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2021年高考一轮复习题组训练 物理（湖南省专用）专题十一 电磁感应（含答案）
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专题十一 电磁感应
【高考题组】
A组 基础题组
1.(2019课标Ⅲ,14,6分)楞次定律是下列哪个定律在电磁感应现象中的具体体现?( )
A.电阻定律 B.库仑定律
C.欧姆定律 D.能量守恒定律
答案 D
2.(2018课标Ⅰ,19,6分)(多选)如图,两个线圈绕在同一根铁芯上,其中一线圈通过开关与电源连接,另一线圈与远处沿南北方向水平放置在纸面内的直导线连接成回路。将一小磁针悬挂在直导线正上方,开关未闭合时小磁针处于静止状态。下列说法正确的是( )
A.开关闭合后的瞬间,小磁针的N极朝垂直纸面向里的方向转动
B.开关闭合并保持一段时间后,小磁针的N极指向垂直纸面向里的方向
C.开关闭合并保持一段时间后,小磁针的N极指向垂直纸面向外的方向
D.开关闭合并保持一段时间再断开后的瞬间,小磁针的N极朝垂直纸面向外的方向转动
答案 AD
3.(2015课标Ⅰ,19,6分)(多选)1824年,法国科学家阿拉果完成了著名的“圆盘实验”。实验中将一铜圆盘水平放置,在其中心正上方用柔软细线悬挂一枚可以自由旋转的磁针,如图所示。实验中发现,当圆盘在磁针的磁场中绕过圆盘中心的竖直轴旋转时,磁针也随着一起转动起来,但略有滞后。下列说法正确的是( )
A.圆盘上产生了感应电动势
B.圆盘内的涡电流产生的磁场导致磁针转动
C.在圆盘转动的过程中,磁针的磁场穿过整个圆盘的磁通量发生了变化
D.圆盘中的自由电子随圆盘一起运动形成电流,此电流产生的磁场导致磁针转动
答案 AB
4.(2015重庆理综,4,6分)图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图,线圈匝数为n,面积为S。若在t1到t2时间内,匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈,其磁感应强度大小由B1均匀增加到B2,则该段时间线圈两端a和b之间的电势差 φa-φb( )
A.恒为 nS(B2-B1)t2-t1 B.从0均匀变化到 nS(B2-B1)t2-t1
C.恒为 -nS(B2-B1)t2-t1 D.从0均匀变化到 -nS(B2-B1)t2-t1
答案 C
5.(2017天津理综,3,6分)如图所示,两根平行金属导轨置于水平面内,导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小,ab始终保持静止,下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
答案 D
6.(2017课标Ⅱ,20,6分)(多选)两条平行虚线间存在一匀强磁场,磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内,cd边与磁场边界平行,如图(a)所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动,cd边于t=0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图(b)所示(感应电流的方向为顺时针时,感应电动势取正)。下列说法正确的是( )
A.磁感应强度的大小为0.5 T
B.导线框运动速度的大小为0.5 m/s
C.磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D.在t=0.4 s至t=0.6 s这段时间内,导线框所受的安培力大小为0.1 N
答案 BC
7.(2015课标Ⅱ,15,6分)如图,直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时,a、b、c三点的电势分别为Ua、Ub、Uc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A.Ua>Uc,金属框中无电流
B.Ub>Uc,金属框中电流方向沿a-b-c-a
C.Ubc=-12Bl2ω,金属框中无电流
D.Uac=12Bl2ω,金属框中电流方向沿a-c-b-a
答案 C
B组 综合题组
1.(2019课标Ⅰ,20,6分)(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场,其边界如图(a)中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S,将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内,圆心O在MN上。t=0时磁感应强度的方向如图(a)所示;磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示。则在t=0到t=t1的时间间隔内( )
A.圆环所受安培力的方向始终不变
B.圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C.圆环中的感应电流大小为B0rS4t0ρ
D.圆环中的感应电动势大小为B0πr24t0
答案 BC
2.(2019课标Ⅱ,21,6分)(多选)如图,两条光滑平行金属导轨固定,所在平面与水平面夹角为θ,导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直,在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放,两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零。从PQ进入磁场开始计时,到MN离开磁场区域为止,流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( )
答案 AD
3.(2019课标Ⅲ,19,6分)(多选)如图,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t=0时,棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直并接触良好,两者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是( )
答案 AC
4.(2018课标Ⅱ,18,6分)如图,在同一水平面内有两根平行长导轨,导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域,区域宽度均为l,磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为32l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
