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2020中考数学复习方案考场抢分36计 试卷
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考场抢分36计
第1计 真题——中考指南针
一、为什么要研究中考真题
研究中考真题可以让我们体验中考考试方式,掌握题型分布、难度、重难点等.中考试卷的模式基本是固定不变的,如选择题、填空题和解答题的数量和分值,每道题涉及的知识范围以及出现的顺序等,这些都有规律可循,有些内容每年必考,有些内容则几年出现一次,周期中变化.
二、如何研究中考真题
研究范围:研究当地或邻近地区近三年中考真题.
研究方法:
(1)将所有内容分成实数及其运算、整式与因式分解、分式与二次根式、方程(组)、一元一次不等式(组)、一次函数、二次函数、反比例函数、图形的初步认识、三角形、四边形、视图与投影、圆、图形变换、相似、锐角三角函数、数据的收集与整理、概率初步等,以表格的形式进行粗略统计,从分值和出现顺序、难易程度上找规律;
(2)对于以上几大块内容,若感觉某些块掌握较好就略过,对那些每年必考又掌握不到位的内容,进行细化研究;
(3)通过研究,找出考查重点中掌握不到位的内容,有针对性地找些题目进行强化训练.如果找不到合适的材料,可以将一轮、二轮复习资料拿出来进行强化,效果也是不错的,这样更容易理解和掌握,见效更快.
这就是所谓:知己知彼,百战不殆.
第2计 运算快而准的绝招
运算能力是中考必考内容,要求快速准确,达到快速准确需要一定的技巧性,写出关键步骤.运算快而准就能为其他题目的解答节省时间,提高解题效率.
1.实数的混合运算一定要用好运算律,注意平方差公式、完全平方公式等在简化运算中的应用.
2.先化简后求值是代数式求值的基本方法,常见的有整式、分式、二次根式的化简求值.
3.熟记一些结论可以提高运算速度,特别是选择题、填空题,比如记住1~20的平方、1~9的立方、勾股数、特殊角的三角函数值等.
例 计算:12-2-(π-7)0+3-2+4sin60°.
解:原式=4-1+2-3+4×32
=5-3+23
=5+3.
【点悟】 (1)实数的混合运算常涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等,分别计算,然后按照实数的运算法则计算结果.
(2)对算式中各部分进行准确计算,就能减少结果的失误.
计算:4-(π-2016)0+|3-2|+2sin60°.
第3计 因式分解的代数工具
要解决好整式的化简、分式的化简、二次根式的化简或求值、一元二次方程的解、二次函数图象的交点问题等这些初中数学的代数问题,就必须要掌握好因式分解这个工具.
例 分解因式:(1) 9bx2y-by3= ;
(2) 5x3-10x2+5x= .
[答案] (1)by(3x+y)(3x-y) (2)5x(x-1)2
[解析] (1)9bx2y-by3=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).
(2)5x3-10x2+5x=5x(x2-2x+1)=5x(x-1)2.
【点悟】 因式分解的步骤:一提(提公因式),二套(平方差公式、完全平方公式),直到不能再分解为止.
1. 因式分解:a3-a= .
2. 分解因式:2x2-4x+2= .
3.如图3-1,将4个长、宽分别均为a,b的长方形摆成了一个大的正方形,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是 ( )
图3-1
A.a2+2ab+b2=(a+b)2
B.a2-2ab+b2=(a-b)2
C.4ab=(a+b)2-(a-b)2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
第4计 分式中常见的陷阱
分式中常见的陷阱:
(1)分式易错点为分母不为0;
(2)在运算过程中常见错误有违背运算顺序,或忽视分数线的括号作用,或把“分式运算”与“解方程”相混淆,或违背分式的性质随意约分,或误用运算律,或顾此失彼考虑不周等.
例 若代数式x2-5x+62x-6的值等于0,则x= .
[答案] 2
[解析] 由分式的值为零的条件,得x2-5x+6=0且2x-6≠0,由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,由2x-6≠0,得x≠3,∴x=2.
【点悟】 (1)求解分式的值为0的题目时,一定要验证分母不为0,即要保证分式有意义.陷阱隐藏并不深,只要细心就能避免失误;(2)由于忽视了“0”的存在而致错的运算较多,比如:零指数幂的底数不能为0,不等式整数解中的0,二次根式被开方数中的0,一元二次方程中二次项系数不为0,二次函数中二次项系数不为0,反比例函数中的比例系数不为0等.
1. 要使分式x-2(x-1)(x-2)有意义,x应满足的条件是 ( )
A.x≠1
B.x≠2
C.x≠1或x≠2
D.x≠1且x≠2
2. 先化简,后求值:1+1x÷x2+2x+1x,其中x满足x2-x-2=0.
第5计 列方程解应用题的关键
列方程解应用题的关键是设未知数列方程,列方程的关键是找等量关系.列方程解应用题的一般步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案.在列方程时,选择题中的一个量,然后用两种不同的方式加以表达,用等号连接,即得方程.
1.如何设未知数?一般直接设未知数,即求谁设谁,也可以间接设未知数.
2.如何选择等量关系?利用题目给出的等量关系,如果是明显的等量关系,那么列出的方程相对简单;如果不存在明显的等量关系,那么可自行选择.
3.列方程解应用题的类型有一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等.
例 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售,部分蔬菜批发价格与零售价格如下表:
蔬菜品种
西红柿
青椒
西兰花
豆角
批发价(元/kg)
3.6
5.4
8
4.8
零售价(元/kg)
5.4
8.4
14
7.6
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg,用去了1520元,这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱?
(2)第二天,该经营户用1520元仍然批发西红柿和西兰花,要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元,则该经营户最多能批发西红柿多少千克?
解:(1)设批发西红柿x kg,西兰花y kg,
由题意,得x+y=300,3.6x+8y=1520,
解得x=200,y=100.
200×(5.4-3.6)+100×(14-8)=960(元).
答:这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元.
(2)设批发西红柿x kg,由题意,得
(5.4-3.6)x+(14-8)×1520-3.6x8≥1050,
解得x≤100.
答:该经营户最多能批发西红柿100 kg.
【点悟】 本题的等量关系有两个:(1)西红柿和西兰花两种蔬菜共重300 kg;(2)西红柿和西兰花两种蔬菜共花1520元钱.本题的不等关系有一个:当天全部售完后所赚的钱“不少于”1050元.这些等量关系或不等关系一般在题中很容易找出来.第一问所设未知数是间接设未知数.
某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
第6计 如何快速准确解一元二次方程
一元二次方程是中考的重要考点,是学习二次函数的基础.解一元二次方程的基本思想方法是通过降次转化为两个一元一次方程.一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.在解题中,一般先选择直接开平方法,其次是因式分解法,再次是公式法,最后考虑配方法.根据一元二次方程的特点选择适当的方法,既能节省时间,降低运算量,又能保证准确率.
解一元二次方程,应当根据方程的结构和特点灵活地选择方法,才能快速地抢分.
(1)当方程为(mx+n)2=p(p≥0)的形式时,使用直接开平方法简单;
(2)当二次项系数为1且一次项系数为偶数时,使用配方法简单;
(3)如果方程能化为(x-a)(x-b)=0的形式,那么选择因式分解法;
(4)不能运用以上方法的用公式法.
例1 解方程:x2-5=2(x+1).
解:整理,得x2-2x-7=0,
这里a=1,b=-2,c=-7,
∵Δ=4+28=32>0,
∴x=2±322=1±22,
∴x1=1+22,x2=1-22.
【点悟】 所给的方程不符合一元二次方程的一般形式,而且不能用因式分解法来解,因此首先要化为一般式,再用公式法解.运用公式法时要注意不能代错系数,特别是符号.
例2 解方程:x2-6x-4=0.
[解析] 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把等号左边配成完全平方式,右边化为常数.
解:移项,得x2-6x=4,
配方,得x2-6x+9=4+9,
即(x-3)2=13,
开方,得x-3=±13,
∴x1=3+13,x2=3-13.
【点悟】 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中阶段掌握的三种重要的数学方法(换元法、配方法、待定系数法)之一,一定要掌握好.
解下列方程:
(1)用配方法解方程:2x2+5x+3=0;
(2)用公式法解方程:(x-2)(x-4)=12.
第7计 借助数轴解含参不等式(组)
中考中常常出现已知不等式(组)的解集(或特殊解)求不等式(组)中某些字母的取值范围的问题.这些不等式(组)是动态的,要研究它就要让它静下来、定下来,把它变成一个确定的不等式(组)来解.借助数轴,利用数形结合思想是行之有效的方法.
例 若关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解,则b的取值范围是 ( )
A.-3
[解析] D 在数轴上表示出已知不等式的解集,根据负整数解只有-1,-2,确定出b的取值范围即可.
【点悟】 化动为静巧解含参不等式(组),即把关键之值(不等式中等号成立的情况)代入题中来验证是否满足条件.
1.不等式组x>-1,x
第8计 “一次函数与一次方程”牵手
二元一次方程与一次函数是数与形的两个方面,是同一个问题的不同表达方式.联姻解决问题也就是利用数形结合思想,事半功倍.解决一次函数问题时,可以转化为二元一次方程解决;解决二元一次方程问题时,又可以借助于一次函数图象来解决.
例 如图8-1,过点(0,-2)的直线l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m).
(1)写出使得y1
图8-1
解:(1)根据图象分析,得当y1
把点P(2,3),点(0,-2)的坐标代入y1=kx+b,得2k+b=3,b=-2,解得k=52,b=-2.
所以直线l1的解析式为y1=52x-2.
【点悟】 (1)由同一直角坐标系中的两个函数图象比较两个函数值的大小,直接观察这两个函数图象的交点的横坐标,在交点的同侧,函数图象在上面的函数值大,在下面的函数值小.
(2)两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足这两个一次函数的解析式,也是联立这两个一次函数的解析式组成的方程组的解.这样交点问题可以转化为方程组问题,图的问题转化为数的问题.
1. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,2)和点B(2,-2).
(1)求出y关于x的函数解析式为 ;
(2)当-2
图8-2
第9计 “反比例函数与一次函数、图形面积”联姻
中考试题中反比例函数是重要的考点,常见的题型有两种:第一种是反比例函数图象与几何图形的面积问题,第二种是考查反比例函数的定义、图象、性质、解析式的确定,以反比例函数与一次函数的综合问题为主.
图9-1
例 如图9-1,点B1在反比例函数y=2x(x>0)的图象上,过点B1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为C1和A,点C1的坐标为(1,0);取x轴上一点C232,0,过点C2作x轴的垂线交反比例函数的图象于点B2,过点B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1,依次在x轴上取点C3(2,0),C452,0,…,按此规律作矩形,则第n(n≥2,n为整数)个矩形An-1Cn-1CnBn的面积为 .
[答案] 2n+1
【点悟】 反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=kx的图象上任取一点,过这一点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|,这一点与原点及任意一个坐标轴上的垂足所围成的三角形面积等于12|k|.这是反比例函数的一个重要的性质,它在解与反比例函数图象有关的面积问题时有着广泛的应用,尤其是填空题、选择题,利用结论可以减少很多计算.
图9-2
如图9-2所示,反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .
第10计 “用函数观点看一元二次方程”的妙用
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间联系密切.二次函数的图象与x轴相交的“瞬间”就是一元二次方程,一元二次方程的根就是它对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标.二次函数图象的“片段”(在x轴上方或下方的部分)就是一元二次不等式,一元二次方程、一元二次不等式是二次函数的特殊情况.只有明确了三者之间的关系和区别,才能灵活运用.
例 如图10-1所示,二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
图10-1
(1)求m的值及点B的坐标;
(2)求△ABC的面积.
[解析] (1)先把点A的坐标代入函数解析式,求出m的值,进而求出点B的坐标;
(2)根据二次函数的解析式求出点C的坐标,进而求出△ABC的面积.
解:(1)∵函数图象过点A(3,0),
∴-18+12+m=0,
∴m=6,
∴该函数解析式为y=-2x2+4x+6.
∵当-2x2+4x+6=0时,x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(-1,0).
(2)点C的坐标为(0,6),S△ABC=4×62=12.
【点悟】 (1)由于x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0,所以只需要分别令x=0,y=0就可以把二次函数转化为方程,从而通过解方程求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标,以解决与坐标轴围成的图形的面积问题.
(2)一元二次方程根的判别式可以用来判断抛物线与x轴的交点个数,具体见下表:
一元二次方程根的情况
二次函数的图
象与x轴的交点
b2-4ac>0
两个不相等的实数根
有两个不同的交点
b2-4ac=0
两个相等的实数根
只有一个交点
b2-4ac<0
没有实数根
无交点
图10-2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图10-2所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c0,其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第11计 庖丁解牛破解二次函数综合题
二次函数综合题是由一些常见的、基本的题目组合而成.解题时,我们就可以采用庖丁解牛的办法,把二次函数的综合题分解成若干个基本题目,逐一解决,也就是我们在中考复习方案中的分层分析法,解答了这些简单的问题,复杂的问题就迎刃而解了,这也是一种化难为易,化繁为简的解题思想.但要注意这些基本题目之间的联系,寻求科学的最佳解题方案.
例 在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图11-1①,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图11-1②,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE∶OE=3∶8,求k的值.
图11-1
解:(1)∵直线y=x+4经过A,C两点,且点A在x轴上,点C在y轴上,
∴点A的坐标是(-4,0),点C的坐标是(0,4).
又∵抛物线过A,C两点,
∴-12×(-4)2-4b+c=0,c=4,解得b=-1,c=4,
∴抛物线的解析式为y=-12x2-x+4.
(2)①如图11-2①,
∵抛物线y=-12x2-x+4,∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,
∴PQ∥AO,PQ=AO=4.
∵点P,Q都在抛物线上,∴点P,Q关于直线x=-1对称,
∴点P的横坐标是-3,
∴当x=-3时,y=-12×(-3)2-(-3)+4=52,∴点P的坐标是-3,52.
②如图11-2②,过点P作PF∥OC交AC于点F,
∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,∴PEOE=PFOC.又∵PEOE=38,∴PF=32.
设点F(x,x+4),则点Px,-12x2-x+4,
∴-12x2-x+4-(x+4)=32,
化简,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.
当x=-1时,-12x2-x+4=92;当x=-3时,-12x2-x+4=52,
即点P的坐标是-1,92或-3,52.
又∵点P在直线y=kx上,∴k=-92或k=-56.
图11-2
【点悟】 这是一道中考压轴题,总分12分.题目涉及待定系数法求函数解析式,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,题目综合性较强,但是如果我们采用庖丁解牛的办法来分解此题,然后求解,你就发现不是我们想象的那么难了.分解过程如下:
在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,则PQ∥AO,求点P的横坐标;
(4)过点P作PF∥OC交AC于点F,求证△PEF∽△OEC,求PF的长;
(5)设点F(x,x+4),利用PF的长列方程,可求出x的值,从而可得点P的坐标,代入y=kx即可求出k的值.
如图11-3,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M, 则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图11-3
第12计 “三数”“四图”定统计
统计初步是初中数学的重要考点,必考内容.中考中主要考查“三数”(平均数、中位数和众数),“四图”(条形统计图、折线统计图、扇形统计图和频数分布直方图).平均数、中位数和众数用于描述一组数据的“平均水平”和“集中趋势”.
1.众数是对各数据出现的频数的考查,指出现次数最多的数据,而不是出现的次数.一组数据可以有多个众数.若一组数据存在众数,则众数必在这组数据中.一组数据的平均数和中位数是唯一的,而众数则不一定唯一.
2.个数为n的一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后,当n为奇数时,第n+12个数即为中位数;当n为偶数时,第n2和n2+1个数据的平均数即为中位数,因此中位数可能在这组数据中,也可能不在这组数据中.中位数是一组数据的“分水岭”,在统计数据的个数时,相同的数据不能算为一个数据.
3.平均数能较充分地反映一组数据的“平均水平”,但它容易受极端值的影响.
4.三数与统计图的结合是热点考题.
例 某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图12-1所示的统计图.则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
图12-1
A.7,7 B.8,7.5C.7,7.5 D.8,6
[解析] C 7出现了7次,出现的次数最多,所以众数为7.20个数据第10个为7,第11个为8,所以中位数为7.5.
故选C.
1. 某小学校园足球队22名队员年龄情况如下:
年龄(岁)
12
11
10
9
人数
4
10
6
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 ( )
A.11,10 B.11,11C.10,9 D.10,11
2.[2016·梅州] 若一组数据3,x,4,5,6的众数是3,则这组数据的中位数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
第13计 善用“图表”求概率
求随机事件的概率是近几年中考的热点.在具体的情景中,理清随机事件,利用列表法或画树状图法找准、找全事件的结果,在这个过程中注意做到不重不漏.在解决摸球试验时,注意取出后是放回还是不放回;在判断游戏公平性时,要先获得事件发生的概率,然后根据概率是否相等来判断.
例 在一只不透明的袋中,装着标有数字3,4,5,7的质地、大小均相同的小球.小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球,并计算这两球上的数字之和,当和小于9时小明获胜,反之小东获胜.
(1)请用画树状图或列表的方法,求小明获胜的概率;
(2)这个游戏公平吗?请说明理由.
解:(1)画树状图如下:
图13-1
或列表如下:
小明
和
小东
3
4
5
7
3
7
8
10
4
7
9
11
5
8
9
12
7
10
11
12
∵所有等可能的结果共有12种,其中数字之和小于9的有4种,∴P(小明获胜)=412=13.
(2)不公平,理由:∵P(小明获胜)=13,
∴P(小东获胜)=1-13=23>13,
∴这个游戏不公平.
【点悟】 本题可以使用列表法或画树状图法寻找所有可能的结果.在列举事件发生的可能性时,对于一次试验涉及两个因素或两步试验的问题,列表法比画树状图法更直观;当一次试验涉及三个或多个因素或多步试验的问题时,画树状图法优于列表法.
如图13-2①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.
图13-2
如图13-2②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;……
设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?
第14计 巧构等腰三角形妙解题
等腰三角形是一种特殊图形,由于其两腰相等,两底角相等,所以可以进行线段或角的转化.由于等腰三角形独有的三线合一的性质,因此成为中考的重要考点,是热点考题.它往往与三角形全等的判定相结合,也经常现身特殊四边形中,掌握一些构造等腰三角形的方法,能为我们解题提供一些思考方法和技巧.
遇到以下几种情形,可以考虑构造等腰三角形:
(1)题中有线段垂直平分线;
(2)出现角平分线和平行线;
(3)出现一个角是另一个角的两倍;
(4)出现图形由平移、对称、旋转或折叠得到.
例 如图14-1,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于点D,则DE的长为 ( )
图14-1
A.13 B.12 C.23 D.不能确定
图14-2
[解析] B 如图14-2,过点P作PF∥BC交AC于点F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,∴∠PFD=∠QCD,
△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC,∴AE=EF.
∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠QDC,PF=QC,
∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=12AC.
∵AC=1,∴DE=12.
【点悟】 (1)PA=CQ是解决问题的关键.一般地,如果题目中有线段相等的已知条件,那么可以考虑构造等腰三角形,构造的方法可以作平行线.
(2)PE⊥AC也是解决本题的一个题眼.因为在等腰三角形中,常常出现垂线的踪影,利用三线合一的性质.
(3)作平行线后,利用三角形全等,得CD=DF.
如图14-3,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.
图14-3
第15计 边定全等,角定相似
判定三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS,所以判定两个三角形全等至少要有一边相等.判定两个三角形相似的方法有两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似,关键是要找到角相等.抓住“边定全等,角定相似”这一解题的关键,相关的题目就会迎刃而解.
例 (1)如图15-1①,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长;
(2)如图15-1②,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.
图15-1
[解析] (1)连接BE,根据“边定全等”的思路可证明△ACD≌△BCE,得到AD=BE,在Rt△BAE中,AB=62,AE=3,求出BE;
(2)连接BE,根据“角定相似”的思路可证明△ACD∽△BCE,得到ADBE=ACBC=33,求出BE的长,得到AD的长.
解:(1)如图15-2①,连接BE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.
∵在△ACD和△BCE中,
AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,
∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.
∵AC=BC=6,∴AB=62.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.
在Rt△BAE中,AB=62,AE=3,
∴BE=9,∴AD=9.
图15-2
(2)如图15-2②,连接BE,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴ACBC=tan30°=33.
