2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由真数大于零求出集合，由指数函数的值域求出集合，再根据集合的补集和交集运算即可求出．

【详解】

集合满足：，，即或，

∴或，∴，

由，∴，可知.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查集合的补集和交集运算，涉及对数函数和指数函数的性质应用，属于基础题．

2．已知为虚数单位，且复数满足，则关于复数的四个命题：

①复数的虚部为；

②；

③复数对应的点在第三象限；

④

其中正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】根据复数代数形式的运算法则，求出，即可判断各个命题的真假．

【详解】

因为，

对于①，复数的虚部为，故①错误；

对于②，，故②错误；

对于③，复数对应的点为，在第三象限内，故③正确；

对于④，虚数不能比较大小，故④错误.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算法则的应用，以及复数的虚部，复数的模，复数的几何意义等知识的理解，属于基础题．

3．已知数列的前项的和为，且满足，则（    ）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【解析】根据与的关系，即可求出，进而求得．

【详解】

因为，

当时，，∴；

当时，，与相减，得，又，

∴，即可得，

由此可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，即有

∴.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查与的关系的应用，属于基础题．

4．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据捆绑法以及古典概型的概率计算公式即可求出．

【详解】

六架飞机降落的排列总数为，而1号与6号相邻降落的排列总数为，

所以所求事件的概率为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算公式的应用以及利用捆绑法解决排列中的相邻问题，属于基础题．

5．函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，即可将化为，再根据不等式恒成立问题的解法，分参，求出的最小值，即可求解．

【详解】

∵，且，

∴函数为单调递增的奇函数．

于是，可以变为，

即，∴，而，可知实数，

故实数的取值范围为．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，以及不等式恒成立问题的解法应用，涉及利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点，双曲线两条渐近线与过右焦点且垂直于轴的直线交于两点，则的面积为（    ）

A． B． C．8 D．12

【答案】A

【解析】根据双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程，再根据双曲线过点，可求出双曲线的方程，然后由双曲线的简单几何性质即可求出．

【详解】

由题意可知，双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，

把点代入可得，，∴，即双曲线的方程为．

∴，，，可得.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用，以及由双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．

7．将函数的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，则关于函数的结论正确的是（    ）

A．最小正周期为 B．关于对称

C．最大值为1 D．关于对称

【答案】B

【解析】首先根据两角和的正弦公式，二倍角公式将函数化简成，再根据平移法则即可得到函数的解析式，即可对各选项的结论判断，由此解出．

【详解】

把函数的图象向右平移单位，再把横坐标缩小到原来的一半，得到函数，可得，最小正周期为，故选项A错误；若，∴，故选项B正确；最大值为，故选项C错误；对称中心的坐标为，所以关于点对称，故选项D错误.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的性质应用，以及两角和的正弦公式，二倍角公式，平移法则的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

8．已知在等边三角形中，，为的中线，以为轴将折起，得到三棱锥，使得为120°，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】画出三棱锥的图形，根据题意可知，，，．

再根据球的几何性质可知，球心与截面圆的圆心所在直线垂直于底面，然后根据球心距，截面圆的半径和球的半径之间的关系即可求出球的半径，从而得出外接球的表面积．

【详解】

如图所示：

根据二面角的定义结合题意可知，，，．

在中，根据余弦定理可得，，∴．

据正弦定理可得，，∴，为的外心．设为三棱锥的外接球的球心，半径为，连接，则平面，过点作，因为，所以为的中点， ，

即外接球的表面积为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三棱锥外接球的表面积求法，涉及二面角的定义，球的几何性质以及余弦定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．

9．已知二项式的展开式的二项式项的系数和为64，，则（    ）

A．20 B．30 C．60 D．80

【答案】C

【解析】根据题意赋值可得，从而求出，再换元，设，将二项式展开，即可根据二项展开式的通项公式求出．

【详解】

根据题意，令可得，即

设，即

，即，

令，解得．∴，可知.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用二项展开式的通项公式求某指定项的系数，以及二项式定理，赋值法的应用，解题关键是换元法的使用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

10．已知圆，直线，在直线上任取一点向圆作切线，切点为，连接，则直线一定过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设点，根据圆系知识可求出直线的方程，再根据点在直线上，可得的关系，代入直线的方程，消去，即可求出定点．

