2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 理数
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理 数
一、选择题
1.已知全集为实数集，集合，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
依题意，，，则.
2.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
复数对应的点的坐标是，将点按逆时针方向旋转到点的坐标是，对应的复数为.
3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解析：
由题意可知，正三棱柱的底面边长为，高为，∴侧面积.
4.由实数组成的等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：
C
解答：
.
5.已知向量，，，且在方向上的投影为，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
.
6.函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解析：
当时，，此时令，，∴在上单调递增，故排除B，C，当时，，当时，
，∴在上单调递减，且，故排除D，综上所述，选A.
7.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量，进行回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则变量的最大值的估计值是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
依题意，，模拟函数为，所以最大值为.
8.已知抛物线的焦点为，抛物线上任意一点，且轴于点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
A
解答：
因为，设点，则，则，，则.
9.已知双曲线（，）的右焦点为，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
B
解答：
设双曲线左焦点为，因为，所以，设点，则，所以点，所以
，所以.
10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点，处各放一个目标球，表演者先将母球放在点处，通过击打母球，使其依次撞击点，处的目标球，最后停在点处，若，，，，则该正方形的边长为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
D
解答：
作与平行且相等，得到，依题意，，，，由余弦定理可以求得，从而边长为.
11.如图，点是正方体的棱的中点，点，分别在线段，（不包含端点）上运动，则（ ）
A.在点的运动过程中，存在
B.在点的运动过程中，不存在
C.四面体的体积为定值
D.四面体的体积不为定值
答案：
C
解答：
在长方体中，平面平面，又因为点在上运动，则不存在；当时，，其理由如下：设与相交于点，因为，所以，易证平面，所以，故平面，∴；因为平面，所以为定值；因为，所以点到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值.
12.已知函数（，）满足，，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
解答：
因为，则函数的周期为，所以最小正周期为，所以（），因为，则，，因为，则，则，所以，则.
二、填空题
13.曲线在点的切线方程为 .
答案：
解答：
由题意可得：，又，，故该切线方程为.
14.已知，则 .
答案：
解答：
.
15.已知函数，则的值为
.
答案：
解答：
由于函数的图像关于点对称，所以，
所以，，所以原式等于.
16.如图所示，一列圆（，）逐个外切，且均与曲线相切，若，则 ， .
答案：
解答：
当圆与相切时，消去可得方程，
由可得.
当圆与相切时，
消去可得方程，
由可得，从而，两式相减得，
而因为圆与圆外切，故，
从而，即是以为首项，为公差的等差数列，
则，.
三、解答题
17.如图，是在边上的一点，与面积比为，
.
（1）若，求的值；
（2）若，，求边的长.
答案：
见解析.
解答：
（1），所以，
所以.
（2），
所以，
所以，，
所以，
所以边.
18.如图，三棱柱中，侧面是菱形，，，点在平面上的投影为棱的中点.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
答案：
见解析
解答：
（1）因为平面，所以，又因为，，，所以，因此，所以，因此平面，所以，从而，即四边形为矩形.
（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以，，，.平面的法向量，设平面的法向量为，由，由，令，，即，所以，所以二面角的余弦值是.
19.已知函数（其中为自然对数的底，为常数）有一个极大值点和一个极小值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明的极大值不小于.
答案：
见解析
解答：
（1），由，记，，由，且时，，单调递减，；时，，单调递增，，由题意，方程有两个不同解，所以.
（2）由（1）知在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，
记，则，因为，所以，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即函数的极大值不小于.
解法二：由（1）知在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，因为，，所以，即函数的极大值不小于.
20.已知圆，圆.
（1）证明：圆与圆有公共点，并求公共点的轨迹的方程；
（2）过点，斜率为的直线与（1）中轨迹相交于，两点，点，记直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在实数使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
答案：
见解析
解答：
（1）因为，，所以，因为圆的半径为，圆的半径为，又因为，所以，即，所以圆与圆有公共点.设交点为，因此，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，所以，，，即轨迹的方程为.
（2）设过点点且斜率为的直线方程为，，，联立，消去得到，则，①，因为，，所以，将①式代入整理得，因为，所以当时，即时，.
21.某工厂生产零件，工人甲生产一件零件，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，，，工人乙生产一件零件，是--等品、二等品、三等品的概率分别为，，.已知生产一件一等品、二等品、三等品零件给工厂带来的效益分别为元、元、元
（1）试根据生产一件零件给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏：
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产--件零件，如果一方生产的零件品级优于另一方生产的零件，则该方得分分，另一方得分分，如果两人生产的零件品级一-样，则两方都不得分，当一方总分为分时，比赛结束，该方获胜，，表示甲总分为时，最终甲获胜的概率.
①写出，的值；
②求决赛甲获胜的概率.
答案：
见解析
解答：
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为元、元，随机变量，的分布列分别为
所以，，所以，即乙的技术更好.
（2）①表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以，表示的是甲得分时，甲最终获胜的概率，所以.
②每轮比赛甲得分的概率，甲得分的概率为，甲得分的概率为，所以当时，，所以是等差数列，则，即决赛甲获胜的概率是.
四、选做题（2选1）
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线和的极坐标方程；
（2）设射线分别与曲线和相交于，两点，求的值.
答案：
见解析
解答：
（1）曲线的极坐标方程为，
的极坐标方程为.
（2）令，则，，
则，即，
所以，，故.
23.已知，，.
（1）求的最小值；
（2）证明.
答案：
见解析
解答：
（1），当且仅当，即，时，的最小值为.
（2）要证明，由，，也即证.
因为，当且仅当时取等号，所以，即.