在Rt△CDE中,∠DCE=90°,∠DEC=30°,
∴CDCE=tan30°=33,∴ACBC=CDCE.
又∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD,∴△ACD∽△BCE,
∴ADBE=ACBC=33.
∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,
∴∠BAE=90°.
又∵AB=6,AE=8,
∴BE=10,∴AD=1033.
【点悟】 (1)证明全等或相似要注意结合图形,挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、同位角、内错角以及中点、中线、角平分线等等量关系求解.
(2)证明两边相等的方法有三角形全等,等腰三角形(等腰三角形的定义或三线合一),线段的垂直平分线的性质,角平分线的性质,特殊四边形的性质,圆的有关性质,等量代换,比例线段以及计算线段的具体长度等.
(3)证明角相等的方法有运用平行线的性质,三角形全等的性质,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质定理及逆定理,和圆有关的角等.
已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H,交BE于F.
(1)如图15-3①,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图15-3②,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
图15-3
第16计 测量高度办法多
锐角三角函数的魅力在于应用,它起到了工具的作用,通常用来解决有关测量、航海、工程技术等生活中的实际问题,它往往与三角形、四边形的内容综合.测高(或宽)问题是中考热点考题,解决的方法是通过作高,构造直角三角形,在直角三角形中解决问题,这就是化斜为直的思想.
(1)作高构造直角三角形的基本方法有三种(如图16-1):在三角形的内部作;在三角形的外部作;延长四边形相对两边得到直角三角形.
图16-1
(2)构造直角三角形测高、测距的基本图形(如图16-2)和解题过程如下:
图16-2
因为CDAD=tanα,CDBD=tanβ,所以CDtanα=AD,CDtanβ=BD,
所以AB=AD-BD=CDtanα-CDtanβ=CD(tanβ-tanα)tanα·tanβ.
已知AB可求CD,已知CD可求AB,在做选择题、填空题时可以将此结论当作公式,将此过程当成万能步骤,相信会为你节省不少时间.
例 如图16-3,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A与地面的距离为420米,求这栋楼的高度.
图16-3
图16-4
解:如图16-4,作AM⊥CB,交CB的延长线于点M,则四边形ADCM为矩形,∴MC=AD,MA=DC.由题意,得∠MAB=30°,∠MAC=60°,AD=420.在Rt△ADC中,
∠DAC=90°-∠MAC=90°-60°=30°,
∵tan∠DAC=DCAD,
∴DC=AD·tan30°=420×33=1403.
在Rt△ABM中,tan∠MAB=MBMA,
∴MB=MA·tan30°=1403×33=140,
∴BC=MC-MB=420-140=280(米).
答:这栋楼的高度为280米.
芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图16-5①),图②是从图①引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,3≈1.732)
图16-5
第17计 “四边形”化归为“三角形”
将四边形(平行四边形、特殊平行四边形)化归为三角形来求解就是化复杂为简单,化生疏为熟悉.作辅助线是转化的桥梁,它可以帮助我们把已知条件集中或构成基本图形,便于解题,注意辅助线的目的性和方向性.
常见作辅助线的方法:四边形的常见辅助线是作对角线;当题中有平行线时,常常构造平行四边形;如果题中有中线,常加倍延长构造平行四边形.
例 阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图17-1①,在△ABC中,DE∥BC分别交AB于点D,交AC于点E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.
小明发现,过点E作EF∥DC,交BC的延长线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②).
图17-1
请回答:BC+DE的值为 .
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图③,已知▱ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求∠AGF的度数.
[解析] (1)由DE∥BC,EF∥DC,可证得四边形DCFE是平行四边形,即可得EF=CD=3,CF=DE,所以BC+DE=BF,然后利用勾股定理,求得BC+DE的值;
(2)首先连接AE,CE,由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABEF是矩形,易证得四边形DCEF是平行四边形,继而证得△ACE是等边三角形,则可求得答案.
解:∵DE∥BC,EF∥DC,
∴四边形DCFE是平行四边形,
∴EF=CD=3,CF=DE.
∵CD⊥BE,
∴EF⊥BE,
∴BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=52+32=34.
图17-2
解决问题:连接AE,CE,如图17-2.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC.
∵四边形ABEF是矩形,
∴AB∥FE,AB=FE,BF=AE,
∴DC∥FE,DC=FE,
∴四边形DCEF是平行四边形,∴CE∥DF.
∵AC=BF=DF,
∴AC=AE=CE,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠ACE=60°.
∵CE∥DF,
∴∠AGF=∠ACE=60°.
【点悟】 本题是阅读理解型问题,要求仔细阅读信息领悟数学知识和方法,运用这种方法解决新问题.本题就是通过作平行线构造三角形来解决问题.
已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图17-3①,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图②,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B,C重合),求证:BE=CF;
(3)如图③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
图17-3
第18计 七条辅助线让你轻松搞定圆
圆是初中数学知识的大综合,不论是代数还是几何,所有的知识几乎都能在圆中体现.新课标以来圆的部分内容在中考中的地位有所下降,题目难度有所降低,但是圆的命题还是中考的热点考题,在不少地区难度依然很大.
只要掌握以下七条辅助线的作法,圆的问题就有规律可找了.
(1)遇到有关弦的问题时,通常要作垂直于弦的半径,利用垂径定理求有关的量;还常常连接弦的两个端点和圆心,构造等腰三角形.
(2)遇到直径时,常常添加直径所对的圆周角,得到直角三角形.
(3)遇到90°的圆周角时,常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径.
(4)遇到切线时,添加过切点的半径,得到垂直,即一切就垂.
(5)遇到要证明切线时,若有交点,则连半径,证垂直;若无交点,则作垂直,证半径.
(6)遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形各顶点,利用内心的性质.
(7)遇到三角形的外接圆时,连接外心和三角形各顶点,利用外心的性质.
例 如图18-1,AB为☉O的直径,AC为☉O的弦,AD平分∠BAC,交☉O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AE=8,☉O的半径为5,求DE的长.
图18-1
图18-2
解:(1)直线DE与☉O相切,理由如下:
连接OD,如图18-2所示,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠EAD,
∴EA∥OD.
∵DE⊥EA,
∴DE⊥OD.
又∵点D在☉O上,
∴直线DE与☉O相切.
(2)法1:如图18-3,连接OD,作DF⊥AB,垂足为F,
图18-3
则∠DFA=∠DEA=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△EAD和△FAD中,
∠EAD=∠FAD,∠DEA=∠DFA,AD=AD,
∴△EAD≌△FAD(AAS).∴AF=AE,DF=DE.
∵AE=8,∴AF=AE=8,
∵OA=OD=5,∴OF=AF-OA=8-5=3.
在Rt△DOF中,OD=5,OF=3,根据勾股定理,得DF=OD2-OF2=4,∴DE=DF=4.
法2:如图18-4,连接OD,DB,
图18-4
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵∠AED=90°,
∴∠ADB=∠AED.
又∵∠EAD=∠DAB,
∴△EAD∽△DAB,
∴EADA=DABA.
∵AE=8,BA=2OA=10,∴8DA=DA10,
解得DA=45.
在Rt△ADE中,AE=8,AD=45,
根据勾股定理,得DE=AD2-AE2=4.
法3:如图18-5,连接OD,作OF⊥AD,垂足为F,
图18-5
∵OA=OD,
∴AF=12AD,∠AFO=∠AED=90°.
又∵∠EAD=∠FAO,
∴△EAD∽△FAO,∴EAFA=DAOA.
∵AE=8,OA=5,AF=12AD,∴812DA=DA5,
解得DA=45.
在Rt△ADE中,AE=8,AD=45,
根据勾股定理,得DE=AD2-AE2=4.
【点悟】 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.同时本题第二问利用了三种方法求解,注意运用一题多解的方法解题.
如图18-6,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,☉O经过A,B,D三点.
(1)求证:AB是☉O的直径;
(2)判断DE与☉O的位置关系,并加以证明;
(3)若☉O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.
图18-6
第19计 图形变换中的变与不变
平面图形的轴对称、平移、旋转和位似等变换是近几年中考的热点考题,常常以探究题形式出现,能较好地考查创新能力.解决这类问题,我们需要熟练掌握四种变换的性质,理解变换前后的变化量和不变量,才能不被千变万化的图形变换所迷惑.
例 如图19-1①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
图19-1
(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是 ;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=12AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
[解析] (1)易证得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD.
(2)取AD的中点M,连接PM,可得出△MDP是等边三角形,易证△MPE≌△DPF,得出ME=DF,由DE+ME=12AD,即可得出DE+DF=12AD.
(3)①当点E落在AD上时,DE+DF=12AD,②当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,即12AD
∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°.
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,
∴∠APE=∠DPF.
∵在△APE和△DPF中,
∠APE=∠DPF,PA=PD,∠PAE=∠PDF,
∴△APE≌△DPF(ASA),
∴AE=DF,∴DE+DF=AD.
(2)证明:如图19-2,取AD的中点M,连接PM,
图19-2
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形,
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴△MDP是等边三角形,∴PM=PD,∠MPD=∠PME=∠PDF=60°.
∵∠QPN=60°,∴∠MPE=∠FPD.
∵在△MPE和△DPF中,
∠PME=∠PDF,PM=PD,∠MPE=∠DPF,
∴△MPE≌△DPF(ASA),
∴ME=DF,∴DE+DF=12AD.
(3)如图19-3,
图19-3
在整个运动变化过程中,
①当点E落在AD上时,DE+DF=12AD;
②当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,
即12AD
(2)解答本题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等,寻找所求线段与线段之间的等量关系.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如图19-4①,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;
(2)如图19-4②,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2;
(3)如图19-4③,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.
图19-4
第20计 审题需要咬文嚼字寻找突破口
解决一个问题,审题是关键,当一个问题还没弄明白怎么回事就去解决它,会是什么结果?如何审题?审题时要注意什么?审题时需要做到一“咬”二“抓”三“挖”.所谓一“咬”,即咬文嚼字,看清看准每一个数字、符号,每一句话及图形中线段、角之间的联系,弄清楚条件、结论和全部题意;二“抓”,即抓住题目中的关键词,制定初步的解题思路;三“挖”,即挖掘隐含条件,当我们解题思路受阻时,往往是题目的隐含条件没有挖掘出来,造成条件不足的误解.但如果能仔细分析、推敲,就可以将其挖掘出来.特别是在审题过程中,若能及时发现和运用隐含条件,不仅可以迅速找到解题突破口,还能使解题过程简单明了.
例 如图20-1,已知直线y=-34x+3分别交x轴、y轴于点A,B,P是抛物线y=-12x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-34x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是 .
图20-1 图20-2
[答案] -1,4,4+25,4-25
[解析] 设点P的坐标为a,-12a2+2a+5,
则点Q的坐标为a,-34a+3,点B的坐标为(0,3).
如图20-2,当点P在点Q上方时,BQ=a2+(-34a) 2=54|a|,
PQ=-12a2+2a+5--34a+3=-12a2+114a+2.
∵PQ=BQ,
∴54|a|=-12a2+114a+2,
当a>0时,整理,得a2-3a-4=0,
解得a=-1(舍去)或a=4;
当a<0时,整理,得a2-8a-4=0,解得a=4-25或a=4+25(舍去).
当点P在点Q下方时,BQ=a2+(-34a) 2=54|a|,
PQ=-34a+3--12a2+2a+5=12a2-114a-2.
∵PQ=BQ,∴54|a|=12a2-114a-2,
当a>0时,整理,得a2-8a-4=0,
解得a=4+25或a=4-25(舍去);
当a<0时,整理得a2-3a-4=0,
解得a=-1或a=4(舍去).
综上所述,a的值为-1,4,4+25,4-25.
【点悟】 (1)本题考查了二次函数的综合题,涉及二次函数与一次函数的图象的交点问题,以及两点间的距离问题.解答本题的关键是设出点P的坐标,表示出PQ,BQ的长度,然后根据PQ=BQ列方程求解.
(2)本题审题需要挖掘隐含条件,P,Q都是动点,点P可能在点Q上方也可能在点Q下方,需要分情况讨论并求解.
如图20-3,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为(8,0)、(0,23),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP,EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 .
图20-3
第21计 解选择题的四种方法
中考中,选择题是必考题型,一般都在21~30分,以基础性考查为主.为了给解答题留下充足的时间,一定要注意选择题的解题速度,而科学的解法是提高解题速度的前提.一般除最后一道选择题有一定的难度,用时多,其余的选择题每个题要控制在一分钟以内.为了快速解选择题,我们可以采用四字诀,即一筛(筛选法也叫排除法),二代(代入答案验证),三特(特殊化,包括特殊值、特殊点、特殊角等),四直(直接计算法、图示法、操作法).
例1 若a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案] C
【点悟】 此题同学一般采用直接法:a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5,按照这个模式解答大约需要一分钟左右.如果此题采用特殊值法,是不是更好?比如取a=1,b=2,a2+b2=1+4=5,最多半分钟,这样就为后面的问题节约了大约半分钟的时间,这就是小题的解题技巧.
下列计算正确的是 ( )
A.x4+x4=2x8
B.x3·x2=x6
C.(x2y)3=x6y3
D.(x-y)(y-x)=x2-y2
例2 [2015·房山区二模] 学校组织春游,每人车费4元.一班班长与二班班长的对话如下:
一班班长:我们两班共93人.
二班班长:我们二班比你们一班多交了12元的车费.
由上述对话可知,一班和二班的人数分别是 ( )
A.45,42 B.45,48
C.48,51 D.51,42
[解析] B 用直接解法:设一班有x人,二班有y人,则x+y=93,4y-4x=12,
解得x=45,y=48.
即一班有45人,二班有48人.
如果用排除法,因为每人车费4元,二班比一班多交了12元的车费,那么二班人数比一班人数多3.把选项A,B,C,D分别代入已知条件,易得出选项B正确.直接法计算需要三分钟左右,代入法最多需要一分钟,这样节约了大约两分钟的宝贵时间.
【点悟】 代入法适用于解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程等.
若x=-2是关于x的一元二次方程x2+32ax-a2=0的一个根,则a的值为 ( )
A. -1或4 B.-1或-4C.1或-4 D.1或4
第22计 “蒙”也是本领
中考的时候遇到不会做的题怎么办?让分数白白丢失吗?这个时候“会蒙”也能得分.
1.选择题、填空题即使不会做,也要猜一个答案填上,并做好记号,有时间、有思路时再回头详细作答,防止填涂时出现错漏,导致不必要的失分.特别是选择题,你猜一个答案,按照概率计算你得分的机会就有25%.
2.压轴题我们可能算不出完整的答案,找不到详细的解题思路,也可能不会做,但我们依然能够得分,比如如果题目问是否有最大值,可以猜测有最大值或最小值;如果题目问满足条件的点和图形是否存在,可以猜测存在或不存在;需要作图时我们可以准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式;设应用题的未知数等.
图22-1
例 如图22-1,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:
①△AED≌△DFB;
②S四边形BCDG=32CG2;
③若AF=2DF,则BG=6GF;
④CG与BD一定不垂直;
⑤∠BGE的大小为定值.
其中正确的结论个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] B ①证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;
②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B,C,D,G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于点M,CN⊥GD交GD的延长线于点N,证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG=S四边形CMGN,易求后者的面积;
③过点F作FP∥AE交DE于点P,根据题意,得FP∶AE=DF∶DA=1∶3,则FP∶BE=1∶6=FG∶BG,即BG=6GF;
④因为点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,当点E,F分别是AB,AD的中点时,CG⊥BD;
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°.
【点悟】 本题难度较大,如果图形准确,通过测量猜测,再“蒙”出你的答案.试验一下.
如图22-2,边长为4的正方形ABCD内接于☉O,点E是AB上的一动点(不与A、B重合),点F是BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有下列结论:
图22-2
①AE=BF;
②△OGH是等腰直角三角形;
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;
④△GBH周长的最小值为4+2.
其中正确的是 .
(把你认为正确结论的序号都填上).
第23计 解答中考试卷三大原则、八项注意
中考试卷里面的题目按难易度分,基本上可分为容易题、中档题、难题三类,这三类题目所占的比例大约是4∶5∶1或3∶5∶2,容易题和中档题占80%~90%,我们把这些题目叫做基础题.大量中考统计数据表明,决定学生中考数学成绩的绝对不是10%~20%的难题而是基础题,考试不怕题不会,就怕题做不好.攻下了基础题,考试基本成功,有了这个心理准备,就为难题的解决打下了良好的基础.一般情况下,选择题、填空题后1~2个题可能是难题,解答题的后1~2个题的第(2)或(3)问基本较难,其余的题目都可以认定为基础题.
为此解答中考试卷需要三大原则、八项注意.
一、三大原则:
原则1:面对中考试卷“前80%”,志在必得,细大不捐;“后20%”多多益善,失不足惜.
原则2:审题要慢而全.审题要慢就是指“宁停三分,不争一秒”,审题全面是指审题一不漏看题,二不看错题,三要审准题,四要看全题目的条件和结论.要提防陷阱、注意疏漏,多从概念、公式、法则、图形中去考查,尤其是考查是否有特例,考虑结论是否符合题意.
原则3:解题方法要优化,选择最佳方法解题.比如,选择题要按照一筛二代三特四直的顺序来选择解法;填空题要优先考虑特殊化法、图解法,最后考虑直接法.
二、八项注意:
1.遇到容易题,格外小心
易题,容易使人轻视,不注意题目的细微变化,不费思考顺手写来,可能铸成大错,所以有“容易题,容易错”的教训.题目对你容易,对别人也容易.
2.书写要规范
不仅要求解题步骤,而且演算步骤也要规范,在稿纸上的演算也要清楚,养成有步骤地表达所有信息的习惯,以备检验之需.如果平时心算练习不够,考场上不可以随意利用心算.
3.书写过程要仔细
在演算、解题过程中,常常会因为笔误而出现错误.如把一个加号写成后面将要进行运算的除号或少写符号、字母等,这主要是因为思维、书写不同步,或者思维超前、书写滞后,或者反之.
4.结果要规范
如分式要化成最简分式或整式;单项式、二次根式前的系数不要写成假分数;二次根式要化成最简二次根式等.
5.解题时要慢、准、稳,确保准确率
解题时,在容易产生错误的地方要特别小心谨慎,避免出现错误.如解不等式时,去分母不要漏乘单独的整式,系数化为1时,如果两边同除以负数,不等号的方向要改变;解分式方程要检验;应用题还要检验是否符合实际情况等.
6.注意不要丢掉单位
数学考试中特别是填空题和计算题需要写上单位,因为忘写单位而扣分屡见不鲜,也有错写单位的,如面积的单位是平方米错写成米.
7.卷面整洁
在解答试题时,要力求文字书写工整、简洁,尽量避免龙飞凤舞或涂抹等现象;绘制图形、表格切不可随意画,要使用绘图工具;几何题目要标出的符号及辅助线在图上要标出,作图题要按照要求画线.
8.在解答区域答题
要在试卷规定地方做答,不要超出每道题的解答区域.
第24计 解压轴题要瞻前顾后,各个击破
解压轴题时,如果直接、全面地解答所求问题有困难时,我们需要仔细观察每问之间的关系是相关还是无关,如果相关,后问的解答就要用到前问,那么前问的解答要尽量准确,否则前错必致后错;如果无关,那么我们答会答的内容,尽量抢分是我们矢志不渝的追求,这是我们瞻前顾后分步得分的秘密.
下面,通过解剖一个题目体会瞻前顾后分步得分的策略.
例 如图24-1,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),☉M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)则点A,B,C的坐标分别是A( , ),B( , ),C( , );
(2)设经过A,B两点的抛物线的解析式为y=14x-52+k,它的顶点为F.求证:直线FA与☉M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
图24-1
解:(1)如图24-2,连接MA,MC,设AB的中点为N.
图24-2
∵☉M与y轴相切于点C,∴MC⊥OC.
又由圆的轴对称性知MN⊥AB,
∴∠MNA=90°.
而∠CON=90°,∴四边形CONM是矩形,
∴MC=NO=5,MN=OC=4,
∴MA=MC=5.
在Rt△MNA中,∵MN2+AN2=MA2,
即42+AN2=52,解得AN=3,
∴OA=ON-AN=5-3=2.
又由垂径定理,得NB=AN=3,
∴OB=ON+NB=5+3=8,
∴点A(2,0),B(8,0),C(0,4).
