2020届百师联盟高三练习题五（全国Ⅰ卷）数学（文）试题（解析版）

2020届百师联盟高三练习题五（全国Ⅰ卷）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数真数为正实数化简集合的表示，根据补集的定义、交集的定义进行求解即可.

【详解】

，得，则，所以，

即．

故选：C

【点睛】

本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.

2．在递增等比数列中，是其前项和，若，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据等比数列的下标性质，通过解方程，结合等比数列的通项公式求出等比数列的公比，最后利用等比数列前项和公式进行求解即可.

【详解】

是等比数列，所以有，，因为是递增等比数列，解得，，

所以，得或（舍），，所以．

故选：A

【点睛】

本题考查了等比数列的下标，考查了等比数列前项和公式，考查了等比数列基本量计算，考查了数学运算能力.

3．已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】先判断函数的单调性，再根据单调性进行求解即可.

【详解】

因为函数在和上均单调递增，且，，所以函数在上单调递增，若，即，解得．

故选：B

【点睛】

本题考查了分段函数的单调性，考查了指数函数和二次函数的单调性，考查了数学运算能力.

4．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则不等式的解集为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可.

【详解】

由奇函数图象性质知的图象在上单调递增，，

则，即，所以，解得．

故选：D

【点睛】

本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.

5．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线渐近线上一点，若是等边三角形（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）．

A． B．2 C．3 D．

【答案】B

【解析】根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、之间的关系进行求解即可.

【详解】

由在渐近线上且是等边三角形，其中一条渐近线的斜率，所以离心率．

故选：B

【点睛】

本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力.

6．希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若和均是素数，素数对称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最后根据古典概型计算公式进行求解即可.

【详解】

依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知．从中选取两个共包含15个基本事件，而孪生素数有，，三对，包含3个基本事件，所以概率为．

故选：C

【点睛】

本题考查了数学阅读能力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.

7．图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为，，，…，，则运行图2的程序框图，输出结果为（    ）．

A．121 B．119 C．10 D．5

【答案】C

【解析】通过执行程序框图识别框图的功能，再根据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可.

【详解】

由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数．通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10.

故选：C

【点睛】

本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属于中档题.

8．在如图的正方体中，，点是侧面内的动点，满足，设与平面所成角为，则的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】结合正方体的性质，根据线面垂直的判定定理，可以证明出平面，这样可以根据题意确定的轨迹，利用线面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可.

【详解】

如图，连结，，，易证得平面，因为所以平面，又因为平面，所以在上移动．如图平面，所以，在中，，当最小时，最大．即当时，最小，值为，所以．

故选：B

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了线面角的最值问题，考查了数学运算能力.

9．已知向量和向量满足，且，则向量与的夹角为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据平面向量模的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

因为，所以有，

所以化简得：，，

，所以．

故选：D

【点睛】

本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量模的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算能力.

10．定义运算，若，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题中定义，化简，根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式，可以求出的值，最后确定的值.

【详解】

由题，因为，均为锐角，所以，所以．又，所以，

，因为，所以．

故选：B

【点睛】

本题考查了两角差的正弦公式的应用，考查了新定义阅读能力，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.

11．已知函数，则函数图象与直线的交点个数为（    ）．

A．5 B．6 C．4 D．3

【答案】D

【解析】画出函数的图象，问题转化为方程的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类讨论进行求解即可.

【详解】

如图为函数的图象，函数图象与直线的交点个数即为方程的根的个数，令，则．即寻找直线与图象的交点个数．当时，，得，与的图象1个交点；当时，，解得或（舍），当时，，与图象的2个交点．

综上所述，直线与图象一共4个交点．即满足题意的交点个数为3个．

故选：D

【点睛】

本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.

12．如图在梯形中，∥，，，，将该图形沿对角线折成图中的三棱锥，且，则此三棱锥外接球的体积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面．如图将三棱锥补成三棱柱，这样利用勾股定理和球的体积公式进行求解即可.

【详解】

在梯形中，易得，．在三棱锥中，因为，所以，所以，则知平面．如图将三棱锥补成三棱柱，即寻找三棱柱的外接球，因为上下底面均为直角三角形，所以分别取斜边中点，，连结，取中点，则点即为外接球球心，即为外接球半径，则，所以．

故选：A

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了三棱锥外接球体积问题，考查了割补法的运用，考查了数学运算能力.

二、填空题

13．如图为制作某款木制品过程中的产量吨与相应的消耗木材吨的统计数据，经计算得到关于的线性回归方程，由于某些原因处的数据看不清楚了，则根据运算可得__________．

【答案】5.5

【解析】根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可.

【详解】

由题可知，又知线性回归方程必过样本中心点，将代入，得，即，解得．

故答案为：5.5

【点睛】

本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力.

14．在复平面内，复数满足：，则复数对应的点的轨迹方程是__________．

【答案】

【解析】设对应点，根据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可.

【详解】

设对应点，则，设点，，则，所以点在以，为焦点的椭圆上，轨迹方程为．

故答案为：

【点睛】

本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力.

15．已知数列中，，，则__________．

【答案】

【解析】运用累和法，结合裂项相消法进行求解即可.

【详解】

由题当时，，

则

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列累和法，考查了裂项相消法，考查了数学运算能力.

