若λ＋2μ＝2，则·的最小值是________.

解析　以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由|OA|＝2，∠OAB＝∠OBA＝30°得A(－，0)，B(，0)，O(0，1)，＝(2，0)，由＝μ得F(μ，1－μ)，所以＝(μ＋，1－μ)，由·＝2(μ＋)＝9得μ＝，由＝λ得E(－λ，1－λ)，＝(－λ－，1－λ)，由λ＋2μ＝2得＝(－3＋2μ，2μ－1)，所以·＝4μ2－10，当μ＝0时，·取得最小值－10.

答案　　－10

15.关于函数f(x)＝2sin (x∈R)，有下列命题：

①y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；

②y＝f(x)的图象关于点对称；

③若f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必为π的整数倍；

④y＝f(x)在上单调递增；

⑤y＝f(x)的图象可由y＝2sin 2x的图象向右平移个单位得到.

其中正确命题的序号有________.

解析　对于①，y＝f(x)的对称轴是2x－＝kπ＋，(k∈Z)，即x＝＋，当k＝－1时，x＝－，即①正确；对于②，y＝f(x)的对称点的横坐标满足2x－＝kπ，(k∈Z)，即x＝＋.即②不成立；对于③，函数y＝f(x)的周期为π，若f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必为半个周期的整数倍，即③不正确；对于④，y＝f(x)的增区间满足－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，∴－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即④成立；对于⑤，y＝2sin 2＝2sin≠f(x)，即⑤不正确.

答案　①④