(2)证明:将点A的坐标(2,0)代入y=14x-52+k中,得142-52+k=0,解得k=-94,∴y=14x-52-94,∴点F5,-94,
∴MF2=4-(-94)2=62516.
在Rt△ANF中,AF2=AN2+NF2=32+942=22516,AM2=25.
∵25+22516=62516,
∴AM2+AF2=MF2,
∴△AMF是直角三角形,且∠MAF=90°,
即MA⊥AF,∴直线FA与☉M相切.
(3)存在点P,使△PBC是等腰三角形.
如图24-3,设点P的坐标为(5,m)(m>0).
图24-3
∵点B(8,0),C(0,4),
∴BC2=OC2+OB2=42+82=80,
PB2=BN2+PN2=32+m2=9+m2,
PC2=MC2+PM2=52+(m-4)2=m2-8m+41.
①当BC=PB时,由BC2=PB2,得80=9+m2,解得m=±71.
其中,m=-71不合题意,舍去;
②当BC=PC时,由BC2=PC2,得80=m2-8m+41,解得m=4±55.
其中,m=4-55不合题意,舍去.
③当PB=PC时,由PB2=PC2,得9+m2=m2-8m+41,解得m=4.
综上,在抛物线的对称轴上,存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形,点P的坐标为(5,71)或(5,4+55)或(5,4).
【点悟】 (1)连接MC,MA,由切线的性质得出MC⊥y轴,MC=MA=5,OC=MN=4,得出点C的坐标;由MN⊥AB,得出NA=NB,∠MNA=90°,由勾股定理求出AN,得出BN,OA,OB,进而得出点A,B的坐标.
(2)把点A(2,0)代入抛物线的解析式得出k=-94,得出顶点F的坐标,得出NF,MF,由勾股定理得出AF2=22516,证出MA2+FA2=MF2,由勾股定理的逆定理证出∠MAF=90°,得出FA与☉M相切.
(3)由勾股定理求出BC2,PB2,PC2,分三种情况讨论:①BC=PB,即BC2=PB2;②BC=PC,即BC2=PC2;③PB=PC,即PB2=PC2.分别列方程求出m的值即可.
如图24-4①,直线y=-43x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图24-4②,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
图24-4
第25计 巧用整体思想,展现大智慧
整体思想是一种重要的数学思想,它抓住了数学问题的本质,是直接思维和逻辑思维的和谐统一.有些数学问题在解题过程中,如果按照常规解法运算较繁,而且容易出错;如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识,就能寻求捷径,从而准确、合理地解题.
例1 如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2015= .
[答案] 2026
[解析] 如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,
那么m,n是关于x的一元二次方程x2-x=3的两根,
∴m+n=1,mn=-3,
∴2n2-mn+2m+2015
=2(n+3)-mn+2m+2015
=2(m+n)-mn+2015+6
=2026.
【点悟】 本题简捷求解的关键是充分利用根与系数的关系和根的概念得出m+n=1,mn=-3,n2=n+3,整体代入所求代数式求值.
一般情况下,求代数式的值的基本方法是先化简已知条件,然后把指定的字母的值代入求解,使用基本方法,思路简单,但运算烦琐且易出错.
已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
例2 如图25-1,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 .
图25-1
图25-2
[答案] π12+32
[解析] 如图25-2,连接OE,AE,用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积,再减去S空白AEC,即可求出阴影部分的面积.
∵点C为OA的中点,∴∠CEO=30°,∠EOC=60°,
∴△AEO为等边三角形,∴S扇形AOE=60π×22360=23π,
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-S△COE)=90π×22360-90π×12360-23π-12×1×3
=34π-23π+32=π12+32.
【点悟】 (1)本题的求解着眼于整体,把不规则图形的面积整体把握,化为规则图形的面积的和或差,站在一定的高度上求解,给人以大气、豪迈的感觉.
(2)求解图中的阴影部分的面积的方法很多:求差法、分割法、割补法、等积法、整体法、特殊法、直接法等.
如图25-3,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为 ( )
图25-3
A. π-4 B.23π-1 C.π-2 D.23π-2
第26计 识别陷阱,防止中招
为了考查同学们思维的严谨性、科学性和逻辑性,中考试题中常常在数学概念,运算法则(定律)、公式、定理、性质的应用,解题步骤等方面设置一些陷阱,要识别中考试题中设置的陷阱,就要熟练、准确、全面、细致地掌握概念、法则、定理等基础知识,然后才能小心应付,细心解答.
例1 方程x(x-3)=x-3的解是 ( )
A.x=1 B.x=3
C.x=1或x=3 D.x=0
[解析]C 作为选择题,由于这个方程是一元二次方程,方程有根必定有两个根,即可选择C.代入验证可进一步确定选C.
有些同学采用直接求解,那就是小题大做.
移项,得x(x-3)-(x-3)=0,
合并同类项,得(x-3)(x-1)=0,
x-3=0或x-1=0,
x1=3,x2=1.答案尽管能求出,但耗时太多,造成了隐含失分.
【点悟】 (1)学生看到方程两边同时含有因式(x-3)立即约去,这就违反了等式的性质:等式两边同时除以一个不为0的数或整式,结果仍是等式.因为x-3可以等于0,因此我们必须移项,利用因式分解法求解.
(2)我们在解题过程中要特别注意运算法则、公式、定理、性质等成立的条件,防止生搬硬套、使用不当而中招失分.
方程x(x-5)=0的根是 ( )
A.x=0 B.x=5C.x1=0,x2=5 D.x1=0,x2=-5
例2 若关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
[答案] a>-94且a≠0
[解析] 由题意,得a≠0且Δ=32-4a×(-1)=9+4a>0,解得a>-94且a≠0.故答案为a>-94且a≠0.
【点悟】 本题的陷阱是一元二次方程二次项系数不等于0,不少同学中招,答案为a>-94,忽视a≠0这一条件.
已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.
第27计 数学的基本策略——转化
转化思想是中学数学最基本的思想方法,称为转化与化归,也是最基本的思维策略.利用转化思想解题原则是化难为易,化生为熟,化繁为简,化抽象为直观.
初中阶段常见的转化:高次方程转化为低次方程、多元转化为一元,分式转化为整式,三角形与四边形的转化,空间与平面的转化,正面转化为反面,分散转化为集中,未知转化为已知,动转化为静,数与形、相等与不等之间的转化,实际问题与数学问题的转化等.
例 如图27-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,将其放入平面直角坐标系中,使A点与原点重合,AB在x轴上,△ABC沿x轴顺时针无滑动地滚动,点A再次落在x轴上时停止滚动.则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为 .
图27-1
图27-2
[答案] π+12
[解析] ∵∠C=90°,AC=BC=1,∴AB=12+12=2.根据题意得△ABC绕点B顺时针旋转135°,BC落在x轴上,△ABC再绕点C'顺时针旋转90°,AC落在x轴上,停止滚动(如图27-2).
∴点A的运动轨迹是先绕点B顺时针旋转135°,再绕点C'顺时针旋转90°,
∴点A经过的路线与x轴围成的图形的面积是一个圆心角为135°,半径为2的扇形的面积,加上△ABC的面积,再加上圆心角是90°,半径为1的扇形的面积,
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积=135×π×(2)2360+12×1×1+90×π×12360=π+12.
【点悟】 (1)本题把三角形滚动围成的面积问题转化为若干图形面积的和(差)来计算.
(2)将动态问题转化为静态问题也是处理动态问题的基本思路.
解分式方程:xx-1+21-x=4.
第28计 科学检验找失分
中考过程中,对解答问题进行检验也是不可缺少的一个环节,也是保证解题质量、抢得高分的重要手段.由于考试时间紧张,不可能做细致的解后检验,因此,我们首先提倡实时检验,即每写一步都要自问:各步推理、运算是否正确?有依据吗?各种变形是否符合运算律?书写是否有误?文字符号的使用是否恰当?力求把出现的问题消灭在萌芽状态.如分式方程就是实时检验的典型,一元二次方程的应用题也要对照已知条件实时检验.总之,这种检验方法与题同步,简便易行,效果极好.
另外,我们可以采用下面的检验方法.
一、特殊值代入检验法
例1 先化简,再求值:a2a-1+11-a·1a,其中a=-12.
解: 原式=a2a-1-1a-1·1a=a2-1a-1·1a=(a+1)(a-1)a-1·1a=a+1a.
当a=-12时,a+1a=-12+1-12=-1.
【点悟】 本题的关键步骤是由a2a-1+11-a·1a化简到a+1a.
二、观测估值法
例2 如图28-1,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB,ED,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,则∠AFE的度数为 °.
图28-1
[答案] 65
[解析] 此题可以采用直接解法:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠DCA=∠BCA.又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC=12∠DEB=70°,∴∠AEF=∠BEC=70°.∵∠DAC=45°,
∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.
【点悟】 这个题目的答案是否正确,我们可以通过观察、估算、测量的方法来检验,比如用量角器就可以测量出来.这种根据我们平时生活经验的积累,或观察、估算、测量的方法来检验的方法叫做观测估值法.比如解题时算出人的行走速度为50 km/h,增长率是负数等,只要稍加观察就能判断是错误的.
将一张矩形纸片折叠成如图28-2所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
图28-2
第29计 “阅读题”文字越长,题目越简单
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频亮相,特别引起我们的重视.这类试题一般文字叙述较长,信息量大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样,既考查学生的阅读能力,又考查解新颖数学题型的能力.首先我们要解决的是由于这类问题文字叙述较长、信息量大导致的心里烦躁、畏难情绪,解题信心丧失的心理问题.我们要明白:一个数学问题文字越长,它透露的信息就越多,出题者就是怕你不明白,看不懂,才把问题讲得那么详细.大家切记,数学问题文字越长,题目相对来说就越容易,阅读理解题实际上都是“纸老虎”.
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的解题方法,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.
例
【发现】 如果∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图29-1①).
【思考】 如图29-1②,如果∠ACB=∠ADB=α(α≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?
如图29-1③,过A,B,C三点作圆,圆心为O.假设点D在☉O外,设AD交☉O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB.又由∠AEB是△BDE的一个外角,得∠AEB>∠ADB,因此∠ACB>∠ADB,这与条件∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D不在☉O外.
图29-1
请证明点D也不在☉O内.
【应用】
利用【发现】与【思考】中的结论解决问题:
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.
(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图29-2①),求证:DF是Rt△ACD的外接圆的切线;
(2)如图29-2②,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC.已知sin∠AED=25,AD=1,求DG的长.
图29-2
解:【思考】 证明:如图29-3①,过A,B,C三点作圆,圆心为O.假设点D在☉O内,设AD的延长线交☉O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB.又由∠ADB是△BDE的一个外角,得∠ADB>∠AEB,因此∠ADB>∠ACB,这与条件∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D也不在☉O内.
图29-3
【应用】 (1)证明:如图29-3②,过A,D,C三点作圆,圆心为O,则CD为☉O的直径,且点E在☉O上.
∵∠CAD=90°,∴∠ACD+∠CDA=90°.
∵∠ACD=∠AED=∠ADF,
∴∠ADF+∠CDA=90°,即DF⊥OD.
又∵点D在☉O上,∴DF是☉O的切线,
即DF是Rt△ACD的外接圆的切线.
(2)如图29-3③,过A,D,C三点作圆,圆心为O,则CD为☉O的直径,且点E在☉O上.
∵∠BGE=∠BAC,即∠EAC=∠EGC,∴点G也在☉O上.∵CD为☉O的直径,∴∠CGD=90°.∵AD∥BC,∴∠ACG=∠CAD=90°,
∴四边形ACGD是矩形,∴AC=DG.
∵sin∠AED=25,
∴在Rt△ACD中,sin∠ACD=sin∠AED=25=ADCD,∴1CD=25,∴CD=52.
由勾股定理,得AC=CD2-AD2=(52) 2-12=212,
∴DG=AC=212,即DG的长为212.
【点悟】 本题综合考查了圆周角定理的推论、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识,熟练掌握性质定理是解题的关键.
本题文字较长,信息量大,需要解决的问题就有三个,学生看到这样的题目就会产生急躁、畏难情绪,从而导致解题信心丧失,这是解阅读理解题的大忌.
首先我们要耐心阅读,寻找关键词语,如:【发现】如果∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图29-1①).有的阅读题涉及的知识不是直接来自于课本,但是问题的解决必定用到课本里我们熟悉的知识,只要我们能够找到和我们熟悉知识的联系,就建立了解题信心.
【思考】如图29-1②,如果∠ACB=∠ADB=α(α≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?材料中是如何证明的?反证法理解了吗?
其次,汇总信息,建立数模,根据前面的信息提炼分析,完成【思考】中的问题.假设点D在☉O内,利用圆周角定理的推论及三角形外角的性质,可证得与条件相矛盾的结论,从而证得点D不在☉O内.
最后,【应用】(1)作出Rt△ACD的外接圆,由【发现】可得点E在☉O上,则证得∠ACD=∠FDA,又因为∠ACD+∠ADC=90°,于是有∠FDA+∠ADC=90°,即可证得DF是圆的切线;
(2)根据【发现】和【思考】可得点G在过C,A,E三点的圆O上,进而易证四边形ACGD是矩形,根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长,即DG的长.
通过以上分析,阅读问题你还害怕吗?
[2016·南京] 如图29-4,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.类似地,我们可以认识其他函数.
(1)把函数y=1x的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,得到函数y=6x的图象;也可以把函数y=1x的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=6x的图象.
(2)已知下列变化:①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,③向右平移12个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.
(i)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数 的图象;
(ii)为了得到函数y=-14(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点 ( )
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③
C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
(3)函数y=1x的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-2x+12x+4的图象?(写出一种即可)
图29-4
第30计 设参法运用技巧——设而不求
参数是一种辅助变量,它在待求变量之间起到了纽带和桥梁的作用.在解决函数、方程、不等式、代数式求值和平面几何问题时,如果很多变量参与,不要畏难,大胆设参,而且不惧参数的多少,待求的问题必定柳暗花明又一村.
例 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则tanA的值为 ( )
A.1213 B.512 C.1312 D.125
[解析] B ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=BCAB=513,∴设BC=5k,则AB=13k,
根据勾股定理可以求得AC=12k,
∴tanA=BCAC=5k12k=512.
【点悟】 利用三角函数的定义,把三角函数值转化成直角三角形的边的比值,由于涉及比例变形,所以借助于参数,可以避免在变形过程中,出现变形错误,同时使得计算迅速准确.
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=35,则sinB的值是 ( )
A.45 B.35 C.34 D.43
2. 若3a=4b=5c,求分式ab-bc+aca2+b2+c2的值.
第31计 明确解题目标,有的放矢
在解题过程中,面对已知条件,学生往往不知道解题方向,这是由于缺乏目标的定向作用所致.目标的定向作用在解题中的重要性不亚于航海的指南针,夜行的北斗星,行车的导航仪.解题过程中确定并紧盯解题目标,注重目标的定向作用,会使解题活动有的放矢.
例 如图31-1,公路MN与PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音影响?说明理由;如果受影响,且知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?
图31-1
图31-2
解:学校受到噪音影响.理由如下:
过点A作AH⊥MN于点H,如图31-2,
∵PA=160 m,∠QPN=30°,
∴AH=12PA=80 m.
∵80 m<100 m,
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受到噪音影响.
以点A为圆心,100 m为半径作☉A交MN于点B,C(☉A省略不画),如图31-2,
∵AH⊥BC,
∴BH=CH.
在Rt△ABH中,AB=100 m,AH=80 m,
∴BH=AB2-AH2=60 m,
∴BC=2BH=120 m.
∵拖拉机的速度=18 km/h=5 m/s,
∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=1205=24(s),
∴学校受影响的时间为24 s.
【点悟】 此题不少学生不知道要干什么,也就是解题目标不明确,判断学校是否受到噪音影响,也就是以点A为圆心,100 m为半径作☉A,判断直线MN与☉A的位置关系,相交则会受到影响,相离则不受影响,相切则在一个时刻受到影响.可见解题目标很重要.
某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少?
(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数关系式;
(3)小英家5月份用水26吨,则她家应交水费多少元?
第32计 “饮马问题”模型功能
几何模型:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题:如图32-1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后,再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?画出最短路径并说明理由.
图32-1
图32-2
如图32-2,从点A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取点A'使得A'D=AD,连接A'B,与河岸相交于点C,则点C就是饮马的地方.
此模型揭示了几何法求最值问题的秘密:“大”同“小”异求最值.“大”同指的是要求最大值一定是求差的最大值,这两个点就应该是在直线的同侧,不在同侧要通过对称转成同侧;“小”异指的是要求最小值一定是求和的最小值,这两个点就应该是在直线的异侧,不在异侧要通过对称转成异侧.
例 (1)如图32-3,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连接ED交AC于点P,则可知PB+PE的最小值是 ;
(2)如图32-4,☉O的半径为2,点A,B,C在☉O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
图32-3
图32-4
图32-5
(3)如图32-5,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q,R分别是OA,OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
解:(1)对照图形,利用AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴,不难得到PB+PE的最小值为5.
(2)如图32-6,延长AO交圆O于点A',连接A'C交OB于点P,对照基本图形,运用结论,可知PA+PC的最小值即A'C的长.
过点O作OH⊥A'C于点H,由∠AOC=60°,易得∠OCA'=∠OA'C=30°.
又∵OC=2,∴CH=3,
∵OH⊥A'C,∴A'C=2CH=23.
即PA+PC的最小值为23.
图32-6
图32-7
(3)如图32-7,分别作点P关于射线OA,OB的对称点C,D,连接QC,RD,OD,OC.
由对称可知QP=QC,RP=RD,OC=OP=OD=10,∠POQ=∠COQ,∠POB=∠DOB.
当C,Q,R,D四点共线时,PQ+QR+RP有最小值,即CD的长.因为∠AOB=45°,所以∠COD=90°.又因为OC=OD=10,所以CD=102.
即△PQR周长的最小值为102.
【点悟】 本例中的几个小题是同一种模型,求两条线段和的最小值的方法,即小“异”.
(1)(2)两问是在一个动点和两个定点的条件下,把求线段和最值问题放在特殊背景:正方形和圆中,然后利用这些特殊图形的性质,达到小“异”的目的;第(3)问是拓展求线段和最值问题,给出的条件是一个定点和两个动点.
1. 如图32-8,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为 ( )
图32-8
A.3 B.23 C.26 D.6
2. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图32-9所示,顶点A(5,0),OB=45,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为 ( )
图32-9
A.(0,0) B.1,12 C.65,35 D.107,57
第33计 分类讨论,各个击破
分类讨论是重要的数学思想,中考试题中常常出现,也是设置陷阱常见问题.根据问题的不同情况分类求解,从而化整为零、化难为易、分而治之、各个击破,既能实现分步得分又能抢得高分.
引起分类讨论的因素主要有以下几个方面:
(1)由数的概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;
(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;
(3)由于图形(点、直线、三角形、四边形、圆等)的不确定性引起的讨论;
(4)由于题目含字母而引起的讨论;
(5)方案设计中的分类讨论.
解答分类讨论问题的基本方法和步骤:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥;再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳总结,得出结论.
例 若关于x的函数y=mx2-4x+m+3的图象与坐标轴共有两个公共点,则m的值为 .
[答案] -4,-3,0,1
[解析] 分情况讨论:①当m=0时,y=-4x+3,其图象与坐标轴共有两个交点;
②当m≠0时,函数图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,m+3),
i)若抛物线过原点,则m+3=0,即m=-3,此时Δ=16-4m(m+3)=-4(m-1)(m+4)>0,符合题意;
ii)若抛物线不经过原点,则此时Δ=-4(m-1)(m+4)=0,
解得m1=1,m2=-4.
综上所述,m的值可以是-4,-3,0,1.
【点悟】 本题是函数的概念的定性而引起的讨论.在解题过程中一定要注意由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论.
1. 已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为 .
2. 如图33-1,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上的一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B'处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,当点B'为线段MN的三等分点时,BE的长为 .
图33-1
第34计 中考考场答题时间巧安排
中考是争分夺秒的智力活动,它实际考查了统筹安排的能力,也考查了学生的大局观,是考生综合素质的体现.