16．已知点是抛物线的焦点，直线经过点与抛物线交于，两点，与圆交于，两点（如图所示），则__________．

【答案】16

【解析】设点，，根据圆的性质，结合抛物线的定义，可以求出的表达式，设直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】

设点，，抛物线焦点，圆的圆心为，则，．

所以．由题可知直线的斜率不为0，所以设直线方程为，与抛物线方程联立得，即,，

所以．

故答案为：16

【点睛】

本题考查了抛物线的定义和圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的应用，考查了数学运算能力.

三、解答题

17．如图在四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）运用正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；

（2）运用两角差的正弦公式，结合三角形面积公式进行求解即可.

【详解】

（1）在中，由正弦定理得，

，所以．

设，由余弦定理得，

即，解得或（舍）．

所以．

（2）由题，

所以，

所以．

【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查了两角差的正弦公式的应用，考查了数学运算能力.

18．在四棱锥中，AD∥BC，平面，，，，点是边上靠近点的三等分点．

（1）证明：平面；

（2）若的面积为，求点到底面的距离．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）取中点，连结，根据平行线的性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理和性质定理、全等三角形的性质进行证明即可；

（2）利用三棱锥的等积性和体积公式进行求解即可.

【详解】

（1）因为，平面，所以平面，所以，，．

因为，是边上靠近点的三等分点，所以，．

在中，，在中，．

取中点，连结，

在中，，所以，即．

由题可知，，所以，即，

所以，又知，

所以平面．

（2）由（1）知平面．所以三棱锥的底面为，高为，

在底面梯形中，连接，

的面积为：

梯形

又知，所以

解得．

所以点到底面的距离为．

【点睛】

本题考查了线面垂直的证明，考查了点到面距离的求法，考查了棱锥体积公式的应用，考查了数学推理论证能力和数学运算能力.

19．某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图．

（1）从甲的成绩中任取一个数据，从乙的成绩中任取一个数据，求满足条件的概率；

（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适．

【答案】（1）（2）甲同学参加比赛．见解析

【解析】（1）根据茎叶图求出抽取两个数据的基本事件的结果，再求出满足的情况的个数，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可；

（2）根据茎叶图，结合平均数和方差的计算公式，求出甲乙两位同学成绩的均值和方差，最后从均值和方差两个角度进行选择即可.

【详解】

（1）抽取两个数据的基本事件有，，，，，，共6种结果，

满足的有，，，共3个．

所以概率为．

（2）甲，乙，

甲，

乙．

从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛．

【点睛】

本题考查了古典概型计算公式，考查了平均数和方差的计算公式，考查了平均数和方差的性质，考查了数学运算能力.

20．已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）（2）存在，直线方程为或．

【解析】（1）根据椭圆焦点三角形的性质，结合，进行求解即可；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据弦长公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【详解】

（1）由题可知当点在短轴端点时，面积最大，值为①，此时，，所以②，又知③，由上述3个式子解得，，．

所以椭圆的标准方程为．

（2）存在，由（1），由题意可知直线与轴不重合，所以设，

与椭圆方程联立得，

则，，，

则，

，解得，

即直线方程为或．

【点睛】

本题考查了椭圆焦点三角形的性质，考查了已知椭圆弦长求直线方程问题，考查了数学运算能力.

21．已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若当时，总有，求的最大值．

【答案】（1）（2）最大值为5．

【解析】（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）对不等式进行常变量分离，构造新函数，求导，判断新函数的单调性，最后利用新函数的单调性进行求解即可.

【详解】

（1）当时，，，

则可知，

所以切线方程为，化简可得切线方程为；

（2）由题当时，恒成立，即在时恒成立，

即在时恒成立，

令，则，

令，则在时恒成立．

所以在上单调递增，又知，，

所以在上存在唯一实数，满足，即，

当时，，即；当时，，即．

所以函数在上单调递减；在上单调递增．

即．

由在时恒成立，

所以，又知，所以整数的最大值为5．

【点睛】

本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，考查了构造函数利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.

22．已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（是参数），曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于，两点，点为曲线上一点，求使面积取得最大值时的点坐标．

【答案】（1）；．（2）

【解析】（1）利用加减相元法把直线的参数方程化为普通方程，根据极坐标方程与直角方程互化公式把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；

（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．根据椭圆的参数方程表示点的坐标，根据点到直线距离，结合辅助角公式进行求解即可.

【详解】

（1）直线的参数方程消参，得普通方程为；

将代入曲线的极坐标方程，

得曲线的直角坐标方程为．

（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．

因为点在曲线上，所以设，

则点到直线的距离为

，

其中，．当且仅当时，等号成立．

此时，，即．

【点睛】

本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了椭圆方程参数方程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.

23．已知函数．

（1）在如图所示的坐标系中作出的图象，并结合图象写出不等式的解集；

（2）若函数的图象恒在轴的上方，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析，（2）

【解析】（1）根据绝对值的性质把函数的解析式化简成分段函数的形式，在直角坐标系内画出函数图象，根据图象求出不等式解集即可；

（2）问题转化为恒成立，再转化为恒成立，根据函数的最小值进行求解即可.

【详解】

（1）

结合图象可知，当时，，；

当时，，解得；

当时，成立．

综上，不等式的解集为．

（2）若函数的图象恒在轴的上方，则恒成立，

即恒成立，只需．

由（1）中图象可知．

所以，解得．

【点睛】

本题考查了含绝对值函数的图象和最值，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.