【数学】安徽省安庆市怀宁县第二中学2019-2020学年高二下学期期中线上检测（理）

安徽省安庆市怀宁县第二中学2019-2020学年

高二下学期期中线上检测（理）

一、    选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.设y＝e3，则y′等于(　　)

A．3e2               B．0            C．e2           D．e3

2.复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i（aR）对应的点在虚轴上，则(　　)

A．a≠2或a≠1      B．a≠2且a≠1

C．a＝0      D．a＝2或a＝0

3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适(　　)

A．三角形     B．梯形         C．矩形  D．平行四边形

4.设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)

A．必有f′(x0)＝0      B．f′(x0)不存在

C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在   D．f′(x0)存在但可能不为0

5.已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2020(x)等于(　　)

A．sinx    B．－sinx   C．cosx  D．－cosx

6.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)

A．R　　    B．2R　　　       C.R　   D.R

7．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　)

A.               B．△             C．▭         D．○

8.一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向， 从x＝1运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为(　　)

A．8J　　        B．10J　　　      C．12J　　 D．14J

9.函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是(　　)

A.和  B.和

C.和 D.和

10.已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

11.已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c(　　)

A．有最大值    B．有最大值－    C．有最小值   D．有最小值－

12.设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　)

A．f(x)g(x)>f(b)g(b)     B．f(x)g(b)>f(b)g(x)

C．f(x)g(a)>f(a)g(x)     D．f(x)g(x)>f(a)g(x)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.如果，则实数m的值为________．

14.设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范

围为________________________

15.=____________

16.函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2在区间上的最大值与最小值之和为_________________

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17（本大题10分）已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．

18.（本大题12分）已知函数f(x)＝x3－2x及y＝f(x)上一点P(1，－1)，过点P作直线l.使直线l和y＝f(x)相切。求直线l的方程

19（本大题12分）(1)已知数列{an}通项公式为an=,写出数列前5项

（2）记数列13,23,33,43,53，……,n3,…的前n项和为Sn。写出Sn的前5项并归纳出Sn的计算公式。

（3）选择适当的方法对（2）中归纳出的公式进行证明。

20（本大题12分）如图所示，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

21（本大题12分）已知函数f(x)＝ax＋(a>1)

(1)判断f(x)在(－1，＋∞)上的单调性并证明；

(2)用适当的方法证明方程f(x)＝0没有负根．

22（本大题12分）已知函数f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求证：当x>1时，x2＋lnx<x3.

参考答案

一．选择题（每题5分，总计60分）

二．填空题（每题5分，总计20分）

13. 2    14.  15.    16.

三．解答题（总计70分）

17.解：∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①……………2分

  又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②……………5分

  而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx

  取F(x)＝ax3＋bx2＋cx

  则F′(x)＝ax2＋bx＋c

∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③…………10分

解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4……………………12分

18.解：由题意知，P点在在线l上。

  （1）当切点为P点时，∵∴，直线l的斜率k=

  ∴此时直线l的方程为y+1=x-1,即x-y-2=0…………4分

  （2）当P点不为切点时，可设切点坐标为（x0,y0）（x0≠1）则此时直线l的

  斜率k=又∵k= ∴

   ∵y0=x03-2x0  ∴可解得∴k=

   ∴此时直线l的方程为

   即5x+4y-1=0                        …………………12分

19.解：（1）1,3,6,10,15        ………………2分

  （2）1,9,36,100,225       ……5分

  （3）证明：当n=1时，Sn=1,显然等式成立。

   假设n=k时，等式成立，即有

   则当n=k+1时有

   =

   ==

  ∴当n=k+1时，等式也成立。所以原等式成立，归纳公式正确。……12分

20.解：　设箱子的底边长为x cm，则箱子高h＝ cm.

箱子容积V＝V(x)＝x2h＝(0<x<60)．…………3分

求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x2＝0，

解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40………………………6分

当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：

因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．

将x＝40代入V(x)

得最大容积V＝402×＝16 000(cm3)．……………11分

所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，

最大容积为16 000 cm3.  ………………………………….12分

21.解：（1）函数在区间(－1，＋∞)上单调递增…………2分

证明如下：

任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，

∵a>1，∴ax2－x1>1，且ax1>0，

∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax1>0，

又∵x1＋1>0，x2＋1>0.

∴－＝

＝>0.

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．……………6分

(2)假设存在x0<0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0.

①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，

∴f(x0)<－1与f(x0)＝0矛盾

②若x0<－1，则>0，ax0>0，

∴f(x0)>0与f(x0)＝0矛盾．

故方程f(x)＝0没有负数根．……………………………12分

22.解：(1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}，

∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0，

∴f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．……………………4分

(2)设g(x)＝x3－x2－lnx，

∴g′(x)＝2x2－x－，

∵当x>1时，g′(x)＝>0，

∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数，

∴g(x)>g(1)＝>0，

∴当x>1时，x2＋lnx<x3.   ……………………..12分