1.拿到考卷后5分钟内一般不允许答题,考生应先在规定的地方写好姓名和准考证号,考试号,然后对试卷整体观察,看看这份试卷的名称是否正确,共多少页、页码顺序有无错误,每一页卷面是否清晰、完整,同时听好监考老师的要求.然后整体阅读试卷,试卷分几个部分,总题量是多少,有哪几种题型,哪些是基础题,哪些是中档题,哪些是难题或压轴题等.对全卷整体把握,便于尽早定下作战方案,对全卷各部分的难易程度和所需时间做大致评估,心中有数,以便灵活应答各题,力争做到“基础不丢分,中档多得分,难题能得分”.
2.科学合理地分配考试时间,可以按照题型自身特点和题目的难易度这样分配:选择题、填空题前80%的题目平均每题在2分钟左右,后面的题目平均每题在2.5分钟左右.解答题用80分钟左右,前80%的题目平均每题在8分钟左右,后面的题目平均每题在16分钟左右.
3.考场上发现时间不够用,考生无一例外紧张,但不能因为紧张就不知所措.这时考生需要调整紧张状态,可以这样安慰自己“我已经做了那么
多了,剩下的毕竟是少数,我做得慢,自然准确率就高.”“我来不及做的别人也来不及做.”然后再整体看一看还有几道题没做,按照先易后难,先分值高后分值低来做.最忌讳的安排是按顺序在一道题目上花大量时间去思考.
4.考试时间有多余的怎么办?这时不能东张西望,无所事事乃至得意洋洋“题目太简单了”,“大意失荆州”也是常事.这时需要进行检查,按照试卷页码、题目顺序逐条细心检查(有没有漏题,题目要求有没有看清,选择题各选项有没有看清).检查时需注意的几点:对那些做起来特别顺手的题会不会题目中有陷阱,答题时考虑了吗;对于不太有把握的题目能不能从其他角度考虑一下,看看答案是不是一样;试卷上的题目个数与答题卡是不是一致,会不会填错地方.
5.最后十五分钟的时间干什么?主要是检查题目是否遗漏,是否弄错了题意,是否抄错了什么,尽量减少失误,对疑似答案,尤其要注意检查.
第35计 中考考场思维断路怎么办
考场上,在紧张的氛围下,一般情况下考生会碰到熟知的知识但方法突然想不起来了,造成思维断路,该怎么办?
方法1:深呼吸,平静心态,不慌不乱,镇定自如,坦然面对;
方法2:重新审题,看是否有遗漏的条件;
方法3:换个角度,从与题目有关的题目开始回想,看是否能够提供可借鉴的信息,比如添加辅助线、图形变换、数形结合等;
方法4:暂时放弃,换另一道题,等情绪稳定、思路清晰时,再回过头来做.
图35-1
例 如图35-1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与点A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
解:(1)当△CDQ≌△CPQ时,DQ=PQ,CP=CD.
设AQ=x,则PQ=DQ=3-x,
在Rt△BCP中,PB=CP2-BC2=52-32=4,∴AP=1.
∴在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,即x2+12=3-x2,解得x=43,即AQ=43.
(2)如图35-2,延长DM交BC于点R,连接PD,PR,
图35-2
易证△DMQ≌△RMC,∴DQ=CR,DM=MR,
∴AQ=BR,CQ=DR.
∵M为CQ的中点,PQ⊥CP,∴PM=QM=CM=DM=MR.∵MD⊥PM,∴△DPR和△PMD都是等腰直角三角形,
∴△DAP≌△PBR,∴AP=BR=2,
∴AQ=2.
【点悟】 第(2)题由于作图后,很多同学想直接利用勾股定理在Rt△APQ中求AQ,思路受阻,换个思路,如果延长DM交BC于点R,连接PD,PR,构造△DAP≌△PBR,△DPR和△PMD都是等腰直角三角形,把求AQ变成求AP=BR.
如图35-3,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD,BC于E,F(保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形,请说明理由.
图35-3
第36计 中考考场36计走为上
在考试过程中当我们使尽了35计,还是没有思路,无从下手,这个时候应该勇敢放弃,不要浪费时间.所谓“舍得,舍得,有舍才有得”,也就是“三十六计,走为上计”.然后用剩下的时间去解决能够解决的问题,去进行检验,这样我们才能有所得.
例 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-12=0有两个不相等的实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+k-12的图象交于A,B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标;
(3)将(2)中二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=12x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.
图36-1
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+k-12=0有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac=4-4×k-12>0,∴k<3.
∵k为正整数,∴k的值是1或2.
(2)把x=0代入方程x2+2x+k-12=0,得k=1,此时二次函数为y=x2+2x.
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x图象的交点为A(-2,0),B(1,3)(如图36-2①所示),
由题意可设点M(m,m+2),其中-2
当m=-12时,MN的长度最大,为94,此时点M的坐标为-12,32.
图36-2
(3)当直线y=12x+b过点A时,直线与新图象有三个公共点(如图36-2②所示),
把A(-2,0)代入y=12x+b,得b=1;
当直线y=12x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时,直线与新图象有三个公共点,由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称,∴其解析式为y=-x2-2x.
∴y=12x+b,y=-x2-2x有一组解,此时-x2-52x-b=0有两个相等的实数根,
则-522-4b=0,∴b=2516.综上所述,b=1或b=2516.
【点悟】 本题第(1)问容易得分,第(2)(3)问根据各自情况可以适当放弃,放弃也是获得.
如图36-3,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,33),B(4,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形.若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求MNNC的值,并求出此时点M的坐标.
图36-3
参考答案
第2计 运算快而准的绝招
[针对训练][答案]3
第3计 因式分解的代数工具
[针对训练]
1.[答案]a(a+1)(a-1)
2.[答案]2(x-1)2
3.[答案]C
第4计 分式中常见的陷阱
[针对训练]
1.[答案]D
2.解:原式=x+1x·x(x+1)2=1x+1.
解方程x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2.
当x=-1时,原分式无意义.
∴当x=2时,原式=12+1=13.
第5计 列方程解应用题的关键
[针对训练]
解:(1)设第一批衬衫每件进价是x元,则第二批每件进价是(x-10)元.
根据题意可得:4500x×12=2100x-10,
解得:x=150,
经检验x=150是原方程的解,
150-10=140(元).
4500150=30(件),2100140=15(件),
答:第一次购进衬衫30件,第二次购进衬衫15件.
(2)设第二批衬衫每件售价为y元,根据题意可得:
30×(200-150)+15(y-140)≥1950,
解得:y≥170,
答:第二批衬衫每件至少要售170元.
第6计 如何快速准确解一元二次方程
[针对训练]
解:(1)方程两边同除以2,得x2+52x+32=0,
移项,得x2+52x=-32,
配方,得x2+52x+542=-32+542,
x+542=116,
x+54=14或x+54=-14,
x1=-1,x2=-32.
(2)原方程可化为:x2-6x-4=0,
∵a=1,b=-6,c=-4,
∴x=-b±b2-4ac2a=6±36-4×1×(-4)2×1=6±522,
∴x1=3+13,x2=3-13.
第7计 借助数轴解含参不等式(组)
[针对训练]
1.[答案]2
第8计 “一次函数与一次方程”牵手
[针对训练]
1.[答案](1)y=-2x+2 (2)-1
[针对训练]
[答案]2
第10计 “用函数观点看一元二次方程”的妙用
[针对训练]
[答案]C
第11计 庖丁解牛破解二次函数综合题
[针对训练]
解:(1)∵抛物线顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+1,
又抛物线过原点,
∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+1,
即y=-x2+2x,
联立抛物线和直线解析式可得y=-x2+2x,y=x-2,
解得x=2,y=0或x=-1,y=-3,
∴B(2,0),C(-1,-3).
(2)证明:如图,分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于D,E两点,
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(3)假设存在满足条件的点N,
设N(x,0),则M(x,-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=2,BC=32,
∵MN⊥x轴于点N,
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB,
①当MNAB=ONBC时,
则有|-x2+2x|2=|x|32,
即|x||-x+2|=13|x|,
∵当x=0时M,O,N三点不能构成三角形,
∴x≠0,∴|-x+2|=13,
即-x+2=±13,
解得x=53或x=73,
此时N点坐标为53,0或73,0;
②当MNBC=ONAB时,
则有|-x2+2x|32=|x|2,
即|x||-x+2|=3|x|,
∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,
解得x=5或x=-1,
此时N点坐标为(-1,0)或(5,0),
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为53,0或73,0或(-1,0)或(5,0).
第12计 “三数”“四图”定统计
[针对训练]
1.[答案]B
2.[答案]B
第13计 善用“图表”求概率
[针对训练]
解:(1)∵掷一次骰子有4种等可能结果,只有掷得4时,才会落回到圈A,
∴P1=14.
(2)列表如下:
第1次
第2次
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
所有等可能的情况共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回到圈A,共4种.
∴P2=416=14.而P1=14,∴一样.
第14计 巧构等腰三角形妙解题
[针对训练]
证明:过E作EF∥AB交BC的延长线于F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵EF∥AB,
∴∠F=∠B,
∵∠ACB=∠FCE,
∴∠F=∠FCE,
∴CE=EF,
∵BD=CE,
∴BD=EF,
在△DBG与△EFG中,
∠DGB=∠EGF,∠B=∠F,BD=EF,
∴△DGB≌△EGF(AAS),
∴GD=GE.
第15计 边定全等,角定相似
[针对训练]
解:(1)①证明:如图,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵AB=AD,∠1=∠2,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
②证明:∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴BFFE=CHHE=1,
∴BF=EF.
(2)结论仍然成立,理由:
如图,过E作MN∥AH,分别交BA、CD的延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵∠2=∠CAD,AE=AC,∠3=∠ACH,
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,∴AB=AM,
∵AF∥ME,∴BFEF=ABAM=1,
∴BF=EF.
第16计 测量高度办法多
[针对训练]
解:设DH=x米,
∵∠CDH=60°,∠H=90°,
∴CH=DH·tan60°=3x,
∴BH=BC+CH=2+3x,
∵∠A=30°,
∴AH=3BH=23+3x,
∵AH=AD+DH,
∴23+3x=20+x,
解得x=10-3,
∴BH=2+3(10-3)=103-1≈16.3(米).
答:立柱BH的长约为16.3米.
第17计 “四边形”化归为“三角形”
[针对训练]
解:(1)结论AE=EF=AF.
理由:如图①,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°.
∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)证明:如图②,连接AC,
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,∠BAE=∠CAF,BA=AC,∠B=∠ACF,
∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.
(3)如图③,过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在Rt△AGB中,
∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=2,AG=23,
在Rt△AEG中,
∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=23,
∴EB=EG-BG=23-2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=23-2,∠AEB=∠AFC=45°,
∵∠EAF=60°,AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=∠AFE=60°.
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEF-∠AEB=15°,
在Rt△EFH中,∠CEF=15°,
∴∠EFH=75°,
∵∠AFE=60°,
∴∠AFH=∠EFH-∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,
∴∠CFH=∠AFC-∠AFH=30°,
在Rt△CHF中,
∵∠CFH=30°,CF=23-2,
∴FH=CF·cos30°=(23-2)·32=3-3.
∴点F到BC的距离为3-3.
第18计 七条辅助线让你轻松搞定圆
[针对训练]
解:(1)证明:如图①,连接AD,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴AB为☉O的直径.
(2)DE与☉O相切.
证明:如图①,连接OD,
∵O,D分别为AB,BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∵OD为☉O的半径,
∴DE与☉O相切.
(3)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=6,
设AC与☉O相交于点F,连接BF,如图②,
∵AB为☉O的直径,
∴∠AFB=∠DEC=90°,
∴AF=CF=3,DE∥BF,
∵D为BC中点,
∴E为CF中点,即DE为△BCF的中位线,
在Rt△ABF中,AB=6,AF=3,
根据勾股定理得BF=62-32=33,
则DE=12BF=332.
第19计 图形变换中的变与不变
[针对训练]
解:(1)证明:∵D,F关于直线AE对称,
∴DE=EF①,AD=AF,
∠DAE=∠FAE=α,
∴∠DAF=2α=∠BAC,
又∵AB=AC,AD=AF,
∴△ADF∽△ABC.
(2)证明:∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
又AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF②,
∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠ECF=90°.
在Rt△ECF中,结合①②得
DE2=EC2+BD2.
(3)成立.理由:将△CAE顺时针旋转90°,得△BAF,连接DF.
则BF=CE③,AF=AE.
∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
∴DF2=BF2+BD2④.
由旋转的性质,得∠BAF=∠CAE,
∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,
∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,又AF=AE,AD为公共边,
∴△DAF≌△DAE,
∴DF=DE⑤.
将③⑤代入④式,
得DE2=BD2+CE2.
第20计 审题需要咬文嚼字寻找突破口
[针对训练]
[答案](1,3)
第21计 解选择题的四种方法
例1 [针对训练]
[答案]C
例2 [针对训练]
[答案]C
第22计 “蒙”也是本领
[针对训练]
[答案]①②
第24计 解压轴题要瞻前顾后,各个击破
[针对训练]
解:(1)由直线y=-43x+n过点C(0,4),
得n=4,则y=-43x+4.
当y=0时,得-43x+4=0,解得x=3,
∴点A坐标是(3,0).
∵抛物线y=23x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),
∴0=23×32+3b+c,-2=c,解得b=-43,c=-2.
∴抛物线的解析式是y=23x2-43x-2.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴Pm,23m2-43m-2,D(m,-2),
若△BDP为等腰直角三角形时,则PD=BD.
①当点P在直线BD上方时,PD=23m2-43m-2+2=23m2-43m,
(ⅰ)若P在y轴左侧,则m<0,BD=-m,
∴23m2-43m=-m,
解得m=12(舍去)或m=0(舍去);
(ⅱ)若点P在y轴右侧,则m>0,BD=m.
∴23m2-43m=m,
解得m=72或m=0(舍去).
②当点P在直线BD下方时,m>0,BD=m,PD=-2-23m2-43m-2=-23m2+43m.
∴-23m2+43m=m,解得m=12或m=0(舍去).
综上所述,m=72或m=12.
即当△BDP为等腰直角三角形时,PD的长为72或12.
(3)P1-5,45+43,P25,-45+43,P3258,1132.
第25计 巧用整体思想,展现大智慧
例1 [针对训练]
[答案]18
例2 [针对训练]
[答案]C
第26计 识别陷阱,防止中招
例1 [针对训练][答案]C
例2 [针对训练]
解:(1)根据题意,得m-2≠0且Δ=4m2-4(m-2)(m+3)>0,
解得m<6且m≠2.
(2)m满足条件的最大整数为5,则原方程化为3x2+10x+8=0,
解得x1=-43,x2=-2.
第27计 数学的基本策略——转化
[针对训练]
[答案]23
第28计 科学检验找失分
[针对训练]
[答案]6
第29计 “阅读题”文字越长,题目越简单
[针对训练]
解:(1)6,6
(2)(ⅰ)y=4(x-1)2-2
(ⅱ)D
(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.例如,
y=-2x+12x+4=-2x+4-32x+4=32x+4-1=32·1x+2-1.
先把函数y=1x的图象上所有的点向左平移2个单位长度,得到函数y=1x+2的图象;再把函数y=1x+2的图象上所有的点的纵坐标变为原来的32倍,横坐标不变,得到函数y=32x+4的图象;最后把函数y=32x+4的图象上所有的点向下平移1个单位长度,得到函数y=-2x+12x+4的图象.
第30计 设参法运用技巧——设而不求
[针对训练]
1.[答案]A 2.[答案]750
第31计 明确解题目标,有的放矢
[针对训练]
解:(1)∵每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场价为n元,
∴由题意可列方程组:
14m+(20-14)n=49,14m+(18-14)n=42,
解得:m=2,n=3.5,
答:每吨水的政府补贴优惠价为2元,市场价为3.5元.
(2)当0≤x≤14时,y=2x;
当x>14时,y=14×2+(x-14)×3.5=3.5x-21,
故所求函数关系式为:y=2x(0≤x≤14),3.5x-21(x>14).
(3)∵26>14,
∴小英家5月份水费为3.5×26-21=70(元),
答:小英家5月份水费为70元.
第32计 “饮马问题”模型功能
[针对训练]
1.[答案]B 2.[答案]D
第33计 分类讨论,各个击破
[针对训练]
1.[答案]19或21或23
2.[答案]322或355
第35计 中考考场思维断路怎么办
[针对训练]
解:(1)图形如下:
(2)四边形BEDF是菱形.
理由:∵EF垂直平分BD,
∴BE=DE,BF=DF,∠DEF=∠BEF,
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠BFE,
∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF.
又∵BF=DF,
∴BE=ED=DF=BF,
∴四边形BEDF是菱形.
第36计 中考考场36计走为上
[针对训练]
解:(1)因为点A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx上,
所以m+n=33,16m+4n=0,
解得m=-3,n=43,
所以抛物线的解析式为y=-3x2+43x.
(2)存在三个点满足题意.
当点D在x轴上时,如图,过点A作AD⊥x轴于点D,
因为点A1,33,
所以D点坐标为1,0.
当点D在y轴上时,设点D0,d,则:
AD2=1+33-d2,BD2=42+d2,
AB2=4-12+332=36.
因为△ABD是以AB为斜边的直角三角形,
所以AD2+BD2=AB2,
即1+33-d2+42+d2=36,
解得:d=33±112,
所以D点坐标为0,33+112,0,33-112.
综上知:存在三个点满足题意,其坐标分别为
1,0、0,33+112、0,33-112.
(3)如图,过点P作PF⊥CM于点F,
因为PM∥OA,所以Rt△ADO∽Rt△MFP,
所以MFPF=ADOD=33,所以MF=33PF,
在Rt△ABD中,BD=3,AD=33,
所以tan∠ABD=3,
所以∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,
在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,
因为tan∠PNF=PFFN=33,
所以FN=3PF.
所以MN=MF+FN=43PF,
因为△BCN、△PMN的面积满足S△BCN=2S△PMN,
所以32a2=2×12×43PF2,
所以a=22PF,
所以MNNC=43PF3a=2,
所以MC=MN+NC=6+3a.
因为点M4-a,6+3a在抛物线y=-3x2+43x上,
所以-34-a2+434-a=6+3a,
所以a=3-2或a=0(舍去),
所以OC=4-a=2+1,MC=26+3,
所以点M的坐标为2+1,26+3.
第1计 真题——中考指南针
一、为什么要研究中考真题
研究中考真题可以让我们体验中考考试方式,掌握题型分布、难度、重难点等.中考试卷的模式基本是固定不变的,如选择题、填空题和解答题的数量和分值,每道题涉及的知识范围以及出现的顺序等,这些都有规律可循,有些内容每年必考,有些内容则几年出现一次,周期中变化.
二、如何研究中考真题
研究范围:研究当地或邻近地区近三年中考真题.
研究方法:
(1)将所有内容分成实数及其运算、整式与因式分解、分式与二次根式、方程(组)、一元一次不等式(组)、一次函数、二次函数、反比例函数、图形的初步认识、三角形、四边形、视图与投影、圆、图形变换、相似、锐角三角函数、数据的收集与整理、概率初步等,以表格的形式进行粗略统计,从分值和出现顺序、难易程度上找规律;
(2)对于以上几大块内容,若感觉某些块掌握较好就略过,对那些每年必考又掌握不到位的内容,进行细化研究;
(3)通过研究,找出考查重点中掌握不到位的内容,有针对性地找些题目进行强化训练.如果找不到合适的材料,可以将一轮、二轮复习资料拿出来进行强化,效果也是不错的,这样更容易理解和掌握,见效更快.
这就是所谓:知己知彼,百战不殆.
第2计 运算快而准的绝招
运算能力是中考必考内容,要求快速准确,达到快速准确需要一定的技巧性,写出关键步骤.运算快而准就能为其他题目的解答节省时间,提高解题效率.
1.实数的混合运算一定要用好运算律,注意平方差公式、完全平方公式等在简化运算中的应用.
2.先化简后求值是代数式求值的基本方法,常见的有整式、分式、二次根式的化简求值.
3.熟记一些结论可以提高运算速度,特别是选择题、填空题,比如记住1~20的平方、1~9的立方、勾股数、特殊角的三角函数值等.
例 计算:12-2-(π-7)0+3-2+4sin60°.
解:原式=4-1+2-3+4×32
=5-3+23
=5+3.
【点悟】 (1)实数的混合运算常涉及负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等,分别计算,然后按照实数的运算法则计算结果.
(2)对算式中各部分进行准确计算,就能减少结果的失误.
计算:4-(π-2016)0+|3-2|+2sin60°.