答案 D
5.(2015福建理综,18,6分)如图,由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A.PQ中电流先增大后减小
B.PQ两端电压先减小后增大
C.PQ上拉力的功率先减小后增大
D.线框消耗的电功率先减小后增大
答案 C
6.(2019天津理综,11,18分)如图所示,固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨,垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R,两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连,线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场,磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。PQ的质量为m,金属导轨足够长、电阻忽略不计。
(1)闭合S,若使PQ保持静止,需在其上加多大的水平恒力F,并指出其方向;
(2)断开S,PQ在上述恒力作用下,由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q,求该过程安培力做的功W。
答案 (1)Bkl3R 方向水平向右
(2)12mv2-23kq
C组 提高题组
1.(2017上海单科,20,16分)如图,光滑平行金属导轨间距为L,与水平面夹角为θ,两导轨上端用阻值为R的电阻相连,该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动,然后又返回到出发位置。在运动过程中,ab与导轨垂直且接触良好,不计ab和导轨的电阻及空气阻力。
(1)求ab开始运动时的加速度a;
(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况;
(3)分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短。
答案 本题考查电磁感应、闭合电路欧姆定律。动力学分析、能量转化与守恒定律。
(1)利用楞次定律,对初始状态的ab受力分析得:
mg sin θ+BIL=ma①
对回路分析
I=ER=BLv0R②
联立①②得
a=g sin θ+B2L2v0m·R
(2)上滑过程:
由第(1)问中的分析可知,上滑过程加速度大小表达式为:
a上=g sin θ+B2L2vm·R③
上滑过程,a、v反向,做减速运动。利用③式,v减小则a减小,可知,杆上滑时做加速度逐渐减小的减速运动。
下滑过程:
由牛顿第二定律,对ab受力分析得:
mg sin θ-B2L2vR=ma下④
a下=g sin θ-B2L2vm·R⑤
因a下与v同向,ab做加速运动。
由⑤得v增加,a下减小,
杆下滑时做加速度减小的加速运动。
(3)设P点是上滑与下滑过程中经过的同一点P,由能量转化与守恒可知:
12mvP上2=12mvP下2+QR⑥
QR为ab从P滑到最高点到再回到P点过程中R上产生的焦耳热。
由QR>0所以vP上>vP下
同理可推得ab上滑通过某一位置的速度大于下滑通过同一位置的速度,进而可推得v上>v下
由s=v上t上=v下t下得
t上
知识归纳 ①当回路中只有一部分导体做切割磁感线运动时,安培力的表达式为F安=B2L2vR总,R总为回路总电阻。
②运动学中,a、v同向,物体做加速运动;
a、v反向,物体做减速运动。
③楞次定律的力学效果是“阻碍磁通量变化”。杆上滑,受安培力沿斜面向下,杆下滑,受安培力沿斜面向上。
2.(2015天津理综,11,18分)如图所示,“凸”字形硬质金属线框质量为m,相邻各边互相垂直,且处于同一竖直平面内,ab边长为l,cd边长为2l,ab与cd平行,间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平,磁场方向垂直于线框所在平面。开始时,cd边到磁场上边界的距离为2l,线框由静止释放,从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前,线框做匀速运动。在ef、pq边离开磁场后,ab边离开磁场之前,线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内,且ab、cd边保持水平,重力加速度为g。求
(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几倍;
(2)磁场上下边界间的距离H。
答案 (1)4倍 (2)Qmg+28l
3.(2015海南单科,13,10分)如图,两平行金属导轨位于同一水平面上,相距l,左端与一电阻R相连;整个系统置于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上,在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动,滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g,导轨和导体棒的电阻均可忽略。求
(1)电阻R消耗的功率;
(2)水平外力的大小。
答案 (1)B2l2v2R
(2)B2l2vR+μmg
4.(2016课标Ⅲ,25,20分)如图,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内,其左端接一阻值为R的电阻;一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上;在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域,区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场,磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1=kt,式中k为常量;在金属棒右侧还有一匀强磁场区域,区域左边界MN(虚线)与导轨垂直,磁场的磁感应强度大小为B0,方向也垂直于纸面向里。某时刻,金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动,在t0时刻恰好以速度v0越过MN,此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好,它们的电阻均忽略不计。求
