2020届江西省南昌市新建二中高三数学模拟 (二)数学（理）试题（解析版）

2020届江西省南昌市新建二中高三数学模拟 (二)数学（理）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用复数的除法运算即可求解.

【详解】

.

故选：A

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，属于基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先分别求出集合，由此能求出.

【详解】

解：∵集合，
，
∴，
故选：B.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角的正弦即可求解.

【详解】

因为，所以为第二或第四象限的角；

若为第二象限的角，则，；

若为第四象限的角，则，.

故.

故选：B

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.

4．在内部任取一点，使得的面积与的面积的比值大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先确定点的位置，根据位置区域，利用几何概型中的面积型概率求解即可.

【详解】

如图取线段靠近点的三等分点，取线段靠近点的三等分点，连结，

当点在线段上运动时，的面积与的面积的比值等于，当点在图中阴影部分运动时，的面积与的面积的比值大于，

因为，且相似比为，

故使得的面积与的面积的比值大于的概率，

故选：D.

【点睛】

本题考查面积型几何概型，是基础题.

5．等比数列中，，前三项和，则公比的值为（ ）

A．1 B． C．1或 D．－1或

【答案】C

【解析】试题分析：由已知等比数列中，，又，则，两式相除解得或，故选C．

【考点】等比数列通项公式．

6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（    ）

A．－2 B．－1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】由题意，模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，当时满足条件，退出循环，输出为3.

【详解】

由题意模拟执行程序时，，

第一次循环，，此时不满足；

第二次循环，，此时不满足；

第三次循环，，此时不满足；

第四次循环，，此时满足；

故选：D

【点睛】

本题考查了循环结构的程序框图，读懂流程图是关键，属于基础题.

7．水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米.若以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意求出，再由三角函数的定义即可求解.

【详解】

由，，解得，

设圆的圆心为，由，，则，

由正弦函数的定义可得经过秒后转到点的位置，

则点到水面的距离与时间的函数关系式为,

故选：A

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，需掌握三角函数的定义，属于基础题.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数的单调性可得，再利用指数函数和幂函数的单调性知，从而比较出大小.

【详解】

；根据指数函数和幂函数的单调性知，

故.

故选：C

【点睛】

本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，属于基础题.

9．五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，记载了我国古代早期思想文化发展史上政治军事、外交、文化等各个方面的史实资料，在中国的传统文化的诸多文学作品中，占据相当重要的位置.学校古典研读社的三名社团学生，到学校图书馆借了一套五经书籍共5本进行研读，若每人至少分一本，则5本书的分配方案种数是（    ）

A．360 B．240 C．150 D．90

【答案】C

【解析】分两步，第一步分类讨论，求出2人2本，1人1本和2人1本，1人3本的种数，第二步分配给3名学生，再由分步计数乘法原理得答案.

【详解】

先分堆再分配第一步分堆分两类和，则分堆方法有种；

第二步分配给三名学生有种分法；由分步计数乘法原理得：种.

故选：C.

【点睛】

本题考查分配问题，注意分两步，先分堆再分配的原则，是基础题.

10．如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球；顶部为球，其直径与正四面体的棱长相等，若这样设计奖杯，则球与球的半径之比（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，可得，由即可求出，进而求出比值.

【详解】

设内切球的半径，正四面体的高为，利用等体积得，，

所以，又，

则，球的半径，所以.

故选：B

【点睛】

本题考查了棱锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.

11．已知圆：，直线：与轴，轴分别交于，两点.设圆上任意一点到直线的距离为，若取最大值时，的面积（    ）

A． B．8 C．6 D．

【答案】B

【解析】直线：过定点，当时，圆心到直线的距离最大，求出最大距离以及，进而可得的面积.

【详解】

直线：过定点，

圆：的圆心，半径，

当时，圆心到直线的距离最大，

∵，∴，即直线方程为，

则，，，

到直线的距离为，

则到直线的最大距离，

此时的面积，

故选：B.