第3计 因式分解的代数工具
要解决好整式的化简、分式的化简、二次根式的化简或求值、一元二次方程的解、二次函数图象的交点问题等这些初中数学的代数问题,就必须要掌握好因式分解这个工具.
例 分解因式:(1) 9bx2y-by3= ;
(2) 5x3-10x2+5x= .
[答案] (1)by(3x+y)(3x-y) (2)5x(x-1)2
[解析] (1)9bx2y-by3=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).
(2)5x3-10x2+5x=5x(x2-2x+1)=5x(x-1)2.
【点悟】 因式分解的步骤:一提(提公因式),二套(平方差公式、完全平方公式),直到不能再分解为止.
1. 因式分解:a3-a= .
2. 分解因式:2x2-4x+2= .
3.如图3-1,将4个长、宽分别均为a,b的长方形摆成了一个大的正方形,利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是 ( )
图3-1
A.a2+2ab+b2=(a+b)2
B.a2-2ab+b2=(a-b)2
C.4ab=(a+b)2-(a-b)2
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
第4计 分式中常见的陷阱
分式中常见的陷阱:
(1)分式易错点为分母不为0;
(2)在运算过程中常见错误有违背运算顺序,或忽视分数线的括号作用,或把“分式运算”与“解方程”相混淆,或违背分式的性质随意约分,或误用运算律,或顾此失彼考虑不周等.
例 若代数式x2-5x+62x-6的值等于0,则x= .
[答案] 2
[解析] 由分式的值为零的条件,得x2-5x+6=0且2x-6≠0,由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,由2x-6≠0,得x≠3,∴x=2.
【点悟】 (1)求解分式的值为0的题目时,一定要验证分母不为0,即要保证分式有意义.陷阱隐藏并不深,只要细心就能避免失误;(2)由于忽视了“0”的存在而致错的运算较多,比如:零指数幂的底数不能为0,不等式整数解中的0,二次根式被开方数中的0,一元二次方程中二次项系数不为0,二次函数中二次项系数不为0,反比例函数中的比例系数不为0等.
1. 要使分式x-2(x-1)(x-2)有意义,x应满足的条件是 ( )
A.x≠1
B.x≠2
C.x≠1或x≠2
D.x≠1且x≠2
2. 先化简,后求值:1+1x÷x2+2x+1x,其中x满足x2-x-2=0.
第5计 列方程解应用题的关键
列方程解应用题的关键是设未知数列方程,列方程的关键是找等量关系.列方程解应用题的一般步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案.在列方程时,选择题中的一个量,然后用两种不同的方式加以表达,用等号连接,即得方程.
1.如何设未知数?一般直接设未知数,即求谁设谁,也可以间接设未知数.
2.如何选择等量关系?利用题目给出的等量关系,如果是明显的等量关系,那么列出的方程相对简单;如果不存在明显的等量关系,那么可自行选择.
3.列方程解应用题的类型有一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等.
例 某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售,部分蔬菜批发价格与零售价格如下表:
蔬菜品种
西红柿
青椒
西兰花
豆角
批发价(元/kg)
3.6
5.4
8
4.8
零售价(元/kg)
5.4
8.4
14
7.6
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg,用去了1520元,这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱?
(2)第二天,该经营户用1520元仍然批发西红柿和西兰花,要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元,则该经营户最多能批发西红柿多少千克?
解:(1)设批发西红柿x kg,西兰花y kg,
由题意,得x+y=300,3.6x+8y=1520,
解得x=200,y=100.
200×(5.4-3.6)+100×(14-8)=960(元).
答:这两种蔬菜当天全部售完一共能赚960元.
(2)设批发西红柿x kg,由题意,得
(5.4-3.6)x+(14-8)×1520-3.6x8≥1050,
解得x≤100.
答:该经营户最多能批发西红柿100 kg.
【点悟】 本题的等量关系有两个:(1)西红柿和西兰花两种蔬菜共重300 kg;(2)西红柿和西兰花两种蔬菜共花1520元钱.本题的不等关系有一个:当天全部售完后所赚的钱“不少于”1050元.这些等量关系或不等关系一般在题中很容易找出来.第一问所设未知数是间接设未知数.
某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
第6计 如何快速准确解一元二次方程
一元二次方程是中考的重要考点,是学习二次函数的基础.解一元二次方程的基本思想方法是通过降次转化为两个一元一次方程.一元二次方程的解法有四种:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.在解题中,一般先选择直接开平方法,其次是因式分解法,再次是公式法,最后考虑配方法.根据一元二次方程的特点选择适当的方法,既能节省时间,降低运算量,又能保证准确率.
解一元二次方程,应当根据方程的结构和特点灵活地选择方法,才能快速地抢分.
(1)当方程为(mx+n)2=p(p≥0)的形式时,使用直接开平方法简单;
(2)当二次项系数为1且一次项系数为偶数时,使用配方法简单;
(3)如果方程能化为(x-a)(x-b)=0的形式,那么选择因式分解法;
(4)不能运用以上方法的用公式法.
例1 解方程:x2-5=2(x+1).
解:整理,得x2-2x-7=0,
这里a=1,b=-2,c=-7,
∵Δ=4+28=32>0,
∴x=2±322=1±22,
∴x1=1+22,x2=1-22.
【点悟】 所给的方程不符合一元二次方程的一般形式,而且不能用因式分解法来解,因此首先要化为一般式,再用公式法解.运用公式法时要注意不能代错系数,特别是符号.
例2 解方程:x2-6x-4=0.
[解析] 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,把等号左边配成完全平方式,右边化为常数.
解:移项,得x2-6x=4,
配方,得x2-6x+9=4+9,
即(x-3)2=13,
开方,得x-3=±13,
∴x1=3+13,x2=3-13.
【点悟】 配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中阶段掌握的三种重要的数学方法(换元法、配方法、待定系数法)之一,一定要掌握好.
解下列方程:
(1)用配方法解方程:2x2+5x+3=0;
(2)用公式法解方程:(x-2)(x-4)=12.
第7计 借助数轴解含参不等式(组)
中考中常常出现已知不等式(组)的解集(或特殊解)求不等式(组)中某些字母的取值范围的问题.这些不等式(组)是动态的,要研究它就要让它静下来、定下来,把它变成一个确定的不等式(组)来解.借助数轴,利用数形结合思想是行之有效的方法.
例 若关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解,则b的取值范围是 ( )
A.-3
[解析] D 在数轴上表示出已知不等式的解集,根据负整数解只有-1,-2,确定出b的取值范围即可.
【点悟】 化动为静巧解含参不等式(组),即把关键之值(不等式中等号成立的情况)代入题中来验证是否满足条件.
1.不等式组x>-1,x
第8计 “一次函数与一次方程”牵手
二元一次方程与一次函数是数与形的两个方面,是同一个问题的不同表达方式.联姻解决问题也就是利用数形结合思想,事半功倍.解决一次函数问题时,可以转化为二元一次方程解决;解决二元一次方程问题时,又可以借助于一次函数图象来解决.
例 如图8-1,过点(0,-2)的直线l1:y1=kx+b(k≠0)与直线l2:y2=x+1交于点P(2,m).
(1)写出使得y1
图8-1
解:(1)根据图象分析,得当y1
把点P(2,3),点(0,-2)的坐标代入y1=kx+b,得2k+b=3,b=-2,解得k=52,b=-2.
所以直线l1的解析式为y1=52x-2.
【点悟】 (1)由同一直角坐标系中的两个函数图象比较两个函数值的大小,直接观察这两个函数图象的交点的横坐标,在交点的同侧,函数图象在上面的函数值大,在下面的函数值小.
(2)两个一次函数图象的交点的横、纵坐标同时满足这两个一次函数的解析式,也是联立这两个一次函数的解析式组成的方程组的解.这样交点问题可以转化为方程组问题,图的问题转化为数的问题.
1. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,2)和点B(2,-2).
(1)求出y关于x的函数解析式为 ;
(2)当-2
图8-2
第9计 “反比例函数与一次函数、图形面积”联姻
中考试题中反比例函数是重要的考点,常见的题型有两种:第一种是反比例函数图象与几何图形的面积问题,第二种是考查反比例函数的定义、图象、性质、解析式的确定,以反比例函数与一次函数的综合问题为主.
图9-1
例 如图9-1,点B1在反比例函数y=2x(x>0)的图象上,过点B1分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为C1和A,点C1的坐标为(1,0);取x轴上一点C232,0,过点C2作x轴的垂线交反比例函数的图象于点B2,过点B2作线段B1C1的垂线交B1C1于点A1,依次在x轴上取点C3(2,0),C452,0,…,按此规律作矩形,则第n(n≥2,n为整数)个矩形An-1Cn-1CnBn的面积为 .
[答案] 2n+1
【点悟】 反比例函数的比例系数k的几何意义:在反比例函数y=kx的图象上任取一点,过这一点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|,这一点与原点及任意一个坐标轴上的垂足所围成的三角形面积等于12|k|.这是反比例函数的一个重要的性质,它在解与反比例函数图象有关的面积问题时有着广泛的应用,尤其是填空题、选择题,利用结论可以减少很多计算.
图9-2
如图9-2所示,反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .
第10计 “用函数观点看一元二次方程”的妙用
一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间联系密切.二次函数的图象与x轴相交的“瞬间”就是一元二次方程,一元二次方程的根就是它对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标.二次函数图象的“片段”(在x轴上方或下方的部分)就是一元二次不等式,一元二次方程、一元二次不等式是二次函数的特殊情况.只有明确了三者之间的关系和区别,才能灵活运用.
例 如图10-1所示,二次函数y=-2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C.
图10-1
(1)求m的值及点B的坐标;
(2)求△ABC的面积.
[解析] (1)先把点A的坐标代入函数解析式,求出m的值,进而求出点B的坐标;
(2)根据二次函数的解析式求出点C的坐标,进而求出△ABC的面积.
解:(1)∵函数图象过点A(3,0),
∴-18+12+m=0,
∴m=6,
∴该函数解析式为y=-2x2+4x+6.
∵当-2x2+4x+6=0时,x1=-1,x2=3,
∴点B的坐标为(-1,0).
(2)点C的坐标为(0,6),S△ABC=4×62=12.
【点悟】 (1)由于x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0,所以只需要分别令x=0,y=0就可以把二次函数转化为方程,从而通过解方程求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标,以解决与坐标轴围成的图形的面积问题.
(2)一元二次方程根的判别式可以用来判断抛物线与x轴的交点个数,具体见下表:
一元二次方程根的情况
二次函数的图
象与x轴的交点
b2-4ac>0
两个不相等的实数根
有两个不同的交点
b2-4ac=0
两个相等的实数根
只有一个交点
b2-4ac<0
没有实数根
无交点
图10-2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图10-2所示,下列结论:①b<0;②c>0;③a+c
A.1 B.2 C.3 D.4
第11计 庖丁解牛破解二次函数综合题
二次函数综合题是由一些常见的、基本的题目组合而成.解题时,我们就可以采用庖丁解牛的办法,把二次函数的综合题分解成若干个基本题目,逐一解决,也就是我们在中考复习方案中的分层分析法,解答了这些简单的问题,复杂的问题就迎刃而解了,这也是一种化难为易,化繁为简的解题思想.但要注意这些基本题目之间的联系,寻求科学的最佳解题方案.
例 在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.
①如图11-1①,当点P运动到某位置时,以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点P的坐标;
②如图11-1②,过点O,P的直线y=kx交AC于点E,若PE∶OE=3∶8,求k的值.
图11-1
解:(1)∵直线y=x+4经过A,C两点,且点A在x轴上,点C在y轴上,
∴点A的坐标是(-4,0),点C的坐标是(0,4).
又∵抛物线过A,C两点,
∴-12×(-4)2-4b+c=0,c=4,解得b=-1,c=4,
∴抛物线的解析式为y=-12x2-x+4.
(2)①如图11-2①,
∵抛物线y=-12x2-x+4,∴抛物线的对称轴是直线x=-1.
∵以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,
∴PQ∥AO,PQ=AO=4.
∵点P,Q都在抛物线上,∴点P,Q关于直线x=-1对称,
∴点P的横坐标是-3,
∴当x=-3时,y=-12×(-3)2-(-3)+4=52,∴点P的坐标是-3,52.
②如图11-2②,过点P作PF∥OC交AC于点F,
∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,∴PEOE=PFOC.又∵PEOE=38,∴PF=32.
设点F(x,x+4),则点Px,-12x2-x+4,
∴-12x2-x+4-(x+4)=32,
化简,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.
当x=-1时,-12x2-x+4=92;当x=-3时,-12x2-x+4=52,
即点P的坐标是-1,92或-3,52.
又∵点P在直线y=kx上,∴k=-92或k=-56.
图11-2
【点悟】 这是一道中考压轴题,总分12分.题目涉及待定系数法求函数解析式,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,题目综合性较强,但是如果我们采用庖丁解牛的办法来分解此题,然后求解,你就发现不是我们想象的那么难了.分解过程如下:
在平面直角坐标系中,抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.
(1)求点A和点C的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,则PQ∥AO,求点P的横坐标;
(4)过点P作PF∥OC交AC于点F,求证△PEF∽△OEC,求PF的长;
(5)设点F(x,x+4),利用PF的长列方程,可求出x的值,从而可得点P的坐标,代入y=kx即可求出k的值.
如图11-3,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M, 则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图11-3
第12计 “三数”“四图”定统计
统计初步是初中数学的重要考点,必考内容.中考中主要考查“三数”(平均数、中位数和众数),“四图”(条形统计图、折线统计图、扇形统计图和频数分布直方图).平均数、中位数和众数用于描述一组数据的“平均水平”和“集中趋势”.
1.众数是对各数据出现的频数的考查,指出现次数最多的数据,而不是出现的次数.一组数据可以有多个众数.若一组数据存在众数,则众数必在这组数据中.一组数据的平均数和中位数是唯一的,而众数则不一定唯一.
2.个数为n的一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后,当n为奇数时,第n+12个数即为中位数;当n为偶数时,第n2和n2+1个数据的平均数即为中位数,因此中位数可能在这组数据中,也可能不在这组数据中.中位数是一组数据的“分水岭”,在统计数据的个数时,相同的数据不能算为一个数据.
3.平均数能较充分地反映一组数据的“平均水平”,但它容易受极端值的影响.
4.三数与统计图的结合是热点考题.
例 某射击小组有20人,教练根据他们某次射击的数据绘制成如图12-1所示的统计图.则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
图12-1
A.7,7 B.8,7.5C.7,7.5 D.8,6
[解析] C 7出现了7次,出现的次数最多,所以众数为7.20个数据第10个为7,第11个为8,所以中位数为7.5.
故选C.
1. 某小学校园足球队22名队员年龄情况如下:
年龄(岁)
12
11
10
9
人数
4
10
6
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 ( )
A.11,10 B.11,11C.10,9 D.10,11
2.[2016·梅州] 若一组数据3,x,4,5,6的众数是3,则这组数据的中位数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
第13计 善用“图表”求概率
求随机事件的概率是近几年中考的热点.在具体的情景中,理清随机事件,利用列表法或画树状图法找准、找全事件的结果,在这个过程中注意做到不重不漏.在解决摸球试验时,注意取出后是放回还是不放回;在判断游戏公平性时,要先获得事件发生的概率,然后根据概率是否相等来判断.
例 在一只不透明的袋中,装着标有数字3,4,5,7的质地、大小均相同的小球.小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球,并计算这两球上的数字之和,当和小于9时小明获胜,反之小东获胜.
(1)请用画树状图或列表的方法,求小明获胜的概率;
(2)这个游戏公平吗?请说明理由.
解:(1)画树状图如下:
图13-1
或列表如下:
小明
和
小东
3
4
5
7
3
7
8
10
4
7
9
11
5
8
9
12
7
10
11
12
∵所有等可能的结果共有12种,其中数字之和小于9的有4种,∴P(小明获胜)=412=13.
(2)不公平,理由:∵P(小明获胜)=13,
∴P(小东获胜)=1-13=23>13,
∴这个游戏不公平.
【点悟】 本题可以使用列表法或画树状图法寻找所有可能的结果.在列举事件发生的可能性时,对于一次试验涉及两个因素或两步试验的问题,列表法比画树状图法更直观;当一次试验涉及三个或多个因素或多步试验的问题时,画树状图法优于列表法.
如图13-2①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.
图13-2
如图13-2②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;……
设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗?
第14计 巧构等腰三角形妙解题
等腰三角形是一种特殊图形,由于其两腰相等,两底角相等,所以可以进行线段或角的转化.由于等腰三角形独有的三线合一的性质,因此成为中考的重要考点,是热点考题.它往往与三角形全等的判定相结合,也经常现身特殊四边形中,掌握一些构造等腰三角形的方法,能为我们解题提供一些思考方法和技巧.
遇到以下几种情形,可以考虑构造等腰三角形:
(1)题中有线段垂直平分线;
(2)出现角平分线和平行线;
(3)出现一个角是另一个角的两倍;
(4)出现图形由平移、对称、旋转或折叠得到.
例 如图14-1,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连接PQ交AC边于点D,则DE的长为 ( )
图14-1
A.13 B.12 C.23 D.不能确定
图14-2
[解析] B 如图14-2,过点P作PF∥BC交AC于点F.
∵PF∥BC,△ABC是等边三角形,∴∠PFD=∠QCD,
△APF是等边三角形,
∴AP=PF=AF.
∵PE⊥AC,∴AE=EF.
∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.
∵在△PFD和△QCD中,
∠PFD=∠QCD,∠PDF=∠QDC,PF=QC,
∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.
∵AE=EF,
∴EF+FD=AE+CD,
∴AE+CD=DE=12AC.
∵AC=1,∴DE=12.
【点悟】 (1)PA=CQ是解决问题的关键.一般地,如果题目中有线段相等的已知条件,那么可以考虑构造等腰三角形,构造的方法可以作平行线.
(2)PE⊥AC也是解决本题的一个题眼.因为在等腰三角形中,常常出现垂线的踪影,利用三线合一的性质.
(3)作平行线后,利用三角形全等,得CD=DF.
如图14-3,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.
图14-3
第15计 边定全等,角定相似
判定三角形全等的方法有SAS,ASA,AAS,SSS,所以判定两个三角形全等至少要有一边相等.判定两个三角形相似的方法有两角对应相等的两个三角形相似;两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;三边对应成比例的两个三角形相似,关键是要找到角相等.抓住“边定全等,角定相似”这一解题的关键,相关的题目就会迎刃而解.
例 (1)如图15-1①,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长;
(2)如图15-1②,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.
图15-1
[解析] (1)连接BE,根据“边定全等”的思路可证明△ACD≌△BCE,得到AD=BE,在Rt△BAE中,AB=62,AE=3,求出BE;
(2)连接BE,根据“角定相似”的思路可证明△ACD∽△BCE,得到ADBE=ACBC=33,求出BE的长,得到AD的长.
解:(1)如图15-2①,连接BE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.
∵在△ACD和△BCE中,
AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,
∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.
∵AC=BC=6,∴AB=62.∵∠BAC=∠CAE=45°,∴∠BAE=90°.
在Rt△BAE中,AB=62,AE=3,
∴BE=9,∴AD=9.
图15-2
(2)如图15-2②,连接BE,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴ACBC=tan30°=33.
在Rt△CDE中,∠DCE=90°,∠DEC=30°,
∴CDCE=tan30°=33,∴ACBC=CDCE.
又∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠BCE=∠ACD,∴△ACD∽△BCE,
∴ADBE=ACBC=33.
∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,
∴∠BAE=90°.
又∵AB=6,AE=8,
∴BE=10,∴AD=1033.
【点悟】 (1)证明全等或相似要注意结合图形,挖掘图中隐含的公共边、公共角、对顶角、同位角、内错角以及中点、中线、角平分线等等量关系求解.
(2)证明两边相等的方法有三角形全等,等腰三角形(等腰三角形的定义或三线合一),线段的垂直平分线的性质,角平分线的性质,特殊四边形的性质,圆的有关性质,等量代换,比例线段以及计算线段的具体长度等.
(3)证明角相等的方法有运用平行线的性质,三角形全等的性质,相似三角形的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质定理及逆定理,和圆有关的角等.
已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H,交BE于F.