(1)在t=0到t=t0时间间隔内,流过电阻的电荷量的绝对值;
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
答案 (1)kt0SR (2)B0lv0(t-t0)+kSt (B0lv0+kS)B0lR
【限时模拟训练】
时间:40分钟 分值:95分
一、选择题(每题6分,共42分)
1.(2019雅礼中学月考,7)随着科技的不断发展,无线充电已经进入人们的视线,小到手表、手机,大到电脑、电动汽车的充电,都已经实现了从理论研发到实际应用的转化。如图给出了某品牌的无线充电手机利用电磁感应方式无线充电的原理图,关于无线充电,下列说法正确的是( )
A.无线充电时手机接收线圈部分的工作原理是“电流的磁效应”
B.只有将充电底座接到直流电源上才能对手机进行充电
C.接收线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同
D.无线充电技术违背能量守恒定律
答案 C
2.(2020届长郡中学月考,11)(多选)如图所示,竖直面内有一个闭合导线框ACD(由细软弹性电阻丝制成),端点A、D固定。在以水平线段AD为直径的半圆形区域内,有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。设导线框的电阻恒为r,圆的半径为R,用两种方式使导线框上产生感应电流。方式一:将导线与圆周的接触点C点以恒定角速度ω1(相对圆心O)从A点沿圆弧移动至D点;方式二:以AD为轴,保持∠ADC=45°,将导线框以恒定的角速度ω2转90°,则下列说法正确的是( )
A.方式一中,在C沿圆弧移动到圆心O的正上方时,导线框中的感应电动势为零
B.方式一中,在C从A点沿圆弧移动到图中∠ADC=30°位置的过程中,通过导线截面的电荷量为3BR22r
C.方式二中,回路中的电动势逐渐减小
D.两种方式回路中电动势的有效值之比E1E2=ω1ω2
答案 ABD
3.(2019湖南百所重点名校大联考,20)(多选)如图所示,cdef导体框固定在水平面上,竖直向下的匀强磁场磁感应强度为B,de端接有一个电阻R,其他电阻不计,一根质量不计也无电阻的轻杆ab横放在导体框上,长为L,今在水平向右的拉力F作用下向右以加速度a匀加速运动了x(初速度为零),在此过程中,以下说法正确的是( )
A.拉力F大小与运动时间t成正比
B.电阻的发热功率P与ab杆运动的位移x成正比
C.电阻的发热量Q与ab杆运动的位移x成正比
D.通过电阻的电荷量q与ab杆运动的位移x成正比
答案 ABD
4.(2019长郡中学等四校联考,21)(多选)如图所示,在竖直面内有方向垂直于纸面向里、高度为h的有界匀强磁场,磁场上、下边界水平,将边长为l(l
A.若v1=v2,则一定有v2>v3
B.若v1>v2,则一定有v2>v3
C.若v1=v2,从ab离开磁场到cd离开磁场的过程中,线框内产生的焦耳热为mgh
D.从ab进入磁场到cd离开磁场的过程中,线框内产生的焦耳热为mgh+12mv12-12mv32
答案 ABC
5.(2019长郡中学月考,10)(多选)如图甲所示,等离子气流由左方连续以v0射入M和N两板间的匀强磁场中,ab直导线与M、N相连接,线圈A与直导线cd连接。线圈A内有随图乙所示的变化磁场,且规定向左为磁场B的正方向,则下列叙述正确的是( )
甲
乙
A.0~1 s内ab、cd导线互相排斥
B.1~2 s内ab、cd导线互相吸引
C.2~3 s内ab、cd导线互相吸引
D.3~4 s内ab、cd导线互相排斥
答案 BD
6.(2019雅礼中学月考,12)(多选)根据实际需要,磁铁可以制造成多种形状,如图就是一根很长的光滑圆柱形磁棒,在它的侧面有均匀向外的辐射状磁场。现将磁棒竖直固定在水平地面上,磁棒外套有一个粗细均匀的圆形金属线圈,金属线圈的质量为m,半径为R,电阻为r,金属线圈所在位置的磁场的磁感应强度大小为B。让金属线圈从磁棒上端由静止释放,经一段时间后与水平地面相碰(碰前金属线圈已达最大速度)并原速率反弹,又经时间t,上升到距离地面高度为h处速度减小到零,下列说法中正确的是( )
A.金属线圈与地面撞击前的速度大小为mgr2π2B2R2
B.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,通过金属线圈某一截面的电荷量为m2gr8π3B3R3-mgt2πBR
C.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,通过金属线圈某一截面的电荷量为m2gr8π3B3R3
D.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,金属线圈中产生的焦耳热为m3g2r232π4B4R4-mgh
答案 BD
7.(2019湖南师大附中一模,21)(多选)如图所示,ABCD为固定的水平光滑矩形金属导轨,处在方向竖直向下,磁感应强度为B的匀强磁场中,AB间距为L,左右两端均接有阻值为R的电阻,质量为m、长为L且不计电阻的导体棒MN放在导轨上,与导轨接触良好,并与轻质弹簧组成弹簧振动系统。开始时,弹簧处于自然长度,导体棒MN具有水平向左的初速度v0,经过一段时间,导体棒MN第一次运动到最右端,这一过程中AB间R上产生的焦耳热为Q,则( )
A.初始时刻棒所受的安培力大小为B2L2v0R
B.当棒再一次回到初始位置时,AB间电阻的热功率为2B2L2v02R
C.当棒第一次到达最右端时,弹簧具有的弹性势能为12mv02-2Q
D.当棒第一次到达最左端时,弹簧具有的弹性势能小于12mv02-23Q
答案 CD
二、非选择题(共53分)
8.(2020届衡阳八中模拟,25)(14分)如图所示,间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻,阻值为R,两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置在导轨上,两导体棒电阻均为R,棒与导轨间动摩擦因数均为μ,导轨电阻不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动,当棒ab匀速运动时,棒cd恰要开始滑动,从开始运动到匀速的过程中通过棒ab的电荷量为q。(重力加速度为g)求:
(1)棒ab匀速运动的速度大小;
(2)棒ab从开始运动到匀速运动所经历的时间;
(3)棒ab从开始运动到匀速的过程中棒ab产生的焦耳热。
答案 本题是一个综合大题,考查学生利用运动和力的观念、动量观念、能量观念来解决问题的能力,对学生处理综合问题能力要求较高。
(1)设棒ab速度为v,则棒ab中的感应电流I=BLvR+R2=2BLv3R ①
棒cd中的感应电流为I2=BLv3R ②
cd棒受的安培力F1=BI2L=B2L2v3R ③
当棒cd恰要滑动时,F1=μmg,即B2L2v3R=μmg ④
