2020届江苏省宿迁市高三第二模拟考试数学试卷

2020届江苏省宿迁市高三第二模拟考试数学试卷
答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，．若，则实数a的值是 ▲ ．
【答案】9
2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．
【答案】
3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．
【答案】10
（第4题）
N
开 始
S < k
Y
输出S
结 束
S ← 15，k ← 1
k ← k + 1

4．右图是一个算法流程图，则输出的S的值是 ▲ ．
【答案】
5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：
在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则
平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．
甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．
【答案】
6．在△ABC中，已知B = 2A，AC = BC，则A的值是 ▲ ．
【答案】
O1
O2
·
（第8题）
O
·
7．在等差数列{an} ( n ∈ N*)中，若a1 = a2 + a4，a8 = -3，则a20的值是 ▲ ．
【答案】15
8．如图，在体积为V的圆柱O1O2中，以线段O1O2上的点O为顶点，上下
底面为底面的两个圆锥的体积分别为V1，V2，则的值是 ▲ ．
【答案】
9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左顶点为A，右焦点为F，过F
作x轴的垂线交双曲线于点P，Q．若△APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ．
【答案】2
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条
切线，切点为．若，则PC的长是 ▲ ．
【答案】
11．若x > 1，则的最小值是 ▲ ．
【答案】8
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线在点处的切线与x轴相交于点A，其中为自然对数的底数．若点B ( x0，0 )，△PAB的面积为3，则的值是 ▲ ．
【答案】
13．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而
O
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
（1）
（2）
（第13题）
成的（如图（2）），其中OA1 = A1A2 = A2A3 = … = A7A8 = 1，则的值是 ▲ ．






【答案】
14．设函数f ( x ) 若存在实数m，使得关于x的方程f ( x ) = m有4个
不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是 ▲ ．
【答案】
说明：第6题答案写成角度也对；
第12题自然对数符合“ln”书写错误不给分；
第14题答案写成“”或者“”也算正确。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知向量()，，
其中．
（1）求()的值；
（2）若()，且()∥，求的值．
解：（1）因为向量，，
所以 ……2分
……4分
． ……6分
（2）因为，所以．
因为∥，所以． ……9分
于是，
从而，即． ……12分
因为，所以．于是，即． ……14分
说明：第12-14分中没有角的范围直接扣2分；只要写就不扣分。
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA = CB，点P，Q分别为AB1，CC1的中点．
A
B
C
Q
P
A1
C1
B1
（第16题）
D
求证：（1）PQ∥平面ABC；
（2）PQ⊥平面ABB1A1．
证明：（1）取的中点，连结．
在△中，因为分别为中点，
所以，且．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，．
因为为棱的中点，所以，且． ……3分
于是，．
所以四边形为平行四边形，从而． ……5分
又因为，，所以． ……7分
（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，．
又，所以．
因为，为中点，所以． ……10分
由（1）知，所以，． ……12分
又因为，，，
所以． ……14分
说明：第10分后，若是证明，则后面4分均不给。
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，椭圆E： 的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．
（1）求椭圆E的方程；
y
x
O
A
C
·
（第17题）
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N．当时，求直线l的方程．
解：（1）记椭圆的焦距为2c（）．
因为右顶点在圆C上，右准线
与圆C：相切．
所以  解得 
于是，
所以椭圆方程为：． ……4分
（2）法1：设，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：．
由方程组 消去得，．
所以，解得． ……6分
由方程组   消去得，
所以，解得． ……8分
因为，所以． ……10分
即，解得 ， ……12分
所以直线l的方程为或 ． ……14分
法2：设，当直线l与x轴重合时，不符题意．
设直线l的方程为：．
由方程组 消去得，，
所以 ． ……6分
由方程组   消去得， ，
所以 ． ……8分
因为，所以． ……10分
即，解得 ， ……12分
所以直线l的方程为或 ． ……14分
18．（本小题满分16分）
某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来
种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE将△ABC分成面积之比为2:1的两部分（点D，
E分别在边AB，AC上）；再取DE的中点M，建造直道AM（如图）．设AD = x，DE = y1，
AM = y2 （单位：百米）．
（1）分别求 y1，y2关于x的函数关系式；
D
A
E
（第18题）
M
C
B
（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．
解：（1）因为，△ABC是边长为3的等边三角形，又AD = x，
所以，所以． ……2分
由，得． ……4分
说明：不论使用何方法，只要给出结果即可。
法1：在中，由余弦定理，得
．
所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．
……6分
在和中，由余弦定理，得
①
② ……8分
因为M为DE的中点，所以．
由①+②，得，
所以，
所以．
所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为．
……10分
法2：因为在中，，
所以．
所以，直道DE长度y1关于x的函数关系式为．
……6分
在△ADE中，因为M为DE的中点，所以． ……8分
所以．
所以，直道AM长度y2关于x的函数关系式为．
……10分
（2）由（1）得，两条直道的长度之和为