(1)如图15-3①,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图15-3②,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
图15-3
第16计 测量高度办法多
锐角三角函数的魅力在于应用,它起到了工具的作用,通常用来解决有关测量、航海、工程技术等生活中的实际问题,它往往与三角形、四边形的内容综合.测高(或宽)问题是中考热点考题,解决的方法是通过作高,构造直角三角形,在直角三角形中解决问题,这就是化斜为直的思想.
(1)作高构造直角三角形的基本方法有三种(如图16-1):在三角形的内部作;在三角形的外部作;延长四边形相对两边得到直角三角形.
图16-1
(2)构造直角三角形测高、测距的基本图形(如图16-2)和解题过程如下:
图16-2
因为CDAD=tanα,CDBD=tanβ,所以CDtanα=AD,CDtanβ=BD,
所以AB=AD-BD=CDtanα-CDtanβ=CD(tanβ-tanα)tanα·tanβ.
已知AB可求CD,已知CD可求AB,在做选择题、填空题时可以将此结论当作公式,将此过程当成万能步骤,相信会为你节省不少时间.
例 如图16-3,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A与地面的距离为420米,求这栋楼的高度.
图16-3
图16-4
解:如图16-4,作AM⊥CB,交CB的延长线于点M,则四边形ADCM为矩形,∴MC=AD,MA=DC.由题意,得∠MAB=30°,∠MAC=60°,AD=420.在Rt△ADC中,
∠DAC=90°-∠MAC=90°-60°=30°,
∵tan∠DAC=DCAD,
∴DC=AD·tan30°=420×33=1403.
在Rt△ABM中,tan∠MAB=MBMA,
∴MB=MA·tan30°=1403×33=140,
∴BC=MC-MB=420-140=280(米).
答:这栋楼的高度为280米.
芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图16-5①),图②是从图①引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,3≈1.732)
图16-5
第17计 “四边形”化归为“三角形”
将四边形(平行四边形、特殊平行四边形)化归为三角形来求解就是化复杂为简单,化生疏为熟悉.作辅助线是转化的桥梁,它可以帮助我们把已知条件集中或构成基本图形,便于解题,注意辅助线的目的性和方向性.
常见作辅助线的方法:四边形的常见辅助线是作对角线;当题中有平行线时,常常构造平行四边形;如果题中有中线,常加倍延长构造平行四边形.
例 阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图17-1①,在△ABC中,DE∥BC分别交AB于点D,交AC于点E.已知CD⊥BE,CD=3,BE=5,求BC+DE的值.
小明发现,过点E作EF∥DC,交BC的延长线于点F,构造△BEF,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图②).
图17-1
请回答:BC+DE的值为 .
参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图③,已知▱ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求∠AGF的度数.
[解析] (1)由DE∥BC,EF∥DC,可证得四边形DCFE是平行四边形,即可得EF=CD=3,CF=DE,所以BC+DE=BF,然后利用勾股定理,求得BC+DE的值;
(2)首先连接AE,CE,由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABEF是矩形,易证得四边形DCEF是平行四边形,继而证得△ACE是等边三角形,则可求得答案.
解:∵DE∥BC,EF∥DC,
∴四边形DCFE是平行四边形,
∴EF=CD=3,CF=DE.
∵CD⊥BE,
∴EF⊥BE,
∴BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=52+32=34.
图17-2
解决问题:连接AE,CE,如图17-2.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC.
∵四边形ABEF是矩形,
∴AB∥FE,AB=FE,BF=AE,
∴DC∥FE,DC=FE,
∴四边形DCEF是平行四边形,∴CE∥DF.
∵AC=BF=DF,
∴AC=AE=CE,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠ACE=60°.
∵CE∥DF,
∴∠AGF=∠ACE=60°.
【点悟】 本题是阅读理解型问题,要求仔细阅读信息领悟数学知识和方法,运用这种方法解决新问题.本题就是通过作平行线构造三角形来解决问题.
已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图17-3①,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图②,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B,C重合),求证:BE=CF;
(3)如图③,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
图17-3
第18计 七条辅助线让你轻松搞定圆
圆是初中数学知识的大综合,不论是代数还是几何,所有的知识几乎都能在圆中体现.新课标以来圆的部分内容在中考中的地位有所下降,题目难度有所降低,但是圆的命题还是中考的热点考题,在不少地区难度依然很大.
只要掌握以下七条辅助线的作法,圆的问题就有规律可找了.
(1)遇到有关弦的问题时,通常要作垂直于弦的半径,利用垂径定理求有关的量;还常常连接弦的两个端点和圆心,构造等腰三角形.
(2)遇到直径时,常常添加直径所对的圆周角,得到直角三角形.
(3)遇到90°的圆周角时,常连接圆周角的两边与圆的交点,得到直径.
(4)遇到切线时,添加过切点的半径,得到垂直,即一切就垂.
(5)遇到要证明切线时,若有交点,则连半径,证垂直;若无交点,则作垂直,证半径.
(6)遇到三角形的内切圆时,连接内心与三角形各顶点,利用内心的性质.
(7)遇到三角形的外接圆时,连接外心和三角形各顶点,利用外心的性质.
例 如图18-1,AB为☉O的直径,AC为☉O的弦,AD平分∠BAC,交☉O于点D,DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AE=8,☉O的半径为5,求DE的长.
图18-1
图18-2
解:(1)直线DE与☉O相切,理由如下:
连接OD,如图18-2所示,
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠OAD.
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠EAD,
∴EA∥OD.
∵DE⊥EA,
∴DE⊥OD.
又∵点D在☉O上,
∴直线DE与☉O相切.
(2)法1:如图18-3,连接OD,作DF⊥AB,垂足为F,
图18-3
则∠DFA=∠DEA=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
∵在△EAD和△FAD中,
∠EAD=∠FAD,∠DEA=∠DFA,AD=AD,
∴△EAD≌△FAD(AAS).∴AF=AE,DF=DE.
∵AE=8,∴AF=AE=8,
∵OA=OD=5,∴OF=AF-OA=8-5=3.
在Rt△DOF中,OD=5,OF=3,根据勾股定理,得DF=OD2-OF2=4,∴DE=DF=4.
法2:如图18-4,连接OD,DB,
图18-4
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
又∵∠AED=90°,
∴∠ADB=∠AED.
又∵∠EAD=∠DAB,
∴△EAD∽△DAB,
∴EADA=DABA.
∵AE=8,BA=2OA=10,∴8DA=DA10,
解得DA=45.
在Rt△ADE中,AE=8,AD=45,
根据勾股定理,得DE=AD2-AE2=4.
法3:如图18-5,连接OD,作OF⊥AD,垂足为F,
图18-5
∵OA=OD,
∴AF=12AD,∠AFO=∠AED=90°.
又∵∠EAD=∠FAO,
∴△EAD∽△FAO,∴EAFA=DAOA.
∵AE=8,OA=5,AF=12AD,∴812DA=DA5,
解得DA=45.
在Rt△ADE中,AE=8,AD=45,
根据勾股定理,得DE=AD2-AE2=4.
【点悟】 此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,全等三角形的判定与性质,平行线的性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.同时本题第二问利用了三种方法求解,注意运用一题多解的方法解题.
如图18-6,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,☉O经过A,B,D三点.
(1)求证:AB是☉O的直径;
(2)判断DE与☉O的位置关系,并加以证明;
(3)若☉O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.
图18-6
第19计 图形变换中的变与不变
平面图形的轴对称、平移、旋转和位似等变换是近几年中考的热点考题,常常以探究题形式出现,能较好地考查创新能力.解决这类问题,我们需要熟练掌握四种变换的性质,理解变换前后的变化量和不变量,才能不被千变万化的图形变换所迷惑.
例 如图19-1①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
图19-1
(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是 ;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=12AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.
[解析] (1)易证得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD.
(2)取AD的中点M,连接PM,可得出△MDP是等边三角形,易证△MPE≌△DPF,得出ME=DF,由DE+ME=12AD,即可得出DE+DF=12AD.
(3)①当点E落在AD上时,DE+DF=12AD,②当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,即12AD
∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°.
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,
∴∠APE=∠DPF.
∵在△APE和△DPF中,
∠APE=∠DPF,PA=PD,∠PAE=∠PDF,
∴△APE≌△DPF(ASA),
∴AE=DF,∴DE+DF=AD.
(2)证明:如图19-2,取AD的中点M,连接PM,
图19-2
∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形,
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴△MDP是等边三角形,∴PM=PD,∠MPD=∠PME=∠PDF=60°.
∵∠QPN=60°,∴∠MPE=∠FPD.
∵在△MPE和△DPF中,
∠PME=∠PDF,PM=PD,∠MPE=∠DPF,
∴△MPE≌△DPF(ASA),
∴ME=DF,∴DE+DF=12AD.
(3)如图19-3,
图19-3
在整个运动变化过程中,
①当点E落在AD上时,DE+DF=12AD;
②当点E落在AD的延长线上时,DE+DF逐渐增大,当点F与点C重合时DE+DF最大,
即12AD
(2)解答本题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等,寻找所求线段与线段之间的等量关系.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)如图19-4①,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC;
(2)如图19-4②,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2;
(3)如图19-4③,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.
图19-4
第20计 审题需要咬文嚼字寻找突破口
解决一个问题,审题是关键,当一个问题还没弄明白怎么回事就去解决它,会是什么结果?如何审题?审题时要注意什么?审题时需要做到一“咬”二“抓”三“挖”.所谓一“咬”,即咬文嚼字,看清看准每一个数字、符号,每一句话及图形中线段、角之间的联系,弄清楚条件、结论和全部题意;二“抓”,即抓住题目中的关键词,制定初步的解题思路;三“挖”,即挖掘隐含条件,当我们解题思路受阻时,往往是题目的隐含条件没有挖掘出来,造成条件不足的误解.但如果能仔细分析、推敲,就可以将其挖掘出来.特别是在审题过程中,若能及时发现和运用隐含条件,不仅可以迅速找到解题突破口,还能使解题过程简单明了.
例 如图20-1,已知直线y=-34x+3分别交x轴、y轴于点A,B,P是抛物线y=-12x2+2x+5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线y=-34x+3于点Q,则当PQ=BQ时,a的值是 .
图20-1 图20-2
[答案] -1,4,4+25,4-25
[解析] 设点P的坐标为a,-12a2+2a+5,
则点Q的坐标为a,-34a+3,点B的坐标为(0,3).
如图20-2,当点P在点Q上方时,BQ=a2+(-34a) 2=54|a|,
PQ=-12a2+2a+5--34a+3=-12a2+114a+2.
∵PQ=BQ,
∴54|a|=-12a2+114a+2,
当a>0时,整理,得a2-3a-4=0,
解得a=-1(舍去)或a=4;
当a<0时,整理,得a2-8a-4=0,解得a=4-25或a=4+25(舍去).
当点P在点Q下方时,BQ=a2+(-34a) 2=54|a|,
PQ=-34a+3--12a2+2a+5=12a2-114a-2.
∵PQ=BQ,∴54|a|=12a2-114a-2,
当a>0时,整理,得a2-8a-4=0,
解得a=4+25或a=4-25(舍去);
当a<0时,整理得a2-3a-4=0,
解得a=-1或a=4(舍去).
综上所述,a的值为-1,4,4+25,4-25.
【点悟】 (1)本题考查了二次函数的综合题,涉及二次函数与一次函数的图象的交点问题,以及两点间的距离问题.解答本题的关键是设出点P的坐标,表示出PQ,BQ的长度,然后根据PQ=BQ列方程求解.
(2)本题审题需要挖掘隐含条件,P,Q都是动点,点P可能在点Q上方也可能在点Q下方,需要分情况讨论并求解.
如图20-3,在平面直角坐标系中,已知点A,B的坐标分别为(8,0)、(0,23),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP,EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 .
图20-3
第21计 解选择题的四种方法
中考中,选择题是必考题型,一般都在21~30分,以基础性考查为主.为了给解答题留下充足的时间,一定要注意选择题的解题速度,而科学的解法是提高解题速度的前提.一般除最后一道选择题有一定的难度,用时多,其余的选择题每个题要控制在一分钟以内.为了快速解选择题,我们可以采用四字诀,即一筛(筛选法也叫排除法),二代(代入答案验证),三特(特殊化,包括特殊值、特殊点、特殊角等),四直(直接计算法、图示法、操作法).
例1 若a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[答案] C
【点悟】 此题同学一般采用直接法:a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5,按照这个模式解答大约需要一分钟左右.如果此题采用特殊值法,是不是更好?比如取a=1,b=2,a2+b2=1+4=5,最多半分钟,这样就为后面的问题节约了大约半分钟的时间,这就是小题的解题技巧.
下列计算正确的是 ( )
A.x4+x4=2x8
B.x3·x2=x6
C.(x2y)3=x6y3
D.(x-y)(y-x)=x2-y2
例2 [2015·房山区二模] 学校组织春游,每人车费4元.一班班长与二班班长的对话如下:
一班班长:我们两班共93人.
二班班长:我们二班比你们一班多交了12元的车费.
由上述对话可知,一班和二班的人数分别是 ( )
A.45,42 B.45,48
C.48,51 D.51,42
[解析] B 用直接解法:设一班有x人,二班有y人,则x+y=93,4y-4x=12,
解得x=45,y=48.
即一班有45人,二班有48人.
如果用排除法,因为每人车费4元,二班比一班多交了12元的车费,那么二班人数比一班人数多3.把选项A,B,C,D分别代入已知条件,易得出选项B正确.直接法计算需要三分钟左右,代入法最多需要一分钟,这样节约了大约两分钟的宝贵时间.
【点悟】 代入法适用于解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程等.
若x=-2是关于x的一元二次方程x2+32ax-a2=0的一个根,则a的值为 ( )
A. -1或4 B.-1或-4C.1或-4 D.1或4
第22计 “蒙”也是本领
中考的时候遇到不会做的题怎么办?让分数白白丢失吗?这个时候“会蒙”也能得分.
1.选择题、填空题即使不会做,也要猜一个答案填上,并做好记号,有时间、有思路时再回头详细作答,防止填涂时出现错漏,导致不必要的失分.特别是选择题,你猜一个答案,按照概率计算你得分的机会就有25%.
2.压轴题我们可能算不出完整的答案,找不到详细的解题思路,也可能不会做,但我们依然能够得分,比如如果题目问是否有最大值,可以猜测有最大值或最小值;如果题目问满足条件的点和图形是否存在,可以猜测存在或不存在;需要作图时我们可以准确作图,把题目中的条件翻译成数学表达式;设应用题的未知数等.
图22-1
例 如图22-1,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论:
①△AED≌△DFB;
②S四边形BCDG=32CG2;
③若AF=2DF,则BG=6GF;
④CG与BD一定不垂直;
⑤∠BGE的大小为定值.
其中正确的结论个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
[解析] B ①证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;
②证明∠BGE=60°=∠BCD,从而得点B,C,D,G四点共圆,因此∠BGC=∠DGC=60°,过点C作CM⊥GB于点M,CN⊥GD交GD的延长线于点N,证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG=S四边形CMGN,易求后者的面积;
③过点F作FP∥AE交DE于点P,根据题意,得FP∶AE=DF∶DA=1∶3,则FP∶BE=1∶6=FG∶BG,即BG=6GF;
④因为点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合),且AE=DF,当点E,F分别是AB,AD的中点时,CG⊥BD;
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°.
【点悟】 本题难度较大,如果图形准确,通过测量猜测,再“蒙”出你的答案.试验一下.
如图22-2,边长为4的正方形ABCD内接于☉O,点E是AB上的一动点(不与A、B重合),点F是BC上的一点,连接OE,OF,分别与AB,BC交于点G,H,且∠EOF=90°,有下列结论:
图22-2
①AE=BF;
②△OGH是等腰直角三角形;
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化;
④△GBH周长的最小值为4+2.
其中正确的是 .
(把你认为正确结论的序号都填上).
第23计 解答中考试卷三大原则、八项注意
中考试卷里面的题目按难易度分,基本上可分为容易题、中档题、难题三类,这三类题目所占的比例大约是4∶5∶1或3∶5∶2,容易题和中档题占80%~90%,我们把这些题目叫做基础题.大量中考统计数据表明,决定学生中考数学成绩的绝对不是10%~20%的难题而是基础题,考试不怕题不会,就怕题做不好.攻下了基础题,考试基本成功,有了这个心理准备,就为难题的解决打下了良好的基础.一般情况下,选择题、填空题后1~2个题可能是难题,解答题的后1~2个题的第(2)或(3)问基本较难,其余的题目都可以认定为基础题.
为此解答中考试卷需要三大原则、八项注意.
一、三大原则:
原则1:面对中考试卷“前80%”,志在必得,细大不捐;“后20%”多多益善,失不足惜.
原则2:审题要慢而全.审题要慢就是指“宁停三分,不争一秒”,审题全面是指审题一不漏看题,二不看错题,三要审准题,四要看全题目的条件和结论.要提防陷阱、注意疏漏,多从概念、公式、法则、图形中去考查,尤其是考查是否有特例,考虑结论是否符合题意.
原则3:解题方法要优化,选择最佳方法解题.比如,选择题要按照一筛二代三特四直的顺序来选择解法;填空题要优先考虑特殊化法、图解法,最后考虑直接法.
二、八项注意:
1.遇到容易题,格外小心
易题,容易使人轻视,不注意题目的细微变化,不费思考顺手写来,可能铸成大错,所以有“容易题,容易错”的教训.题目对你容易,对别人也容易.
2.书写要规范
不仅要求解题步骤,而且演算步骤也要规范,在稿纸上的演算也要清楚,养成有步骤地表达所有信息的习惯,以备检验之需.如果平时心算练习不够,考场上不可以随意利用心算.
3.书写过程要仔细
在演算、解题过程中,常常会因为笔误而出现错误.如把一个加号写成后面将要进行运算的除号或少写符号、字母等,这主要是因为思维、书写不同步,或者思维超前、书写滞后,或者反之.
4.结果要规范
如分式要化成最简分式或整式;单项式、二次根式前的系数不要写成假分数;二次根式要化成最简二次根式等.
5.解题时要慢、准、稳,确保准确率
解题时,在容易产生错误的地方要特别小心谨慎,避免出现错误.如解不等式时,去分母不要漏乘单独的整式,系数化为1时,如果两边同除以负数,不等号的方向要改变;解分式方程要检验;应用题还要检验是否符合实际情况等.
6.注意不要丢掉单位
数学考试中特别是填空题和计算题需要写上单位,因为忘写单位而扣分屡见不鲜,也有错写单位的,如面积的单位是平方米错写成米.
7.卷面整洁
在解答试题时,要力求文字书写工整、简洁,尽量避免龙飞凤舞或涂抹等现象;绘制图形、表格切不可随意画,要使用绘图工具;几何题目要标出的符号及辅助线在图上要标出,作图题要按照要求画线.
8.在解答区域答题
要在试卷规定地方做答,不要超出每道题的解答区域.
第24计 解压轴题要瞻前顾后,各个击破
解压轴题时,如果直接、全面地解答所求问题有困难时,我们需要仔细观察每问之间的关系是相关还是无关,如果相关,后问的解答就要用到前问,那么前问的解答要尽量准确,否则前错必致后错;如果无关,那么我们答会答的内容,尽量抢分是我们矢志不渝的追求,这是我们瞻前顾后分步得分的秘密.
下面,通过解剖一个题目体会瞻前顾后分步得分的策略.
例 如图24-1,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),☉M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)则点A,B,C的坐标分别是A( , ),B( , ),C( , );
(2)设经过A,B两点的抛物线的解析式为y=14x-52+k,它的顶点为F.求证:直线FA与☉M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
图24-1
解:(1)如图24-2,连接MA,MC,设AB的中点为N.
图24-2
∵☉M与y轴相切于点C,∴MC⊥OC.
又由圆的轴对称性知MN⊥AB,
∴∠MNA=90°.
而∠CON=90°,∴四边形CONM是矩形,
∴MC=NO=5,MN=OC=4,
∴MA=MC=5.
在Rt△MNA中,∵MN2+AN2=MA2,
即42+AN2=52,解得AN=3,
∴OA=ON-AN=5-3=2.
又由垂径定理,得NB=AN=3,
∴OB=ON+NB=5+3=8,
∴点A(2,0),B(8,0),C(0,4).
(2)证明:将点A的坐标(2,0)代入y=14x-52+k中,得142-52+k=0,解得k=-94,∴y=14x-52-94,∴点F5,-94,
∴MF2=4-(-94)2=62516.