得v=3μmgRB2L2 ⑤
(2)设棒ab受恒定外力为F,匀速运动时棒ab中的电流为I,
棒ab所受安培力为F2=BIL ⑥
对棒cd:F1=BI2L=μmg ⑦
棒ab:F=F2+μmg=2F1+μmg ⑧
由⑥⑦⑧式得F=3μmg ⑨
对棒ab从开始运动到匀速过程,设运动时间为t
由动量定理:?(F-μmg)Δt-?BiLΔt=?mΔv 或(F-μmg)t-BLIt=mv,而?iΔt=q
故2μmgt-BLq=mv
由⑤式解得t=3mR2B2L2+BLq2μmg
(3)棒ab所受安培力为F2=BIL=2B2L2v3R,设棒ab从开始运动到匀速的过程中位移为x,
由动量定理:?(F-μmg)Δt-?F2Δt=?mΔv
(F-μmg)t-?2B2L2vΔt3R=mv
而?vΔt=x
由⑤⑨得:x=3Rq2BL
q=It=BLxtR+R2t=2BLx3R
设棒ab此过程克服安培力做功为W
由动能定理:(F-μmg)x-W=12mv2
由⑤⑨得W=3μmgqRBL-9μ2m3g2R22B4L4
由功能关系知,此过程电路产生的总焦耳热等于W,棒ab此过程产生的焦耳热Qab=23W
由得棒ab产生的焦耳热为2μmgqRBL-3μ2m3g2R2B4L4
思路分析 第一问中涉及了电磁感应的电路问题和平衡问题;第二问中涉及t,可以优先考虑动量定理:(F-μmg)Δt-BILΔt=mv,因为涉及力的时间积累,所以此过程中安培力要用的是此段时间内的平均值,再结合q=It求解;第三问涉及焦耳热,可以用功能关系求解,克服安培力做了多少功,电路中就产生了多少总的焦耳热;安培力为变力,故用动能定理,而外力F与μmg为恒力做功,W=Fx;对此过程的x再次利用q=It=ΔΦR总=BL·xR总求解。综合难度较大。
9.(2020届永州一模,17)(10分)如图所示,有水平边界的匀强磁场的磁感应强度为B=2T ,其上、下边界间的距离为H=1.1 m,一个由同种材料、粗细均匀的导线做成的质量为m=0.5 kg、边长为L=1 m、总电阻为R=1 Ω的正方形导线框abcd,从磁场上方的某个位置处,由静止开始下落,下落过程中,线框平面始终保持在同一个竖直面内,ab边与磁场的水平边界线平行,当ab边刚进入磁场和ab边刚穿出磁场时,线框加速度的大小都是a=2 m/s2,方向均竖直向上,在线框运动过程中,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)ab边刚进入磁场时,线框cd边两端的电势差Ucd;
(2)cd边刚进入磁场时,线框速度v2的大小;
(3)从ab边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场的过程中,线框中产生的热量Q。
答案 (1)0.75 V (2)0.5 m/s (3)5.5 J
10.(2018雅礼中学、河南实验中学联考,25)(15分)如图所示,PQ和MN是固定于倾角为30°斜面内的平行光滑金属轨道,轨道足够长,其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上,始终与轨道垂直,且接触良好。金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m,长度均为L、电阻均为R;两金属棒的长度恰好等于轨道的间距,并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中,若锁定金属棒ab不动,使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下,沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g。
(1)试推导论证:金属棒cd克服安培力做功的功率P安等于电路获得的电功率P电;
(2)设金属棒cd做匀速运动中的某时刻t0=0,恒力大小变为F'=1.5mg,方向不变,同时解锁、静止释放金属棒ab,直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动。求:
①t时刻以后金属棒ab的热功率Pab;
②0~t时间内通过金属棒ab的电荷量q。
答案 (1)金属棒cd做匀速运动的速度为v
E=BLv ①
I=E2R ②
FA=BIL ③
金属棒cd克服安培力做功的功率P安=FAv ④
电路获得的电功率P电=E22R ⑤
由①②③④得P安=B2L2v22R ⑥
由①⑤得P电=B2L2v22R ⑦
所以:P安=P电 ⑧
(2)①金属棒ab做匀速运动,
则有:BI1L=2mg sin 30° ⑨
金属棒ab的热功率P=I12R
由⑨、解得:P=m2g2RB2L2
②设t后时刻金属棒ab做匀速运动速度为v1,金属棒cd做匀速运动的速度为v2;
由金属棒ab、cd组成系统(合外力为零)动量守恒:mv=2mv1+mv2
回路电流I1=BL(v2-v1)2R
由⑨解得:金属棒ab做匀速运动速度v1=mgR3B2L2
0~t时间内对金属棒ab分析:在电流为i的很短时间Δt内,速度的变化量为Δv,
由动量定理得:BiLΔt-2mg sin 30°·Δt=2mΔv (2分)
对进行求和得:?0tBiLΔt-?0tmgΔt=?0t2mΔv
解得:BqL-mgt=2mv1
联立解得:q=2m2gR+3mgB2L2t3B3L3
11.(2019长沙一中月考,25)(14分)如图所示,光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线,线的一端系一质量为3m的重物,另一端系一质量为m、长为L、电阻为r的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF,在Q、F之间连接有阻值为R的电阻,其余电阻不计,磁感应强度为B0的匀强磁场与导轨平面垂直,开始时金属杆置于导轨下端QF处,将重物由静止释放,当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降,运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好,忽略所有摩擦,重力加速度为g,求:
(1)电阻R中的感应电流方向;
(2)重物匀速下降的速度v;
(3)重物从释放到下降h的过程中,电阻R中产生的电热QR;
(4)若将重物下降h时的时刻记为t=0,速度记为v0,从此时刻起,磁感应强度逐渐减小,若此后金属杆中恰好不产生感应电流,则磁感应强度B怎样随时间t变化(写出Bt与t的关系式)。
答案 (1)由右手定则可知电阻R中的感应电流方向为Q→R→F,(1分)
(2)金属杆匀速上升,处于平衡状态,由平衡条件,得T-mg-F=0,(1分)
其中:T=3mg,F=B0IL=B02L2vR+r(1分)
解得v=2mg(R+r)B02L2(1分)