【点睛】

本题考查直线和圆的位置关系问题，找到当时，圆心到直线的距离最大是关键，是中档题.

12．已知函数，若不等式仅有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先求得导函数，并令求得极值点.根据导函数，讨论与两种情况，分别判断函数的单调区间，并根据不等式仅有两个整数解，即可确定a的取值范围.

【详解】

由，则由.可得，，

当时，，，单调递减，时，，单调递增，且，

则有两个整数解为1，2，所以，且，解得，

当时，，，单调递减，且，则整数解有无数个，不满足题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用导数分析函数的单调性，分类讨论思想的综合应用，导数在不等式中的应用，属于中档题.

二、填空题

13．已知向量，满足，，若，则与的夹角为______.

【答案】

【解析】根据向量的夹角公式计算即可.

【详解】

由知，，

又，即

则，

所以，

故夹角为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查向量的模和夹角公式，是基础题.

14．一百馒头，一百和尚，大和尚每人每餐a个馒头，小和尚每餐每a人吃1个馒头.若大和尚的人数用表示，则______.

【答案】

【解析】设大和尚有x人，根据题意可得关于的方程，解方程并对讨论，即可求解.

【详解】

设大和尚有x人，则，

即，

当时，与生活实际不符，所以，

解得，

即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了函数在实际问题中的应用，属于基础题.

15．已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为______.

【答案】

【解析】利用双曲线的定义，从而可得，利用点到直线的距离公式可得，由题意可得，进而求出离心率.

【详解】

由双曲线定义知，，则，

∴，

所以，过作双曲线一条渐近线的垂线垂足为，交右支于点，

此时最小，且最小值为，

易求焦点到渐近线的距离为，即，

所以，即，，可求离心率.

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的定义以及双曲线的几何性质，属于基础题.

16．已知数列的前项和满足：（），则数列中最大项等于______.

【答案】

【解析】利用得到，令，可得数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，利用的正负来确定数列中最大项.

【详解】

因为，

得时，，

两式相减得:，即：，

令，又∵，

∴数列是首项，公差为1的等差数列，

则，所以，，

，

所以，

故数列中且最大，

故答案为: .

【点睛】

本题考查构造等差数列，利用递推式求通项公式，考查学生的观察能力和分析能力，对于数列最大或者最小项，可以通过的正负来寻找，是中档题.

三、解答题

17．在中，角，，的对边分别为，，，满足.

（1）求的值；

（2）若，则的面积的最大值.

【答案】（1）（2）2

【解析】（1）利用正弦定理，将边化为角，通过三角公式变形可得；

（2）由（1）及余弦定理可得，代入三角形面积公式可得，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可求得最值.

【详解】

解：（1）由，得，

由正弦定理知：，

即，，

∵，

∴，

；

（2）由余弦定理知，，

则；

∴，

即，

∴，

∴，

解得，即的面积的最大值是2.

【点睛】

本题考查正弦定理余弦定理的应用，考查三角形的面积最值的求解，考查计算能力，是中档题

18．如图，多面体中，平面平面，，四边形为平行四边形.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）先通过平面平面得到，再结合，可得平面，进而可得结论；

（2）取的中点，的中点，连接，，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，求这两个法向量的夹角即可得结果.

【详解】

解：（1）因为平面平面，交线为，又，

所以平面，，又，，

则平面，平面，

所以，；

（2）取的中点，的中点，连接，，则平面，平面；

以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

已知，则，，

，，，，

则，，

设平面的一个法向量，

由得令，则，，

即；

平面的一个法向量为；

.

所以二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查线线垂直的证明以及空间向量发求面面角，考查学生计算能力以及空间想象能力，是中档题.

19．已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，满足，求直线的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据题意求出，即可写出椭圆的标准方程.

（2）当直线不存在斜率时，可求出四点，可验证；当直线存在斜率时，设直线方程为，将直线分别与椭圆方程、抛物线方程联立，利用弦长公式和焦点弦公式求出、，根据解方程即可.