在Rt△ANF中,AF2=AN2+NF2=32+942=22516,AM2=25.
∵25+22516=62516,
∴AM2+AF2=MF2,
∴△AMF是直角三角形,且∠MAF=90°,
即MA⊥AF,∴直线FA与☉M相切.
(3)存在点P,使△PBC是等腰三角形.
如图24-3,设点P的坐标为(5,m)(m>0).
图24-3
∵点B(8,0),C(0,4),
∴BC2=OC2+OB2=42+82=80,
PB2=BN2+PN2=32+m2=9+m2,
PC2=MC2+PM2=52+(m-4)2=m2-8m+41.
①当BC=PB时,由BC2=PB2,得80=9+m2,解得m=±71.
其中,m=-71不合题意,舍去;
②当BC=PC时,由BC2=PC2,得80=m2-8m+41,解得m=4±55.
其中,m=4-55不合题意,舍去.
③当PB=PC时,由PB2=PC2,得9+m2=m2-8m+41,解得m=4.
综上,在抛物线的对称轴上,存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形,点P的坐标为(5,71)或(5,4+55)或(5,4).
【点悟】 (1)连接MC,MA,由切线的性质得出MC⊥y轴,MC=MA=5,OC=MN=4,得出点C的坐标;由MN⊥AB,得出NA=NB,∠MNA=90°,由勾股定理求出AN,得出BN,OA,OB,进而得出点A,B的坐标.
(2)把点A(2,0)代入抛物线的解析式得出k=-94,得出顶点F的坐标,得出NF,MF,由勾股定理得出AF2=22516,证出MA2+FA2=MF2,由勾股定理的逆定理证出∠MAF=90°,得出FA与☉M相切.
(3)由勾股定理求出BC2,PB2,PC2,分三种情况讨论:①BC=PB,即BC2=PB2;②BC=PC,即BC2=PC2;③PB=PC,即PB2=PC2.分别列方程求出m的值即可.
如图24-4①,直线y=-43x+n交x轴于点A,交y轴于点C(0,4),抛物线y=23x2+bx+c经过点A,交y轴于点B(0,-2).点P为抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线PD,过点B作BD⊥PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△BDP为等腰直角三角形时,求线段PD的长;
(3)如图24-4②,将△BDP绕点B逆时针旋转,得到△BD'P',且旋转角∠PBP'=∠OAC,当点P的对应点P'落在坐标轴上时,请直接写出点P的坐标.
图24-4
第25计 巧用整体思想,展现大智慧
整体思想是一种重要的数学思想,它抓住了数学问题的本质,是直接思维和逻辑思维的和谐统一.有些数学问题在解题过程中,如果按照常规解法运算较繁,而且容易出错;如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识,就能寻求捷径,从而准确、合理地解题.
例1 如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,那么代数式2n2-mn+2m+2015= .
[答案] 2026
[解析] 如果m,n是两个不相等的实数,且满足m2-m=3,n2-n=3,
那么m,n是关于x的一元二次方程x2-x=3的两根,
∴m+n=1,mn=-3,
∴2n2-mn+2m+2015
=2(n+3)-mn+2m+2015
=2(m+n)-mn+2015+6
=2026.
【点悟】 本题简捷求解的关键是充分利用根与系数的关系和根的概念得出m+n=1,mn=-3,n2=n+3,整体代入所求代数式求值.
一般情况下,求代数式的值的基本方法是先化简已知条件,然后把指定的字母的值代入求解,使用基本方法,思路简单,但运算烦琐且易出错.
已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
例2 如图25-1,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交弧AB于点E.以点O为圆心,OC的长为半径作弧CD交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 .
图25-1
图25-2
[答案] π12+32
[解析] 如图25-2,连接OE,AE,用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积,再减去S空白AEC,即可求出阴影部分的面积.
∵点C为OA的中点,∴∠CEO=30°,∠EOC=60°,
∴△AEO为等边三角形,∴S扇形AOE=60π×22360=23π,
∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-(S扇形AOE-S△COE)=90π×22360-90π×12360-23π-12×1×3
=34π-23π+32=π12+32.
【点悟】 (1)本题的求解着眼于整体,把不规则图形的面积整体把握,化为规则图形的面积的和或差,站在一定的高度上求解,给人以大气、豪迈的感觉.
(2)求解图中的阴影部分的面积的方法很多:求差法、分割法、割补法、等积法、整体法、特殊法、直接法等.
如图25-3,点A,B,C在☉O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为 ( )
图25-3
A. π-4 B.23π-1 C.π-2 D.23π-2
第26计 识别陷阱,防止中招
为了考查同学们思维的严谨性、科学性和逻辑性,中考试题中常常在数学概念,运算法则(定律)、公式、定理、性质的应用,解题步骤等方面设置一些陷阱,要识别中考试题中设置的陷阱,就要熟练、准确、全面、细致地掌握概念、法则、定理等基础知识,然后才能小心应付,细心解答.
例1 方程x(x-3)=x-3的解是 ( )
A.x=1 B.x=3
C.x=1或x=3 D.x=0
[解析]C 作为选择题,由于这个方程是一元二次方程,方程有根必定有两个根,即可选择C.代入验证可进一步确定选C.
有些同学采用直接求解,那就是小题大做.
移项,得x(x-3)-(x-3)=0,
合并同类项,得(x-3)(x-1)=0,
x-3=0或x-1=0,
x1=3,x2=1.答案尽管能求出,但耗时太多,造成了隐含失分.
【点悟】 (1)学生看到方程两边同时含有因式(x-3)立即约去,这就违反了等式的性质:等式两边同时除以一个不为0的数或整式,结果仍是等式.因为x-3可以等于0,因此我们必须移项,利用因式分解法求解.
(2)我们在解题过程中要特别注意运算法则、公式、定理、性质等成立的条件,防止生搬硬套、使用不当而中招失分.
方程x(x-5)=0的根是 ( )
A.x=0 B.x=5C.x1=0,x2=5 D.x1=0,x2=-5
例2 若关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
[答案] a>-94且a≠0
[解析] 由题意,得a≠0且Δ=32-4a×(-1)=9+4a>0,解得a>-94且a≠0.故答案为a>-94且a≠0.
【点悟】 本题的陷阱是一元二次方程二次项系数不等于0,不少同学中招,答案为a>-94,忽视a≠0这一条件.
已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足条件的最大整数时,求方程的根.
第27计 数学的基本策略——转化
转化思想是中学数学最基本的思想方法,称为转化与化归,也是最基本的思维策略.利用转化思想解题原则是化难为易,化生为熟,化繁为简,化抽象为直观.
初中阶段常见的转化:高次方程转化为低次方程、多元转化为一元,分式转化为整式,三角形与四边形的转化,空间与平面的转化,正面转化为反面,分散转化为集中,未知转化为已知,动转化为静,数与形、相等与不等之间的转化,实际问题与数学问题的转化等.
例 如图27-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=1,将其放入平面直角坐标系中,使A点与原点重合,AB在x轴上,△ABC沿x轴顺时针无滑动地滚动,点A再次落在x轴上时停止滚动.则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为 .
图27-1
图27-2
[答案] π+12
[解析] ∵∠C=90°,AC=BC=1,∴AB=12+12=2.根据题意得△ABC绕点B顺时针旋转135°,BC落在x轴上,△ABC再绕点C'顺时针旋转90°,AC落在x轴上,停止滚动(如图27-2).
∴点A的运动轨迹是先绕点B顺时针旋转135°,再绕点C'顺时针旋转90°,
∴点A经过的路线与x轴围成的图形的面积是一个圆心角为135°,半径为2的扇形的面积,加上△ABC的面积,再加上圆心角是90°,半径为1的扇形的面积,
∴点A经过的路线与x轴围成图形的面积=135×π×(2)2360+12×1×1+90×π×12360=π+12.
【点悟】 (1)本题把三角形滚动围成的面积问题转化为若干图形面积的和(差)来计算.
(2)将动态问题转化为静态问题也是处理动态问题的基本思路.
解分式方程:xx-1+21-x=4.
第28计 科学检验找失分
中考过程中,对解答问题进行检验也是不可缺少的一个环节,也是保证解题质量、抢得高分的重要手段.由于考试时间紧张,不可能做细致的解后检验,因此,我们首先提倡实时检验,即每写一步都要自问:各步推理、运算是否正确?有依据吗?各种变形是否符合运算律?书写是否有误?文字符号的使用是否恰当?力求把出现的问题消灭在萌芽状态.如分式方程就是实时检验的典型,一元二次方程的应用题也要对照已知条件实时检验.总之,这种检验方法与题同步,简便易行,效果极好.
另外,我们可以采用下面的检验方法.
一、特殊值代入检验法
例1 先化简,再求值:a2a-1+11-a·1a,其中a=-12.
解: 原式=a2a-1-1a-1·1a=a2-1a-1·1a=(a+1)(a-1)a-1·1a=a+1a.
当a=-12时,a+1a=-12+1-12=-1.
【点悟】 本题的关键步骤是由a2a-1+11-a·1a化简到a+1a.
二、观测估值法
例2 如图28-1,在正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB,ED,延长BE交AD于点F,若∠DEB=140°,则∠AFE的度数为 °.
图28-1
[答案] 65
[解析] 此题可以采用直接解法:∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠DCA=∠BCA.又∵CE=CE,∴△BEC≌△DEC,∴∠DEC=∠BEC=12∠DEB=70°,∴∠AEF=∠BEC=70°.∵∠DAC=45°,
∴∠AFE=180°-70°-45°=65°.
【点悟】 这个题目的答案是否正确,我们可以通过观察、估算、测量的方法来检验,比如用量角器就可以测量出来.这种根据我们平时生活经验的积累,或观察、估算、测量的方法来检验的方法叫做观测估值法.比如解题时算出人的行走速度为50 km/h,增长率是负数等,只要稍加观察就能判断是错误的.
将一张矩形纸片折叠成如图28-2所示的图形,若AB=6 cm,则AC= cm.
图28-2
第29计 “阅读题”文字越长,题目越简单
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频亮相,特别引起我们的重视.这类试题一般文字叙述较长,信息量大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样,既考查学生的阅读能力,又考查解新颖数学题型的能力.首先我们要解决的是由于这类问题文字叙述较长、信息量大导致的心里烦躁、畏难情绪,解题信心丧失的心理问题.我们要明白:一个数学问题文字越长,它透露的信息就越多,出题者就是怕你不明白,看不懂,才把问题讲得那么详细.大家切记,数学问题文字越长,题目相对来说就越容易,阅读理解题实际上都是“纸老虎”.
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的解题方法,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.
例
【发现】 如果∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图29-1①).
【思考】 如图29-1②,如果∠ACB=∠ADB=α(α≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?
如图29-1③,过A,B,C三点作圆,圆心为O.假设点D在☉O外,设AD交☉O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB.又由∠AEB是△BDE的一个外角,得∠AEB>∠ADB,因此∠ACB>∠ADB,这与条件∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D不在☉O外.
图29-1
请证明点D也不在☉O内.
【应用】
利用【发现】与【思考】中的结论解决问题:
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.
(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图29-2①),求证:DF是Rt△ACD的外接圆的切线;
(2)如图29-2②,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC.已知sin∠AED=25,AD=1,求DG的长.
图29-2
解:【思考】 证明:如图29-3①,过A,B,C三点作圆,圆心为O.假设点D在☉O内,设AD的延长线交☉O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB.又由∠ADB是△BDE的一个外角,得∠ADB>∠AEB,因此∠ADB>∠ACB,这与条件∠ACB=∠ADB矛盾,所以点D也不在☉O内.
图29-3
【应用】 (1)证明:如图29-3②,过A,D,C三点作圆,圆心为O,则CD为☉O的直径,且点E在☉O上.
∵∠CAD=90°,∴∠ACD+∠CDA=90°.
∵∠ACD=∠AED=∠ADF,
∴∠ADF+∠CDA=90°,即DF⊥OD.
又∵点D在☉O上,∴DF是☉O的切线,
即DF是Rt△ACD的外接圆的切线.
(2)如图29-3③,过A,D,C三点作圆,圆心为O,则CD为☉O的直径,且点E在☉O上.
∵∠BGE=∠BAC,即∠EAC=∠EGC,∴点G也在☉O上.∵CD为☉O的直径,∴∠CGD=90°.∵AD∥BC,∴∠ACG=∠CAD=90°,
∴四边形ACGD是矩形,∴AC=DG.
∵sin∠AED=25,
∴在Rt△ACD中,sin∠ACD=sin∠AED=25=ADCD,∴1CD=25,∴CD=52.
由勾股定理,得AC=CD2-AD2=(52) 2-12=212,
∴DG=AC=212,即DG的长为212.
【点悟】 本题综合考查了圆周角定理的推论、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识,熟练掌握性质定理是解题的关键.
本题文字较长,信息量大,需要解决的问题就有三个,学生看到这样的题目就会产生急躁、畏难情绪,从而导致解题信心丧失,这是解阅读理解题的大忌.
首先我们要耐心阅读,寻找关键词语,如:【发现】如果∠ACB=∠ADB=90°,那么点D在经过A,B,C三点的圆上(如图29-1①).有的阅读题涉及的知识不是直接来自于课本,但是问题的解决必定用到课本里我们熟悉的知识,只要我们能够找到和我们熟悉知识的联系,就建立了解题信心.
【思考】如图29-1②,如果∠ACB=∠ADB=α(α≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?材料中是如何证明的?反证法理解了吗?
其次,汇总信息,建立数模,根据前面的信息提炼分析,完成【思考】中的问题.假设点D在☉O内,利用圆周角定理的推论及三角形外角的性质,可证得与条件相矛盾的结论,从而证得点D不在☉O内.
最后,【应用】(1)作出Rt△ACD的外接圆,由【发现】可得点E在☉O上,则证得∠ACD=∠FDA,又因为∠ACD+∠ADC=90°,于是有∠FDA+∠ADC=90°,即可证得DF是圆的切线;
(2)根据【发现】和【思考】可得点G在过C,A,E三点的圆O上,进而易证四边形ACGD是矩形,根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长,即DG的长.
通过以上分析,阅读问题你还害怕吗?
[2016·南京] 如图29-4,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.类似地,我们可以认识其他函数.
(1)把函数y=1x的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍,横坐标不变,得到函数y=6x的图象;也可以把函数y=1x的图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=6x的图象.
(2)已知下列变化:①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度,③向右平移12个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的12倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.
(i)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数 的图象;
(ii)为了得到函数y=-14(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点 ( )
A.①→⑤→③ B.①→⑥→③
C.①→②→⑥ D.①→③→⑥
(3)函数y=1x的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-2x+12x+4的图象?(写出一种即可)
图29-4
第30计 设参法运用技巧——设而不求
参数是一种辅助变量,它在待求变量之间起到了纽带和桥梁的作用.在解决函数、方程、不等式、代数式求值和平面几何问题时,如果很多变量参与,不要畏难,大胆设参,而且不惧参数的多少,待求的问题必定柳暗花明又一村.
例 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=513,则tanA的值为 ( )
A.1213 B.512 C.1312 D.125
[解析] B ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=BCAB=513,∴设BC=5k,则AB=13k,
根据勾股定理可以求得AC=12k,
∴tanA=BCAC=5k12k=512.
【点悟】 利用三角函数的定义,把三角函数值转化成直角三角形的边的比值,由于涉及比例变形,所以借助于参数,可以避免在变形过程中,出现变形错误,同时使得计算迅速准确.
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=35,则sinB的值是 ( )
A.45 B.35 C.34 D.43
2. 若3a=4b=5c,求分式ab-bc+aca2+b2+c2的值.
第31计 明确解题目标,有的放矢
在解题过程中,面对已知条件,学生往往不知道解题方向,这是由于缺乏目标的定向作用所致.目标的定向作用在解题中的重要性不亚于航海的指南针,夜行的北斗星,行车的导航仪.解题过程中确定并紧盯解题目标,注重目标的定向作用,会使解题活动有的放矢.
例 如图31-1,公路MN与PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160 m.假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音影响?说明理由;如果受影响,且知拖拉机的速度为18 km/h,那么学校受影响的时间是多少秒?
图31-1
图31-2
解:学校受到噪音影响.理由如下:
过点A作AH⊥MN于点H,如图31-2,
∵PA=160 m,∠QPN=30°,
∴AH=12PA=80 m.
∵80 m<100 m,
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受到噪音影响.
以点A为圆心,100 m为半径作☉A交MN于点B,C(☉A省略不画),如图31-2,
∵AH⊥BC,
∴BH=CH.
在Rt△ABH中,AB=100 m,AH=80 m,
∴BH=AB2-AH2=60 m,
∴BC=2BH=120 m.
∵拖拉机的速度=18 km/h=5 m/s,
∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=1205=24(s),
∴学校受影响的时间为24 s.
【点悟】 此题不少学生不知道要干什么,也就是解题目标不明确,判断学校是否受到噪音影响,也就是以点A为圆心,100 m为半径作☉A,判断直线MN与☉A的位置关系,相交则会受到影响,相离则不受影响,相切则在一个时刻受到影响.可见解题目标很重要.
某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.
(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少?
(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数关系式;
(3)小英家5月份用水26吨,则她家应交水费多少元?
第32计 “饮马问题”模型功能
几何模型:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题:如图32-1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后,再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短?画出最短路径并说明理由.
图32-1
图32-2
如图32-2,从点A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取点A'使得A'D=AD,连接A'B,与河岸相交于点C,则点C就是饮马的地方.
此模型揭示了几何法求最值问题的秘密:“大”同“小”异求最值.“大”同指的是要求最大值一定是求差的最大值,这两个点就应该是在直线的同侧,不在同侧要通过对称转成同侧;“小”异指的是要求最小值一定是求和的最小值,这两个点就应该是在直线的异侧,不在异侧要通过对称转成异侧.
例 (1)如图32-3,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点,连接BD,由正方形的对称性可知,B与D关于直线AC对称,连接ED交AC于点P,则可知PB+PE的最小值是 ;
(2)如图32-4,☉O的半径为2,点A,B,C在☉O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
图32-3
图32-4
图32-5
(3)如图32-5,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q,R分别是OA,OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
解:(1)对照图形,利用AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴,不难得到PB+PE的最小值为5.
(2)如图32-6,延长AO交圆O于点A',连接A'C交OB于点P,对照基本图形,运用结论,可知PA+PC的最小值即A'C的长.
过点O作OH⊥A'C于点H,由∠AOC=60°,易得∠OCA'=∠OA'C=30°.
又∵OC=2,∴CH=3,
∵OH⊥A'C,∴A'C=2CH=23.
即PA+PC的最小值为23.
图32-6
图32-7
(3)如图32-7,分别作点P关于射线OA,OB的对称点C,D,连接QC,RD,OD,OC.
由对称可知QP=QC,RP=RD,OC=OP=OD=10,∠POQ=∠COQ,∠POB=∠DOB.
当C,Q,R,D四点共线时,PQ+QR+RP有最小值,即CD的长.因为∠AOB=45°,所以∠COD=90°.又因为OC=OD=10,所以CD=102.
即△PQR周长的最小值为102.
【点悟】 本例中的几个小题是同一种模型,求两条线段和的最小值的方法,即小“异”.
(1)(2)两问是在一个动点和两个定点的条件下,把求线段和最值问题放在特殊背景:正方形和圆中,然后利用这些特殊图形的性质,达到小“异”的目的;第(3)问是拓展求线段和最值问题,给出的条件是一个定点和两个动点.
1. 如图32-8,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小,则这个最小值为 ( )
图32-8
A.3 B.23 C.26 D.6
2. 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图32-9所示,顶点A(5,0),OB=45,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为 ( )
图32-9
A.(0,0) B.1,12 C.65,35 D.107,57
第33计 分类讨论,各个击破
分类讨论是重要的数学思想,中考试题中常常出现,也是设置陷阱常见问题.根据问题的不同情况分类求解,从而化整为零、化难为易、分而治之、各个击破,既能实现分步得分又能抢得高分.
引起分类讨论的因素主要有以下几个方面:
(1)由数的概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;
(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论;
(3)由于图形(点、直线、三角形、四边形、圆等)的不确定性引起的讨论;
(4)由于题目含字母而引起的讨论;
(5)方案设计中的分类讨论.
解答分类讨论问题的基本方法和步骤:首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围;其次确定分类标准,进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥;再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳总结,得出结论.