(3)设电路中产生的总电热Q,则由能量守恒得:减少的重力势能等于增加的动能和总电热Q
即3mgh-mgh=12×3mv2+12mv2+Q(1分)
所以电阻R中产生的电热QR=RR+rQ,解得QR=2mghRR+r-8m3g2(R+r)RB04L4(3分)
(4)金属杆中恰好不产生感应电流,即磁通量不变Φt=Φ0,即(h+h1)LBt=hLB0(2分)
式中h1=v0t+12at2(1分)
又a=3mg-mg3m+m=12g(1分)
解得磁感应强度Bt随时间t的变化为
Bt=B0hh+v0t+g4t2(2分)
【高考题组】
A组 基础题组
1.(2019课标Ⅲ,14,6分)楞次定律是下列哪个定律在电磁感应现象中的具体体现?( )
A.电阻定律 B.库仑定律
C.欧姆定律 D.能量守恒定律
答案 D
2.(2018课标Ⅰ,19,6分)(多选)如图,两个线圈绕在同一根铁芯上,其中一线圈通过开关与电源连接,另一线圈与远处沿南北方向水平放置在纸面内的直导线连接成回路。将一小磁针悬挂在直导线正上方,开关未闭合时小磁针处于静止状态。下列说法正确的是( )
A.开关闭合后的瞬间,小磁针的N极朝垂直纸面向里的方向转动
B.开关闭合并保持一段时间后,小磁针的N极指向垂直纸面向里的方向
C.开关闭合并保持一段时间后,小磁针的N极指向垂直纸面向外的方向
D.开关闭合并保持一段时间再断开后的瞬间,小磁针的N极朝垂直纸面向外的方向转动
答案 AD
3.(2015课标Ⅰ,19,6分)(多选)1824年,法国科学家阿拉果完成了著名的“圆盘实验”。实验中将一铜圆盘水平放置,在其中心正上方用柔软细线悬挂一枚可以自由旋转的磁针,如图所示。实验中发现,当圆盘在磁针的磁场中绕过圆盘中心的竖直轴旋转时,磁针也随着一起转动起来,但略有滞后。下列说法正确的是( )
A.圆盘上产生了感应电动势
B.圆盘内的涡电流产生的磁场导致磁针转动
C.在圆盘转动的过程中,磁针的磁场穿过整个圆盘的磁通量发生了变化
D.圆盘中的自由电子随圆盘一起运动形成电流,此电流产生的磁场导致磁针转动
答案 AB
4.(2015重庆理综,4,6分)图为无线充电技术中使用的受电线圈示意图,线圈匝数为n,面积为S。若在t1到t2时间内,匀强磁场平行于线圈轴线向右穿过线圈,其磁感应强度大小由B1均匀增加到B2,则该段时间线圈两端a和b之间的电势差 φa-φb( )
A.恒为 nS(B2-B1)t2-t1 B.从0均匀变化到 nS(B2-B1)t2-t1
C.恒为 -nS(B2-B1)t2-t1 D.从0均匀变化到 -nS(B2-B1)t2-t1
答案 C
5.(2017天津理综,3,6分)如图所示,两根平行金属导轨置于水平面内,导轨之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触,整个装置放在匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小,ab始终保持静止,下列说法正确的是( )
A.ab中的感应电流方向由b到a
B.ab中的感应电流逐渐减小
C.ab所受的安培力保持不变
D.ab所受的静摩擦力逐渐减小
答案 D
6.(2017课标Ⅱ,20,6分)(多选)两条平行虚线间存在一匀强磁场,磁感应强度方向与纸面垂直。边长为0.1 m、总电阻为0.005 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内,cd边与磁场边界平行,如图(a)所示。已知导线框一直向右做匀速直线运动,cd边于t=0时刻进入磁场。线框中感应电动势随时间变化的图线如图(b)所示(感应电流的方向为顺时针时,感应电动势取正)。下列说法正确的是( )
A.磁感应强度的大小为0.5 T
B.导线框运动速度的大小为0.5 m/s
C.磁感应强度的方向垂直于纸面向外
D.在t=0.4 s至t=0.6 s这段时间内,导线框所受的安培力大小为0.1 N
答案 BC
7.(2015课标Ⅱ,15,6分)如图,直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时,a、b、c三点的电势分别为Ua、Ub、Uc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A.Ua>Uc,金属框中无电流
B.Ub>Uc,金属框中电流方向沿a-b-c-a
C.Ubc=-12Bl2ω,金属框中无电流
D.Uac=12Bl2ω,金属框中电流方向沿a-c-b-a
答案 C
B组 综合题组
1.(2019课标Ⅰ,20,6分)(多选)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场,其边界如图(a)中虚线MN所示。一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S,将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内,圆心O在MN上。t=0时磁感应强度的方向如图(a)所示;磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示。则在t=0到t=t1的时间间隔内( )
A.圆环所受安培力的方向始终不变
B.圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C.圆环中的感应电流大小为B0rS4t0ρ
D.圆环中的感应电动势大小为B0πr24t0
答案 BC
2.(2019课标Ⅱ,21,6分)(多选)如图,两条光滑平行金属导轨固定,所在平面与水平面夹角为θ,导轨电阻忽略不计。虚线ab、cd均与导轨垂直,在ab与cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场。将两根相同的导体棒PQ、MN先后自导轨上同一位置由静止释放,两者始终与导轨垂直且接触良好。已知PQ进入磁场时加速度恰好为零。从PQ进入磁场开始计时,到MN离开磁场区域为止,流过PQ的电流随时间变化的图像可能正确的是( )
答案 AD
3.(2019课标Ⅲ,19,6分)(多选)如图,方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨,两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t=0时,棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中,ab、cd始终与导轨垂直并接触良好,两者速度分别用v1、v2表示,回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是( )
答案 AC
