【数学】甘肃省武威第六中学2019-2020学年高二下学期第一次学段考试（期中）（理）

甘肃省武威第六中学2019-2020学年

高二下学期第一次学段考试（期中）（理）

一、选择题（每小题只有一个正确的选项，共12小题，计60分。）

1．是(    )

 A．实数 B．虚数 C．0 D．1

2．用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1-300编号，按编号顺序平均分组.若第16组应抽出的号码为232，则第一组中抽出的号码是(    )

 A．5 B．6  C．7 D．8

3．若实数的取值如表，从散点图分析，线性相关，且回归方程为，则m=(    )

 A．17 B．16.2 C．16 D．15

4．如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是(    )

 A．，甲比乙成绩稳定      B．，乙比甲成绩稳定

 C．，甲比乙成绩稳定       D．，乙比甲成绩稳定

5．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为(    )

 A． B． C． D．

6．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为(    )

 A．900 B．1000 C．90 D．100

7．在集合M＝{x|0<x≤4}中随机取一个元素，恰使y＝log2x大于1的概率为(　　)

 A．1 B． C． D．

8．已知函数在上不单调，则的取值范围是(    )

 A． B． C． D．

9．已知函数若直线过点,且与曲线相切,则直线的方程为(    )

 A． B． C． D．

10．已知函数（）只有一个零点，则a的取值范围为(    )

A． B． C． D．

11．如图,阴影部分的面积是(    )

 A． B． 

 C． D．

12．已知函数 若对恒成立则实数a的取值范围为(    )

 A． B． C． D．

二、填空题（请将运算结果填在横线上。每小题5分，共计20分。）

13．           

14．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是               

15．在区间上随机选取两个数和，则满足的概率为             

16．若函数的图像与轴有三个不同的交点，则实数的取值范围是           

二、解答题

17．（10分）已知函数的图象在处的切线方程为

（1）求函数的解析式；     

（2）求函数在上的最值.

18．（12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取人做调查，得到列联表：

且已知在个人中随机抽取人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，是否有的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由.

附：（其中）和临界值表：

19．（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的频率分布直方图.

（1）求直方图中的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计年的销售量.

20．（12分）已知函数（为常数）．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性．

21．（12分）已知数列的前项和为，且满足，

（1）求，，，并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．

22．（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

参考答案

一、选择题答案：

13．【解析】由题意，可知，故答案为.

14.【解析】三件正品记为，一件次品记为，任取两件的所有可能为：，，，，，共6种，其中两件都是正品的有，，共3种，所求概率为．  故答案为．

15．概率为几何概型，如图，满足的概率为

16．，所以当和时，，单调递增，当时，，单调递减，极大值，极小值，的图像与轴有三个不同的交点，所以，得

17．（1）由题意得，

在处的切线方程为，

∴  ，即，

解得．∴ 函数的解析式为．

（2）由（1）得，

∴ 当时，单调递增， 

当时，单调递减.

∴  当时，有极大值，且极大值为．

又，

∴  在上的最小值为，最大值为．

18．（1）因为在人中随机抽取人喜欢游泳的概率为.

所以喜欢游泳的人数为，所以列联表如下：

（2），所以有的把握认为“喜欢游泳与性别有关系”.

19．（1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为，

则，解得，

由于，因此，销量的中位数为；

（2）由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为（万台），有万台

由此预测年的销售量为68万台.

20．【详解】

（1）当时，，则切线的斜率．

又，所以切线方程为，即．

（2），，

当时，由解得，即当时，，单调递增，

由解得，即当时，，单调递减，

当时，，即在上单调递增，

当时，，故，即在上单调递增，

综上:当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，在上单调递增.

21．【解析】
（2）检验时等式成立，假设时命题成立，证明当时命题也成立即可.

【详解】

（1），当时，，且，

于是，从而可以得到，，猜想通项公式；

（2）下面用数学归纳法证明：．

①当时，满足通项公式；

②假设当时，命题成立，即，

由（1）知，，即证当时命题成立.

由①②可证成立．

22.（1）当时，,

令，得.

所以，极大值=； 极大值

（2）当时，恒成立，,

等价于当时，， 即，因为，

所以， 令=，，  =－,

则，    因此，即.