例 若关于x的函数y=mx2-4x+m+3的图象与坐标轴共有两个公共点,则m的值为 .
[答案] -4,-3,0,1
[解析] 分情况讨论:①当m=0时,y=-4x+3,其图象与坐标轴共有两个交点;
②当m≠0时,函数图象为抛物线,且与y轴总有一个交点(0,m+3),
i)若抛物线过原点,则m+3=0,即m=-3,此时Δ=16-4m(m+3)=-4(m-1)(m+4)>0,符合题意;
ii)若抛物线不经过原点,则此时Δ=-4(m-1)(m+4)=0,
解得m1=1,m2=-4.
综上所述,m的值可以是-4,-3,0,1.
【点悟】 本题是函数的概念的定性而引起的讨论.在解题过程中一定要注意由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论.
1. 已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为 .
2. 如图33-1,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上的一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B'处,过点B'作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,当点B'为线段MN的三等分点时,BE的长为 .
图33-1
第34计 中考考场答题时间巧安排
中考是争分夺秒的智力活动,它实际考查了统筹安排的能力,也考查了学生的大局观,是考生综合素质的体现.
1.拿到考卷后5分钟内一般不允许答题,考生应先在规定的地方写好姓名和准考证号,考试号,然后对试卷整体观察,看看这份试卷的名称是否正确,共多少页、页码顺序有无错误,每一页卷面是否清晰、完整,同时听好监考老师的要求.然后整体阅读试卷,试卷分几个部分,总题量是多少,有哪几种题型,哪些是基础题,哪些是中档题,哪些是难题或压轴题等.对全卷整体把握,便于尽早定下作战方案,对全卷各部分的难易程度和所需时间做大致评估,心中有数,以便灵活应答各题,力争做到“基础不丢分,中档多得分,难题能得分”.
2.科学合理地分配考试时间,可以按照题型自身特点和题目的难易度这样分配:选择题、填空题前80%的题目平均每题在2分钟左右,后面的题目平均每题在2.5分钟左右.解答题用80分钟左右,前80%的题目平均每题在8分钟左右,后面的题目平均每题在16分钟左右.
3.考场上发现时间不够用,考生无一例外紧张,但不能因为紧张就不知所措.这时考生需要调整紧张状态,可以这样安慰自己“我已经做了那么
多了,剩下的毕竟是少数,我做得慢,自然准确率就高.”“我来不及做的别人也来不及做.”然后再整体看一看还有几道题没做,按照先易后难,先分值高后分值低来做.最忌讳的安排是按顺序在一道题目上花大量时间去思考.
4.考试时间有多余的怎么办?这时不能东张西望,无所事事乃至得意洋洋“题目太简单了”,“大意失荆州”也是常事.这时需要进行检查,按照试卷页码、题目顺序逐条细心检查(有没有漏题,题目要求有没有看清,选择题各选项有没有看清).检查时需注意的几点:对那些做起来特别顺手的题会不会题目中有陷阱,答题时考虑了吗;对于不太有把握的题目能不能从其他角度考虑一下,看看答案是不是一样;试卷上的题目个数与答题卡是不是一致,会不会填错地方.
5.最后十五分钟的时间干什么?主要是检查题目是否遗漏,是否弄错了题意,是否抄错了什么,尽量减少失误,对疑似答案,尤其要注意检查.
第35计 中考考场思维断路怎么办
考场上,在紧张的氛围下,一般情况下考生会碰到熟知的知识但方法突然想不起来了,造成思维断路,该怎么办?
方法1:深呼吸,平静心态,不慌不乱,镇定自如,坦然面对;
方法2:重新审题,看是否有遗漏的条件;
方法3:换个角度,从与题目有关的题目开始回想,看是否能够提供可借鉴的信息,比如添加辅助线、图形变换、数形结合等;
方法4:暂时放弃,换另一道题,等情绪稳定、思路清晰时,再回过头来做.
图35-1
例 如图35-1,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与点A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.
(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;
(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.
解:(1)当△CDQ≌△CPQ时,DQ=PQ,CP=CD.
设AQ=x,则PQ=DQ=3-x,
在Rt△BCP中,PB=CP2-BC2=52-32=4,∴AP=1.
∴在Rt△APQ中,AQ2+AP2=PQ2,即x2+12=3-x2,解得x=43,即AQ=43.
(2)如图35-2,延长DM交BC于点R,连接PD,PR,
图35-2
易证△DMQ≌△RMC,∴DQ=CR,DM=MR,
∴AQ=BR,CQ=DR.
∵M为CQ的中点,PQ⊥CP,∴PM=QM=CM=DM=MR.∵MD⊥PM,∴△DPR和△PMD都是等腰直角三角形,
∴△DAP≌△PBR,∴AP=BR=2,
∴AQ=2.
【点悟】 第(2)题由于作图后,很多同学想直接利用勾股定理在Rt△APQ中求AQ,思路受阻,换个思路,如果延长DM交BC于点R,连接PD,PR,构造△DAP≌△PBR,△DPR和△PMD都是等腰直角三角形,把求AQ变成求AP=BR.
如图35-3,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD,BC于E,F(保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形,请说明理由.
图35-3
第36计 中考考场36计走为上
在考试过程中当我们使尽了35计,还是没有思路,无从下手,这个时候应该勇敢放弃,不要浪费时间.所谓“舍得,舍得,有舍才有得”,也就是“三十六计,走为上计”.然后用剩下的时间去解决能够解决的问题,去进行检验,这样我们才能有所得.
例 已知关于x的一元二次方程x2+2x+k-12=0有两个不相等的实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+k-12的图象交于A,B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标;
(3)将(2)中二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=12x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.
图36-1
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2x+k-12=0有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac=4-4×k-12>0,∴k<3.
∵k为正整数,∴k的值是1或2.
(2)把x=0代入方程x2+2x+k-12=0,得k=1,此时二次函数为y=x2+2x.
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x图象的交点为A(-2,0),B(1,3)(如图36-2①所示),
由题意可设点M(m,m+2),其中-2
当m=-12时,MN的长度最大,为94,此时点M的坐标为-12,32.
图36-2
(3)当直线y=12x+b过点A时,直线与新图象有三个公共点(如图36-2②所示),
把A(-2,0)代入y=12x+b,得b=1;
当直线y=12x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时,直线与新图象有三个公共点,由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称,∴其解析式为y=-x2-2x.
∴y=12x+b,y=-x2-2x有一组解,此时-x2-52x-b=0有两个相等的实数根,
则-522-4b=0,∴b=2516.综上所述,b=1或b=2516.
【点悟】 本题第(1)问容易得分,第(2)(3)问根据各自情况可以适当放弃,放弃也是获得.
如图36-3,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A(1,33),B(4,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形.若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求MNNC的值,并求出此时点M的坐标.
图36-3
参考答案
第2计 运算快而准的绝招
[针对训练][答案]3
第3计 因式分解的代数工具
[针对训练]
1.[答案]a(a+1)(a-1)
2.[答案]2(x-1)2
3.[答案]C
第4计 分式中常见的陷阱
[针对训练]
1.[答案]D
2.解:原式=x+1x·x(x+1)2=1x+1.
解方程x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2.
当x=-1时,原分式无意义.
∴当x=2时,原式=12+1=13.
第5计 列方程解应用题的关键
[针对训练]
解:(1)设第一批衬衫每件进价是x元,则第二批每件进价是(x-10)元.
根据题意可得:4500x×12=2100x-10,
解得:x=150,
经检验x=150是原方程的解,
150-10=140(元).
4500150=30(件),2100140=15(件),
答:第一次购进衬衫30件,第二次购进衬衫15件.
(2)设第二批衬衫每件售价为y元,根据题意可得:
30×(200-150)+15(y-140)≥1950,
解得:y≥170,
答:第二批衬衫每件至少要售170元.
第6计 如何快速准确解一元二次方程
[针对训练]
解:(1)方程两边同除以2,得x2+52x+32=0,
移项,得x2+52x=-32,
配方,得x2+52x+542=-32+542,
x+542=116,
x+54=14或x+54=-14,
x1=-1,x2=-32.
(2)原方程可化为:x2-6x-4=0,
∵a=1,b=-6,c=-4,
∴x=-b±b2-4ac2a=6±36-4×1×(-4)2×1=6±522,
∴x1=3+13,x2=3-13.
第7计 借助数轴解含参不等式(组)
[针对训练]
1.[答案]2
第8计 “一次函数与一次方程”牵手
[针对训练]
1.[答案](1)y=-2x+2 (2)-1
[针对训练]
[答案]2
第10计 “用函数观点看一元二次方程”的妙用
[针对训练]
[答案]C
第11计 庖丁解牛破解二次函数综合题
[针对训练]
解:(1)∵抛物线顶点坐标为(1,1),
∴设抛物线解析式为y=a(x-1)2+1,
又抛物线过原点,
∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴抛物线解析式为y=-(x-1)2+1,
即y=-x2+2x,
联立抛物线和直线解析式可得y=-x2+2x,y=x-2,
解得x=2,y=0或x=-1,y=-3,
∴B(2,0),C(-1,-3).
(2)证明:如图,分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于D,E两点,
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(3)假设存在满足条件的点N,
设N(x,0),则M(x,-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|,
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中,可分别求得AB=2,BC=32,
∵MN⊥x轴于点N,
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB,
①当MNAB=ONBC时,
则有|-x2+2x|2=|x|32,
即|x||-x+2|=13|x|,
∵当x=0时M,O,N三点不能构成三角形,
∴x≠0,∴|-x+2|=13,
即-x+2=±13,
解得x=53或x=73,
此时N点坐标为53,0或73,0;
②当MNBC=ONAB时,
则有|-x2+2x|32=|x|2,
即|x||-x+2|=3|x|,
∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,
解得x=5或x=-1,
此时N点坐标为(-1,0)或(5,0),
综上可知存在满足条件的N点,其坐标为53,0或73,0或(-1,0)或(5,0).
第12计 “三数”“四图”定统计
[针对训练]
1.[答案]B
2.[答案]B
第13计 善用“图表”求概率
[针对训练]
解:(1)∵掷一次骰子有4种等可能结果,只有掷得4时,才会落回到圈A,
∴P1=14.
(2)列表如下:
第1次
第2次
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
所有等可能的情况共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可落回到圈A,共4种.
∴P2=416=14.而P1=14,∴一样.
第14计 巧构等腰三角形妙解题
[针对训练]
证明:过E作EF∥AB交BC的延长线于F.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∵EF∥AB,
∴∠F=∠B,
∵∠ACB=∠FCE,
∴∠F=∠FCE,
∴CE=EF,
∵BD=CE,
∴BD=EF,
在△DBG与△EFG中,
∠DGB=∠EGF,∠B=∠F,BD=EF,
∴△DGB≌△EGF(AAS),
∴GD=GE.
第15计 边定全等,角定相似
[针对训练]
解:(1)①证明:如图,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵AB=AD,∠1=∠2,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
②证明:∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴BFFE=CHHE=1,
∴BF=EF.
(2)结论仍然成立,理由:
如图,过E作MN∥AH,分别交BA、CD的延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵∠2=∠CAD,AE=AC,∠3=∠ACH,
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,∴AB=AM,
∵AF∥ME,∴BFEF=ABAM=1,
∴BF=EF.
第16计 测量高度办法多
[针对训练]
解:设DH=x米,
∵∠CDH=60°,∠H=90°,
∴CH=DH·tan60°=3x,
∴BH=BC+CH=2+3x,
∵∠A=30°,
∴AH=3BH=23+3x,
∵AH=AD+DH,
∴23+3x=20+x,
解得x=10-3,
∴BH=2+3(10-3)=103-1≈16.3(米).
答:立柱BH的长约为16.3米.
第17计 “四边形”化归为“三角形”
[针对训练]
解:(1)结论AE=EF=AF.
理由:如图①,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°.
∵BE=EC,∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,∴AE=AF(菱形的高相等),
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)证明:如图②,连接AC,
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,∠BAE=∠CAF,BA=AC,∠B=∠ACF,
∴△BAE≌△CAF,∴BE=CF.
(3)如图③,过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在Rt△AGB中,
∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=2,AG=23,
在Rt△AEG中,
∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=23,
∴EB=EG-BG=23-2,
∵△AEB≌△AFC,
∴AE=AF,EB=CF=23-2,∠AEB=∠AFC=45°,
∵∠EAF=60°,AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=∠AFE=60°.
∵∠AEB=45°,∠AEF=60°,
∴∠CEF=∠AEF-∠AEB=15°,
在Rt△EFH中,∠CEF=15°,
∴∠EFH=75°,
∵∠AFE=60°,
∴∠AFH=∠EFH-∠AFE=15°,
∵∠AFC=45°,
∴∠CFH=∠AFC-∠AFH=30°,
在Rt△CHF中,
∵∠CFH=30°,CF=23-2,
∴FH=CF·cos30°=(23-2)·32=3-3.
∴点F到BC的距离为3-3.
第18计 七条辅助线让你轻松搞定圆
[针对训练]
解:(1)证明:如图①,连接AD,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴AB为☉O的直径.
(2)DE与☉O相切.
证明:如图①,连接OD,
∵O,D分别为AB,BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∵OD为☉O的半径,
∴DE与☉O相切.
(3)∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=6,
设AC与☉O相交于点F,连接BF,如图②,
∵AB为☉O的直径,
∴∠AFB=∠DEC=90°,
∴AF=CF=3,DE∥BF,
∵D为BC中点,
∴E为CF中点,即DE为△BCF的中位线,
在Rt△ABF中,AB=6,AF=3,
根据勾股定理得BF=62-32=33,
则DE=12BF=332.
第19计 图形变换中的变与不变
[针对训练]
解:(1)证明:∵D,F关于直线AE对称,
∴DE=EF①,AD=AF,
∠DAE=∠FAE=α,
∴∠DAF=2α=∠BAC,
又∵AB=AC,AD=AF,
∴△ADF∽△ABC.
(2)证明:∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
又AB=AC,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF②,
∠ACF=∠ABD=45°,
∴∠ECF=90°.
在Rt△ECF中,结合①②得
DE2=EC2+BD2.
(3)成立.理由:将△CAE顺时针旋转90°,得△BAF,连接DF.
则BF=CE③,AF=AE.
∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
∴DF2=BF2+BD2④.
由旋转的性质,得∠BAF=∠CAE,
∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,
∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,又AF=AE,AD为公共边,
∴△DAF≌△DAE,
∴DF=DE⑤.
将③⑤代入④式,
得DE2=BD2+CE2.
第20计 审题需要咬文嚼字寻找突破口
[针对训练]
[答案](1,3)
第21计 解选择题的四种方法
例1 [针对训练]
[答案]C
例2 [针对训练]
[答案]C
第22计 “蒙”也是本领
[针对训练]
[答案]①②
第24计 解压轴题要瞻前顾后,各个击破
[针对训练]
解:(1)由直线y=-43x+n过点C(0,4),
得n=4,则y=-43x+4.
当y=0时,得-43x+4=0,解得x=3,
∴点A坐标是(3,0).
∵抛物线y=23x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,-2),
∴0=23×32+3b+c,-2=c,解得b=-43,c=-2.
∴抛物线的解析式是y=23x2-43x-2.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴Pm,23m2-43m-2,D(m,-2),
若△BDP为等腰直角三角形时,则PD=BD.
①当点P在直线BD上方时,PD=23m2-43m-2+2=23m2-43m,
(ⅰ)若P在y轴左侧,则m<0,BD=-m,
∴23m2-43m=-m,
解得m=12(舍去)或m=0(舍去);
(ⅱ)若点P在y轴右侧,则m>0,BD=m.
∴23m2-43m=m,
解得m=72或m=0(舍去).
②当点P在直线BD下方时,m>0,BD=m,PD=-2-23m2-43m-2=-23m2+43m.
∴-23m2+43m=m,解得m=12或m=0(舍去).
综上所述,m=72或m=12.
即当△BDP为等腰直角三角形时,PD的长为72或12.
(3)P1-5,45+43,P25,-45+43,P3258,1132.
第25计 巧用整体思想,展现大智慧
例1 [针对训练]
[答案]18
例2 [针对训练]
[答案]C
第26计 识别陷阱,防止中招
例1 [针对训练][答案]C
例2 [针对训练]
解:(1)根据题意,得m-2≠0且Δ=4m2-4(m-2)(m+3)>0,
解得m<6且m≠2.
(2)m满足条件的最大整数为5,则原方程化为3x2+10x+8=0,
解得x1=-43,x2=-2.
第27计 数学的基本策略——转化
[针对训练]
[答案]23
第28计 科学检验找失分
[针对训练]
[答案]6
第29计 “阅读题”文字越长,题目越简单
[针对训练]
解:(1)6,6
(2)(ⅰ)y=4(x-1)2-2
(ⅱ)D
(3)本题答案不唯一,下列解法供参考.例如,
y=-2x+12x+4=-2x+4-32x+4=32x+4-1=32·1x+2-1.
先把函数y=1x的图象上所有的点向左平移2个单位长度,得到函数y=1x+2的图象;再把函数y=1x+2的图象上所有的点的纵坐标变为原来的32倍,横坐标不变,得到函数y=32x+4的图象;最后把函数y=32x+4的图象上所有的点向下平移1个单位长度,得到函数y=-2x+12x+4的图象.
第30计 设参法运用技巧——设而不求
[针对训练]
1.[答案]A 2.[答案]750
第31计 明确解题目标,有的放矢
[针对训练]
解:(1)∵每吨水的政府补贴优惠价为m元,市场价为n元,
∴由题意可列方程组:
14m+(20-14)n=49,14m+(18-14)n=42,
解得:m=2,n=3.5,
答:每吨水的政府补贴优惠价为2元,市场价为3.5元.
(2)当0≤x≤14时,y=2x;
当x>14时,y=14×2+(x-14)×3.5=3.5x-21,
故所求函数关系式为:y=2x(0≤x≤14),3.5x-21(x>14).
(3)∵26>14,
∴小英家5月份水费为3.5×26-21=70(元),
答:小英家5月份水费为70元.
第32计 “饮马问题”模型功能
[针对训练]
1.[答案]B 2.[答案]D
第33计 分类讨论,各个击破
[针对训练]
1.[答案]19或21或23
2.[答案]322或355
第35计 中考考场思维断路怎么办
[针对训练]
解:(1)图形如下:
(2)四边形BEDF是菱形.
理由:∵EF垂直平分BD,
∴BE=DE,BF=DF,∠DEF=∠BEF,
∵AD∥BC,
∴∠DEF=∠BFE,
∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF.
又∵BF=DF,
∴BE=ED=DF=BF,
∴四边形BEDF是菱形.
第36计 中考考场36计走为上
[针对训练]
解:(1)因为点A(1,33),B(4,0)在抛物线y=mx2+nx上,
所以m+n=33,16m+4n=0,
解得m=-3,n=43,
所以抛物线的解析式为y=-3x2+43x.
(2)存在三个点满足题意.
当点D在x轴上时,如图,过点A作AD⊥x轴于点D,
因为点A1,33,
所以D点坐标为1,0.
当点D在y轴上时,设点D0,d,则:
AD2=1+33-d2,BD2=42+d2,
AB2=4-12+332=36.
因为△ABD是以AB为斜边的直角三角形,
所以AD2+BD2=AB2,
即1+33-d2+42+d2=36,
解得:d=33±112,
所以D点坐标为0,33+112,0,33-112.
综上知:存在三个点满足题意,其坐标分别为
1,0、0,33+112、0,33-112.
(3)如图,过点P作PF⊥CM于点F,
因为PM∥OA,所以Rt△ADO∽Rt△MFP,
所以MFPF=ADOD=33,所以MF=33PF,
在Rt△ABD中,BD=3,AD=33,
所以tan∠ABD=3,
所以∠ABD=60°,设BC=a,则CN=3a,
在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,
因为tan∠PNF=PFFN=33,
所以FN=3PF.
所以MN=MF+FN=43PF,
因为△BCN、△PMN的面积满足S△BCN=2S△PMN,
所以32a2=2×12×43PF2,
所以a=22PF,
所以MNNC=43PF3a=2,
所以MC=MN+NC=6+3a.
因为点M4-a,6+3a在抛物线y=-3x2+43x上,
所以-34-a2+434-a=6+3a,
所以a=3-2或a=0(舍去),
所以OC=4-a=2+1,MC=26+3,
所以点M的坐标为2+1,26+3.
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