4.(2018课标Ⅱ,18,6分)如图,在同一水平面内有两根平行长导轨,导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域,区域宽度均为l,磁感应强度大小相等、方向交替向上向下。一边长为32l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动。线框中感应电流i随时间t变化的正确图线可能是( )
答案 D
5.(2015福建理综,18,6分)如图,由某种粗细均匀的总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,固定在水平面内且处于方向竖直向下的匀强磁场B中。一接入电路电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中( )
A.PQ中电流先增大后减小
B.PQ两端电压先减小后增大
C.PQ上拉力的功率先减小后增大
D.线框消耗的电功率先减小后增大
答案 C
6.(2019天津理综,11,18分)如图所示,固定在水平面上间距为l的两条平行光滑金属导轨,垂直于导轨放置的两根金属棒MN和PQ长度也为l、电阻均为R,两棒与导轨始终接触良好。MN两端通过开关S与电阻为R的单匝金属线圈相连,线圈内存在竖直向下均匀增加的磁场,磁通量变化率为常量k。图中虚线右侧有垂直于导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。PQ的质量为m,金属导轨足够长、电阻忽略不计。
(1)闭合S,若使PQ保持静止,需在其上加多大的水平恒力F,并指出其方向;
(2)断开S,PQ在上述恒力作用下,由静止开始到速度大小为v的加速过程中流过PQ的电荷量为q,求该过程安培力做的功W。
答案 (1)Bkl3R 方向水平向右
(2)12mv2-23kq
C组 提高题组
1.(2017上海单科,20,16分)如图,光滑平行金属导轨间距为L,与水平面夹角为θ,两导轨上端用阻值为R的电阻相连,该装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面。质量为m的金属杆ab以沿导轨平面向上的初速度v0从导轨底端开始运动,然后又返回到出发位置。在运动过程中,ab与导轨垂直且接触良好,不计ab和导轨的电阻及空气阻力。
(1)求ab开始运动时的加速度a;
(2)分析并说明ab在整个运动过程中速度、加速度的变化情况;
(3)分析并比较ab上滑时间和下滑时间的长短。
答案 本题考查电磁感应、闭合电路欧姆定律。动力学分析、能量转化与守恒定律。
(1)利用楞次定律,对初始状态的ab受力分析得:
mg sin θ+BIL=ma①
对回路分析
I=ER=BLv0R②
联立①②得
a=g sin θ+B2L2v0m·R
(2)上滑过程:
由第(1)问中的分析可知,上滑过程加速度大小表达式为:
a上=g sin θ+B2L2vm·R③
上滑过程,a、v反向,做减速运动。利用③式,v减小则a减小,可知,杆上滑时做加速度逐渐减小的减速运动。
下滑过程:
由牛顿第二定律,对ab受力分析得:
mg sin θ-B2L2vR=ma下④
a下=g sin θ-B2L2vm·R⑤
因a下与v同向,ab做加速运动。
由⑤得v增加,a下减小,
杆下滑时做加速度减小的加速运动。
(3)设P点是上滑与下滑过程中经过的同一点P,由能量转化与守恒可知:
12mvP上2=12mvP下2+QR⑥
QR为ab从P滑到最高点到再回到P点过程中R上产生的焦耳热。
由QR>0所以vP上>vP下
同理可推得ab上滑通过某一位置的速度大于下滑通过同一位置的速度,进而可推得v上>v下
由s=v上t上=v下t下得
t上
知识归纳 ①当回路中只有一部分导体做切割磁感线运动时,安培力的表达式为F安=B2L2vR总,R总为回路总电阻。
②运动学中,a、v同向,物体做加速运动;
a、v反向,物体做减速运动。
③楞次定律的力学效果是“阻碍磁通量变化”。杆上滑,受安培力沿斜面向下,杆下滑,受安培力沿斜面向上。
2.(2015天津理综,11,18分)如图所示,“凸”字形硬质金属线框质量为m,相邻各边互相垂直,且处于同一竖直平面内,ab边长为l,cd边长为2l,ab与cd平行,间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平,磁场方向垂直于线框所在平面。开始时,cd边到磁场上边界的距离为2l,线框由静止释放,从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前,线框做匀速运动。在ef、pq边离开磁场后,ab边离开磁场之前,线框又做匀速运动。线框完全穿过磁场过程中产生的热量为Q。线框在下落过程中始终处于原竖直平面内,且ab、cd边保持水平,重力加速度为g。求
(1)线框ab边将离开磁场时做匀速运动的速度大小是cd边刚进入磁场时的几倍;
(2)磁场上下边界间的距离H。
答案 (1)4倍 (2)Qmg+28l
3.(2015海南单科,13,10分)如图,两平行金属导轨位于同一水平面上,相距l,左端与一电阻R相连;整个系统置于匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上,在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动,滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g,导轨和导体棒的电阻均可忽略。求
(1)电阻R消耗的功率;
(2)水平外力的大小。
答案 (1)B2l2v2R
(2)B2l2vR+μmg
4.(2016课标Ⅲ,25,20分)如图,两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面(纸面)内,其左端接一阻值为R的电阻;一与导轨垂直的金属棒置于两导轨上;在电阻、导轨和金属棒中间有一面积为S的区域,区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场,磁感应强度大小B1随时间t的变化关系为B1=kt,式中k为常量;在金属棒右侧还有一匀强磁场区域,区域左边界MN(虚线)与导轨垂直,磁场的磁感应强度大小为B0,方向也垂直于纸面向里。某时刻,金属棒在一外加水平恒力的作用下从静止开始向右运动,在t0时刻恰好以速度v0越过MN,此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好,它们的电阻均忽略不计。求
(1)在t=0到t=t0时间间隔内,流过电阻的电荷量的绝对值;
(2)在时刻t(t>t0)穿过回路的总磁通量和金属棒所受外加水平恒力的大小。
答案 (1)kt0SR (2)B0lv0(t-t0)+kSt (B0lv0+kS)B0lR
【限时模拟训练】
时间:40分钟 分值:95分
一、选择题(每题6分,共42分)