【详解】

如图所示：

设点，则．过点向圆作切线，切点为，连接，

以为直径的圆的方程为：，又圆，作差

可得直线的方程为，可得，代入可得，满足，故过定点为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查直线过定点问题的解法，涉及利用圆系求直线方程，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

11．已知函数，设，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先判断出函数的奇偶性和在上的单调性，利用函数的奇偶性将转化为上的函数值，再根据指数函数，对数函数的单调性确定各自变量的范围，比较出大小关系，即可根据函数在上的单调性得出的大小关系．

【详解】

因为函数，定义域为，且满足，所以函数为偶函数，当时，，在单调递增．

因为，，

而，，∴，故.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及指数函数，对数函数的单调性的应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

12．已知函数，对于，且，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】假设，可将变形为，即可知函数在上单调递减，然后利用导数和单调性的关系，可得在上恒成立，分参得，，求出函数在上的最大值，即可求解出的取值范围．

【详解】

不妨设，由可得，

即．设函数，则函数在上单调递减，可知，即有，而函数在单调递增，，可知实数.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查函数单调性的定义的应用，导数和单调性的关系应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．

二、填空题

13．已知向量，向量，则向量在向量上的投影为________.

【答案】

【解析】根据向量投影的定义即可求出．

【详解】

向量在上的投影为.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查向量投影的求法，属于基础题．

14．已知满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为________.

【答案】

【解析】首先根据简单线性规划问题的解法求出的最大值，得到的关系，再根据基本不等式中“1”的代换的应用，即可求出．

【详解】

首先作出可行域，如图所示：

把变形为，根据图象可知，当目标函数过点时，

取最大值为1，，代入可得，

则，

当且仅当取等号，可知最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，涉及“1”的代换技巧，以及简单线性规划问题的解法应用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．

15．设、，为锐角内角的对边，且满足，若时，则面积的最大值为________.

【答案】

【解析】根据正弦定理边化角可得，，即可求出，再根据题目条件可得，，然后利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可根据得到面积的最大值．

【详解】

由，

根据正弦定理可得，，

即，，∴．

在内，可知或，因为锐角，可知．

利用余弦定理可得，，可知，则的面积，当且仅当时，取等号，

所以面积的最大值为.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，涉及利用正弦定理进行边角互化，余弦定理和三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

16．已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为__________.

【答案】

【解析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线的方程，再根据点差法求出的中点坐标，从而得出的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．

【详解】

拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．

设点，的中点为，则

两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，

可得.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

三、解答题

17．已知数列满足，数列的前项的和为.

（1）求出数列，的通项公式；

（2）若，求数列的前项的和.

【答案】（1）.，.（2）

【解析】（1）根据构造法即可求出数列的通项公式，根据与的关系即可求出的通项公式；

（2）根据，即可采用分组求和法和错位相减法求出数列的前项的和．

【详解】

（1）由，可得，而，可推出，

即，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．

∴，∴.

即数列的通项公式为.

由数列的前项的和为，可得，

当时，，

当时，也符合．故数列的通项公式为．

（2）由（1）可知，

设，，

两式相减可得，

化简可得，．

而数列的前项的和为，

所以.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求法，涉及到构造法和与的关系的应用，以及利用分组求和法，错位相减法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

18．在几何体中，面，直角梯形中，，，且，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）过点作交于，连接，根据勾股定理的逆定理可知，，由面可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证出；

（2）易证面，可得为与面所成的角，从而可计算出，再以为原点，分别以，与为轴，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面的法向量和平面的法向量，即可由向量法求出二面角的余弦值．

【详解】

（1）如图所示：

∵面，∴，

在梯形中，过作交于，∴，，，∴，即，即.

∵，，∴平面，

∵平面∴平面平面，

（2）连接，面，∴为与面所成的角，，∵，∴，∵，，∴，

以为原点，分别以，与为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可知，

设平面的法向量为，

可知，可取，

设平面的法向量为，

可知，可取，

可知两向量的夹角的余弦值为.

由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查面面垂直的判定定理的应用，涉及线面垂直的判定定理，线面垂直的定义的应用，以及利用向量法求二面角，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．

19．2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值.

