【数学】黑龙江省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
展开黑龙江省实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：
Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为（）
A． B．2 C．4 D．5
2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A． B． C． D．
3．某校高三共有学生1000人，该校高三学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图所示，则该校高三学生在本次考试中数学成绩在分的人数为（ ）
A．30人 B．300人 C．10人 D．100人
4．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）
A．66 B．33 C．16 D．8
5．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ）
A． B． C． D．不确定
6．一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当且时称为“凹数”；若，且a，b，c互不相同，则“凹数”的个数为（ ）.
A．20 B．36 C．24 D．30
7．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）
A．3，5 B．7，5 C．5，7 D．5，3
10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）
A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强
12．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ）
A． B． C． D．
Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为______.
14．若展开式中的系数为，则展开式中的常数项是__________(用数字作答)
15．甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为．如果比赛采用“五局三胜”制，求甲以获胜的概率______
16．某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的可能取值为______，并求X的均值（即数学期望）为______.
三、解答题（本大题共6题，共70分）
17．（10分）
计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
18．（12分）
设离散型随机变量的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 |
求：（1）的分布列；
（2）求的值.
19．（12分）
全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%．影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素．学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视．除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：
（1）写出这组数据的众数和中位数；
（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．
①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；
②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率．若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望．
20．（12分）
2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间内）绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）试求被测验大学生得分的中位数（保留到整数）；
（2）若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”，现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.
①求所抽取的3人不属于同一组的概率；
②记这3人中，为测试成绩在内的人数，求的分布列和数学期望.
21．（12分）
端午节（每年农历五月初五），是中国传统节日，有吃粽子的习俗.某超市在端午节这一天，每售出kg粽子获利润元，未售出的粽子每kg亏损元.根据历史资料，得到销售情况与市场需求量的频率分布表，如下表所示.该超市为今年的端午节预购进了kg粽子.以（单位：kg，）表示今年的市场需求量，（单位：元）表示今年的利润.
市场需求量（kg） | |||||
频率 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.15 |
（1）将表示为的函数；
（2）在频率分布表的市场需求量分组中，以各组的区间中间值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率），求的数学期望.
22．（12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:
年入流量 |
|
|
|
发电量最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
参考答案
1．C2．B3．B4．A5．A6．A7．D8．C9．D10．C11．D12．B
13． 14．13 15． 16．1，2，3
17．（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
18．（1）由分布列的性质知：，解得
（1）由题意可知
，，
，
所以的分布列为：
1 | 3 | 5 | 7 | 9 | |
0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
（2）
19．（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①②见解析，
（1）由题意知众数为4.6和4.7，
中位数为．
（2）①设事件，表示“所选3名学生中有名是‘好视力’”，设事件表示“至少有2名学生是好视力”．
则
②因为这16名学生中是“好视力”的频率为，所以该地区学生中是“好视力”的概率为．
由于该地区学生人数较多，故近似服从二项分布．
，
，
，
，
所以的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
的数学期望为．
20．（1）（2）①②见解析，1.2
（1）由频率分步直方图可知，
第一组的频率为0.08，第二组的频率为0.16，第三组的频率为0.36，
由于，而，
∴这组数据的中位数在第三组，即.
∴被测验大学生得分的中位数约为77分；
（2）认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，
根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人、4人.
①从10人中任选3人，有种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有，
故所抽取的3人不属于同一组的概率为；
②由条件可得的取值可能有0，1，2，3，且，，
，
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
∴的数学期望为.
21．（1）（2）
（1）当时，；
当时，.
所以
（2）依题意可得的分布列为
420 | 500 | 580 | 660 | 700 | |
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.25 | 0.15 |
所以.
22．（1）0.9477；（2）8620, 2.
（1）依题意，，
，，
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：
.
（2）记水电站年总利润为（单位：万元）
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润，.
②安装2台发电机.
当时，一台发电机运行，此时，
因此，
当时，两台发电机运行，此时，
因此.由此得的分布列如下：
| 4200 | 10000 |
0.2 | 0.8 |
所以.
③安装3台发电机.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
此时，
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此得的分布列如下：
| 34 | 9200 | 15000 |
| 0.2 | 0.8 | 0.1 |
所以.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