1.(2019雅礼中学月考,7)随着科技的不断发展,无线充电已经进入人们的视线,小到手表、手机,大到电脑、电动汽车的充电,都已经实现了从理论研发到实际应用的转化。如图给出了某品牌的无线充电手机利用电磁感应方式无线充电的原理图,关于无线充电,下列说法正确的是( )
A.无线充电时手机接收线圈部分的工作原理是“电流的磁效应”
B.只有将充电底座接到直流电源上才能对手机进行充电
C.接收线圈中交变电流的频率与发射线圈中交变电流的频率相同
D.无线充电技术违背能量守恒定律
答案 C
2.(2020届长郡中学月考,11)(多选)如图所示,竖直面内有一个闭合导线框ACD(由细软弹性电阻丝制成),端点A、D固定。在以水平线段AD为直径的半圆形区域内,有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。设导线框的电阻恒为r,圆的半径为R,用两种方式使导线框上产生感应电流。方式一:将导线与圆周的接触点C点以恒定角速度ω1(相对圆心O)从A点沿圆弧移动至D点;方式二:以AD为轴,保持∠ADC=45°,将导线框以恒定的角速度ω2转90°,则下列说法正确的是( )
A.方式一中,在C沿圆弧移动到圆心O的正上方时,导线框中的感应电动势为零
B.方式一中,在C从A点沿圆弧移动到图中∠ADC=30°位置的过程中,通过导线截面的电荷量为3BR22r
C.方式二中,回路中的电动势逐渐减小
D.两种方式回路中电动势的有效值之比E1E2=ω1ω2
答案 ABD
3.(2019湖南百所重点名校大联考,20)(多选)如图所示,cdef导体框固定在水平面上,竖直向下的匀强磁场磁感应强度为B,de端接有一个电阻R,其他电阻不计,一根质量不计也无电阻的轻杆ab横放在导体框上,长为L,今在水平向右的拉力F作用下向右以加速度a匀加速运动了x(初速度为零),在此过程中,以下说法正确的是( )
A.拉力F大小与运动时间t成正比
B.电阻的发热功率P与ab杆运动的位移x成正比
C.电阻的发热量Q与ab杆运动的位移x成正比
D.通过电阻的电荷量q与ab杆运动的位移x成正比
答案 ABD
4.(2019长郡中学等四校联考,21)(多选)如图所示,在竖直面内有方向垂直于纸面向里、高度为h的有界匀强磁场,磁场上、下边界水平,将边长为l(l
A.若v1=v2,则一定有v2>v3
B.若v1>v2,则一定有v2>v3
C.若v1=v2,从ab离开磁场到cd离开磁场的过程中,线框内产生的焦耳热为mgh
D.从ab进入磁场到cd离开磁场的过程中,线框内产生的焦耳热为mgh+12mv12-12mv32
答案 ABC
5.(2019长郡中学月考,10)(多选)如图甲所示,等离子气流由左方连续以v0射入M和N两板间的匀强磁场中,ab直导线与M、N相连接,线圈A与直导线cd连接。线圈A内有随图乙所示的变化磁场,且规定向左为磁场B的正方向,则下列叙述正确的是( )
甲
乙
A.0~1 s内ab、cd导线互相排斥
B.1~2 s内ab、cd导线互相吸引
C.2~3 s内ab、cd导线互相吸引
D.3~4 s内ab、cd导线互相排斥
答案 BD
6.(2019雅礼中学月考,12)(多选)根据实际需要,磁铁可以制造成多种形状,如图就是一根很长的光滑圆柱形磁棒,在它的侧面有均匀向外的辐射状磁场。现将磁棒竖直固定在水平地面上,磁棒外套有一个粗细均匀的圆形金属线圈,金属线圈的质量为m,半径为R,电阻为r,金属线圈所在位置的磁场的磁感应强度大小为B。让金属线圈从磁棒上端由静止释放,经一段时间后与水平地面相碰(碰前金属线圈已达最大速度)并原速率反弹,又经时间t,上升到距离地面高度为h处速度减小到零,下列说法中正确的是( )
A.金属线圈与地面撞击前的速度大小为mgr2π2B2R2
B.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,通过金属线圈某一截面的电荷量为m2gr8π3B3R3-mgt2πBR
C.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,通过金属线圈某一截面的电荷量为m2gr8π3B3R3
D.撞击反弹后上升到最高处h的过程中,金属线圈中产生的焦耳热为m3g2r232π4B4R4-mgh
答案 BD
7.(2019湖南师大附中一模,21)(多选)如图所示,ABCD为固定的水平光滑矩形金属导轨,处在方向竖直向下,磁感应强度为B的匀强磁场中,AB间距为L,左右两端均接有阻值为R的电阻,质量为m、长为L且不计电阻的导体棒MN放在导轨上,与导轨接触良好,并与轻质弹簧组成弹簧振动系统。开始时,弹簧处于自然长度,导体棒MN具有水平向左的初速度v0,经过一段时间,导体棒MN第一次运动到最右端,这一过程中AB间R上产生的焦耳热为Q,则( )
A.初始时刻棒所受的安培力大小为B2L2v0R
B.当棒再一次回到初始位置时,AB间电阻的热功率为2B2L2v02R
C.当棒第一次到达最右端时,弹簧具有的弹性势能为12mv02-2Q
D.当棒第一次到达最左端时,弹簧具有的弹性势能小于12mv02-23Q
答案 CD
二、非选择题(共53分)
8.(2020届衡阳八中模拟,25)(14分)如图所示,间距为L的水平平行金属导轨上连有一定值电阻,阻值为R,两质量均为m的导体棒ab和cd垂直放置在导轨上,两导体棒电阻均为R,棒与导轨间动摩擦因数均为μ,导轨电阻不计,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个导轨处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度为B。现用某一水平恒力向右拉导体棒ab使其从静止开始运动,当棒ab匀速运动时,棒cd恰要开始滑动,从开始运动到匀速的过程中通过棒ab的电荷量为q。(重力加速度为g)求:
(1)棒ab匀速运动的速度大小;
(2)棒ab从开始运动到匀速运动所经历的时间;
(3)棒ab从开始运动到匀速的过程中棒ab产生的焦耳热。
答案 本题是一个综合大题,考查学生利用运动和力的观念、动量观念、能量观念来解决问题的能力,对学生处理综合问题能力要求较高。
(1)设棒ab速度为v,则棒ab中的感应电流I=BLvR+R2=2BLv3R ①
棒cd中的感应电流为I2=BLv3R ②
cd棒受的安培力F1=BI2L=B2L2v3R ③
当棒cd恰要滑动时,F1=μmg,即B2L2v3R=μmg ④
得v=3μmgRB2L2 ⑤
(2)设棒ab受恒定外力为F,匀速运动时棒ab中的电流为I,
棒ab所受安培力为F2=BIL ⑥
对棒cd:F1=BI2L=μmg ⑦
棒ab:F=F2+μmg=2F1+μmg ⑧
由⑥⑦⑧式得F=3μmg ⑨
对棒ab从开始运动到匀速过程,设运动时间为t
由动量定理:?(F-μmg)Δt-?BiLΔt=?mΔv 或(F-μmg)t-BLIt=mv,而?iΔt=q