参考公式：附：

【答案】（1）见解析，有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.（2）见解析，

【解析】（1）根据男生与女生的人数之比为11∶13，以及总人数120，可求出男，女生总人数，即可完成列联表，并根据独立性检验的基本思想，求出的观测值，对照临界值表，即可判断是否有把握；

（2）根据（1）可知，男生抽3人，女生抽5人，于是，离散型随机变量的可能取值为，并且服从超几何分布，即可利用公式，求出各概率，得到分布列，求出期望．

【详解】

（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，

于是可完成列联表，如下：

根据列联表中的数据，得到的观测值

，

所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”.

（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即

,

.

可得分布列为

可得.

【点睛】

本题主要考查独立性检验基本思想的初步运用，以及超几何分布的应用，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题．

20．已知离心率为的椭圆经过抛物线的焦点，斜率为1的直线经过且与椭圆交于两点.

（1）求面积；

（2）动直线与椭圆有且仅有一个交点，且与直线分别交于两点，为椭圆的右焦点，证明为定值.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）由抛物线方程求出焦点的坐标，再根据椭圆的简单几何性质即可求出椭圆方程，将直线与椭圆的方程联立，求出弦长，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，即可根据三角形面积公式求出面积；

（2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，根据可得的关系，再根据两点间的距离公式分别求出，即可计算出为定值．

【详解】

（1）因为焦点，代入得，，解得，

∴，

∵直线的斜率为1，且经过，则直线方程为，

联立解得或∴，

∴，又原点到直线的距离为，

∴.

（2）根据题意可知直线的斜率存在，可设直线的方程为：，联立，

可得，整理可得，

可知，，，

则为定值.

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，弦长的求法，椭圆的简单几何性质的应用，三角形面积公式的应用，两点间的距离公式的应用等，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．

21．已知函数.

（1）当函数在内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（2）若对于，不等式恒成立，求整数的最小值.

【答案】（1）（2）的最小值为2.

【解析】（1）由函数的导函数，设，

在内有且只有一个极值点等价于，即可求出的取值范围；

（2）由分参可得，，

设，利用导数判断函数的单调性，求出最值，即可得出的取值范围，进而求出整数的最小值．

【详解】

（1）函数的定义域为，

，设，

函数在内有且只有一个零点，满足，

可得，解得，

故实数的取值范围为．

（2），可以变形为，因为，可得，

设，.

设在单调递增，

，.

故存在一点，使得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数的最大值为，

且，

，可知，又，

可得整数的最小值为2.

【点睛】

本题主要考查函数存在极值的条件应用，以及函数不等式恒成立问题的解法应用，利用导数求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于较难题．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为常数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）当直线与曲线相切时，求出常数的值；

（2）当为曲线上的点，求出的最大值.

【答案】（1）或.（2）

【解析】（1）先利用极坐标和直角坐标的互化公式，将曲线的极坐标方程化为普通方程，再将直线的参数方程化为普通方程，然后根据直线与椭圆的位置关系，利用，即可求出的值；

（2）将曲线的直角坐标方程化为参数方程，即可表示出，再利用辅助角公式化简成的形式，即可求出最大值．

【详解】

（1）由题可知：，∴，

∴曲线的直角坐标方程为，

直线的普通方程为，

两方程联立可得，，

可知，

解得或.

（2）曲线的方程，可设，

则，其中，可知最大值为.

【点睛】

本题主要考查曲线的极坐标方程和普通方程之间的互化，参数方程与普通方程之间的互化，直线与椭圆的位置关系的应用，以及椭圆的参数方程的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）或.（2）

【解析】（1）利用零点分段法即可解出；

（2）方程有两个不同的实数根可转化为函数与函数的图象有两个交点，根据图象观察，即可求出实数的取值范围．

【详解】

（1）当时，，

当时，，解得，

可得；

当时，，解得，

可得；

当时，，解得，

综上可得或.

（2）由可知，，

∴，设，，

在同一坐标系中作出两函数的图象，如图所示：

点，

当函数与函数的图象有两个交点时，方程有两个不同的实数根.

由函数图象可知，当时，有两个不同的解，故实数的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，以及方程的根的个数与两函数的图象的交点个数之间的关系应用，意在考查学生的转化能力，数形结合思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．