【详解】

解：（1）由已知椭圆的离心率，，得，则，

故椭圆的标准方程为

（2）当直线不存在斜率时，可求出，，，，

所以，，不满足条件；

当直线存在斜率时，设直线方程为，代入椭圆方程得：

，恒成立，

设，，则

∴

将直线：，代入抛物线得，

设，，则，

又因为，

由得：，∴，

解得，

所以直线的方程为.

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.

20．某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）

（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过的概率为多少？

（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ），2.786，2.800；（Ⅱ）0.432；（Ⅲ）分布列见解析，

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1，即可求得m的值；根据频率分布直方图各小组的频率，由中位数定义即可求解；结合平均数的求法，可用频率分布直方图求得平均数.

（Ⅱ）先求得月均用水量超过的概率，再结合独立重复试验中概率求法即可得恰有2户超过的概率.

（Ⅲ）按照分层抽样，先求得在月均用水量和在两个区间各自抽取的人数，可知来自用水量在区间的人数为X的取值有0，1，2，3，分别求得各自对应的概率即可得分布列，由分布列求得数学期望即可.

【详解】

（Ⅰ）由频率分布直方图得：

，

解得，

的频率为，的频率为0.35，

∴估计该社区居民月均用水量的中位数为：

平均值为：.

（Ⅱ）用此样本频率估计概率，从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，

月均用水量超过的概率为：，

∴恰有2户超过的概率为.

（Ⅲ）若按月均用水量和分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，

月均用水量中抽取：户，

月均用水量中抽取：户.

从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间的人数为X，

则X的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

∴X的分布列为：

数学期望.

【点睛】

本题考查了补全频率分布直方图，由频率分布直方图求平均数和中位数，独立重复试验概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望求法，属于中档题.

21．已知函数.其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数在处存在极值－1，且时，恒成立，求实数的最大整数.

【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增（2）的最大整数为0.

【解析】（1）求导，分，讨论的正负值，即函数的单调性；

（2）先通过函数在处存在极值－1，可求出，将恒成立，转化为，令，利用导数求的最小值.

【详解】

解：（1），

当时，，在上单调递增；

当时，，，

则时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）函数在处存在极值－1，

由（1）知，且，，

所以，，

则；

因为，，

所以时，单调递减；时，单调递增，

则在处存在极值满足题意；

由题意恒成立，即，对恒成立，

即：，设，只需，

因为，

又令，，

所以在上单调递增，

因为，.

知存在使得，

即，

且在上，，，单调递减，

在上，，，单调递增，

所以，，即，

∴，

又，

知，所以的最大整数为0.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性以及恒成立问题，其中将恒成立问题通过参变分离转化为最值问题，是常见的解决恒成立问题的手段，考查了学生计算能力，是一道难度较大的题目.

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：（为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P的直角坐标为，若直线l与曲线C分别相交于A，B两点，求的值.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）将直线l的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.

【详解】

（Ⅰ）曲线C的参数方程为：（为参数）.

变形为,平方相加后可转化为直角坐标方程得.

直线l的极坐标方程为.

展开可得,即

化简可得直角坐标方程为.

（Ⅱ）把直线的方程为转换为标准参数方程可得（t为参数）.

把直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程，

可得，

所以，，

所以由参数方程的几何意义可知

【点睛】

本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，属于中档题.

23．已知函数.

（Ⅰ）解关于x的不等式；

（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证：.

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式，分类讨论解不等式，即可求得不等式的解集.

（Ⅱ）根据绝对值三角不等式，求得的最小值，结合基本不等式即可证明不等式成立.

【详解】

（Ⅰ）即，

可得或或，

解得或或，

则原不等式的解集为；

（Ⅱ）证明：，

当且仅当，即时上式取得等号，

可得函数的最小值为1，

则，且a，b，，

由

，

可得，当且仅当取得等号，

即.,

【点睛】

本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式求最值，利用基本不等式证明不等式成立，属于中档题.