故2μmgt-BLq=mv
由⑤式解得t=3mR2B2L2+BLq2μmg
(3)棒ab所受安培力为F2=BIL=2B2L2v3R,设棒ab从开始运动到匀速的过程中位移为x,
由动量定理:?(F-μmg)Δt-?F2Δt=?mΔv
(F-μmg)t-?2B2L2vΔt3R=mv
而?vΔt=x
由⑤⑨得:x=3Rq2BL
q=It=BLxtR+R2t=2BLx3R
设棒ab此过程克服安培力做功为W
由动能定理:(F-μmg)x-W=12mv2
由⑤⑨得W=3μmgqRBL-9μ2m3g2R22B4L4
由功能关系知,此过程电路产生的总焦耳热等于W,棒ab此过程产生的焦耳热Qab=23W
由得棒ab产生的焦耳热为2μmgqRBL-3μ2m3g2R2B4L4
思路分析 第一问中涉及了电磁感应的电路问题和平衡问题;第二问中涉及t,可以优先考虑动量定理:(F-μmg)Δt-BILΔt=mv,因为涉及力的时间积累,所以此过程中安培力要用的是此段时间内的平均值,再结合q=It求解;第三问涉及焦耳热,可以用功能关系求解,克服安培力做了多少功,电路中就产生了多少总的焦耳热;安培力为变力,故用动能定理,而外力F与μmg为恒力做功,W=Fx;对此过程的x再次利用q=It=ΔΦR总=BL·xR总求解。综合难度较大。
9.(2020届永州一模,17)(10分)如图所示,有水平边界的匀强磁场的磁感应强度为B=2T ,其上、下边界间的距离为H=1.1 m,一个由同种材料、粗细均匀的导线做成的质量为m=0.5 kg、边长为L=1 m、总电阻为R=1 Ω的正方形导线框abcd,从磁场上方的某个位置处,由静止开始下落,下落过程中,线框平面始终保持在同一个竖直面内,ab边与磁场的水平边界线平行,当ab边刚进入磁场和ab边刚穿出磁场时,线框加速度的大小都是a=2 m/s2,方向均竖直向上,在线框运动过程中,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)ab边刚进入磁场时,线框cd边两端的电势差Ucd;
(2)cd边刚进入磁场时,线框速度v2的大小;
(3)从ab边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场的过程中,线框中产生的热量Q。
答案 (1)0.75 V (2)0.5 m/s (3)5.5 J
10.(2018雅礼中学、河南实验中学联考,25)(15分)如图所示,PQ和MN是固定于倾角为30°斜面内的平行光滑金属轨道,轨道足够长,其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上,始终与轨道垂直,且接触良好。金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m,长度均为L、电阻均为R;两金属棒的长度恰好等于轨道的间距,并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中,若锁定金属棒ab不动,使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下,沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g。
(1)试推导论证:金属棒cd克服安培力做功的功率P安等于电路获得的电功率P电;
(2)设金属棒cd做匀速运动中的某时刻t0=0,恒力大小变为F'=1.5mg,方向不变,同时解锁、静止释放金属棒ab,直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动。求:
①t时刻以后金属棒ab的热功率Pab;
②0~t时间内通过金属棒ab的电荷量q。
答案 (1)金属棒cd做匀速运动的速度为v
E=BLv ①
I=E2R ②
FA=BIL ③
金属棒cd克服安培力做功的功率P安=FAv ④
电路获得的电功率P电=E22R ⑤
由①②③④得P安=B2L2v22R ⑥
由①⑤得P电=B2L2v22R ⑦
所以:P安=P电 ⑧
(2)①金属棒ab做匀速运动,
则有:BI1L=2mg sin 30° ⑨
金属棒ab的热功率P=I12R
由⑨、解得:P=m2g2RB2L2
②设t后时刻金属棒ab做匀速运动速度为v1,金属棒cd做匀速运动的速度为v2;
由金属棒ab、cd组成系统(合外力为零)动量守恒:mv=2mv1+mv2
回路电流I1=BL(v2-v1)2R
由⑨解得:金属棒ab做匀速运动速度v1=mgR3B2L2
0~t时间内对金属棒ab分析:在电流为i的很短时间Δt内,速度的变化量为Δv,
由动量定理得:BiLΔt-2mg sin 30°·Δt=2mΔv (2分)
对进行求和得:?0tBiLΔt-?0tmgΔt=?0t2mΔv
解得:BqL-mgt=2mv1
联立解得:q=2m2gR+3mgB2L2t3B3L3
11.(2019长沙一中月考,25)(14分)如图所示,光滑的定滑轮上绕有轻质柔软细线,线的一端系一质量为3m的重物,另一端系一质量为m、长为L、电阻为r的金属杆。在竖直平面内有间距为L的足够长的平行金属导轨PQ、EF,在Q、F之间连接有阻值为R的电阻,其余电阻不计,磁感应强度为B0的匀强磁场与导轨平面垂直,开始时金属杆置于导轨下端QF处,将重物由静止释放,当重物下降h时恰好达到稳定速度而匀速下降,运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好,忽略所有摩擦,重力加速度为g,求:
(1)电阻R中的感应电流方向;
(2)重物匀速下降的速度v;
(3)重物从释放到下降h的过程中,电阻R中产生的电热QR;
(4)若将重物下降h时的时刻记为t=0,速度记为v0,从此时刻起,磁感应强度逐渐减小,若此后金属杆中恰好不产生感应电流,则磁感应强度B怎样随时间t变化(写出Bt与t的关系式)。
答案 (1)由右手定则可知电阻R中的感应电流方向为Q→R→F,(1分)
(2)金属杆匀速上升,处于平衡状态,由平衡条件,得T-mg-F=0,(1分)
其中:T=3mg,F=B0IL=B02L2vR+r(1分)
解得v=2mg(R+r)B02L2(1分)
(3)设电路中产生的总电热Q,则由能量守恒得:减少的重力势能等于增加的动能和总电热Q
即3mgh-mgh=12×3mv2+12mv2+Q(1分)
所以电阻R中产生的电热QR=RR+rQ,解得QR=2mghRR+r-8m3g2(R+r)RB04L4(3分)
(4)金属杆中恰好不产生感应电流,即磁通量不变Φt=Φ0,即(h+h1)LBt=hLB0(2分)
式中h1=v0t+12at2(1分)
又a=3mg-mg3m+m=12g(1分)
解得磁感应强度Bt随时间t的变化为
Bt=B0hh+v0t+g4t2(2分)
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