……12分
（当且仅当即时取）． ……14分
答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．……16分
19．（本小题满分16分）
若函数f ( x )在x0处有极值，且f ( x0 ) = x0，则称x0为函数f ( x )的“F点”．
（1）设函数f ( x ) = k x2 - 2 ln x ( kR ) ．
① 当k = 1时，求函数f ( x )的极值；
② 若函数f ( x )存在“F点”，求k的值；
（2）已知函数g ( x ) = ax3 + bx2 + cx ( a，b，c ∈ R，a 0 ) 存在两个不相等的“F点”x1，x2，
且| g (x1) - g (x2) | ≥ 1，求a的取值范围．
解：（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x2 - 2 ln x ( kR )，
所以，令得x = 1， ……2分
列表如下：


1


-

+

↘
极小值
↗



所以函数在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分
② 设x0是函数的一个“F点”．
　　　　　　　因为,所以x0是函数的零点．
所以，由，得，
由，得，即． ……6分
设，则，
所以函数在上单调增，注意到，
所以方程存在唯一实根1，
所以，得， ……8分
根据①知，时，是函数的极小值点，
所以1是函数的“F点”．
综上，得实数k的值为1． ……9分
说明：没有检验过程“是函数的极小值点”扣一分
（2）因为g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a，b，c ∈ R，a ≠ 0 )
所以．
又因为函数g (x) 存在不相等的两个“F点”x1和x2，
所以x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根．
所以
又g (x1) = ax13 + bx12 + cx1 = x1，g (x2) = ax23 + bx22 + cx2 = x2，
所以g (x1) - g (x2) = x1- x2，即(a x13 + bx12 + cx1)- (ax23 + bx22 + cx2) = x1- x2，
从而( x1- x2) [a (x12+ x1x2 +x22)+ b (x1+ x2 )+ c]= x1- x2．
因为，所以， ……11分
即．
所以． ……13分
因为| g (x1) - g (x2) | ≥ 1，
所以

解得．
所以，实数a的取值范围为． ……16分
（2）（解法2）
因为g (x) = ax3 + bx2 + cx ( a，b，c ∈ R，a ≠ 0 )
所以．
又因为函数g (x) 存在不相等的两个“F点”x1和x2，
所以x1，x2是关于x的方程组的两个相异实数根．
由得． ……11分
（2．1）当是函数g (x) 一个“F点”时，且．
所以，即．
又，
所以，所以．
又a ≠ 0，所以． ……13分
（2．2）当不是函数g (x) 一个“F点”时，
则x1，x2是关于x的方程的两个相异实数根．
又a0，所以得
所以，得．
所以，得．
综合（2．1）（2．2），实数a的取值范围为． ……16分
20．（本小题满分16分）
在等比数列{ an }中，已知．设数列{ bn }的前n项和为Sn，且b1 = -1，
．
（1）求数列{ an }的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列{ cn }，使得对任意nN*，都有？若存在，求出所有
符合题意的等差数列{ cn }；若不存在，请说明理由．
解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得．
所以数列的通项公式为：． ……3分
（2）由（1）得，当时，， ①
所以，， ②
②－① 得，， ……5分
所以，，即，． ……7分
因为，由① 得，，所以，
所以，．
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列． ……8分
（3）由（2）得 =n－2，所以bn=，Sn=－2(an+1+bn+1)=－2(+)=－.
假设存在等差数列{cn}，其通项cn=dn+c，使得对任意，都有Sn≤cn≤an，
即对任意，都有－≤dn+c≤. ③ ……10分
首先证明满足③的d=0. 若不然，d≠0，则d＞0，或d＜0.
(i) 若d＞0，则当n＞，时，cn=dn+c＞1≥= an，
这与cn≤an矛盾.
(ii) 若，则当n＞－，时，cn=dn+c＜－1.
而Sn+1－Sn=－+=≥0，S1= S2＜S3＜……,所以Sn≥S1=－1.
故cn=dn+c＜－1≤Sn，这与Sn≤cn矛盾.
所以d=0. ……12分
其次证明：当x≥7时，f(x)=(x－1)ln2－2lnx＞0.
因为f ′(x)=ln2－＞ln2－＞0，所以f(x)在[7，+∞)上单调递增，
所以，当x≥7时，f(x)≥f(7) =6ln2－2ln7= ln＞0.
所以当n≥7，时，2n-1＞n2. ……14分
再次证明c=0.
(iii)若c＜0时，则当n≥7，n＞－，n∈N*，Sn=－＞－＞c，这与③矛盾.
(iv)若c＞0时，同(i)可得矛盾.
所以c=0.
当时，因为，，
所以对任意，都有Sn≤cn≤an．所以．
综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为满足题设． ……16分
说明：第2小题中没有检验扣1分；
第3小题中第10分的后面，如果学生能够找到，但是说理不清楚的再给两分。
数学Ⅱ（附加题）
21A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A的逆矩阵A-1．若曲线C1：在矩阵A对应的变换作
用下得到另一曲线C2，求曲线C2的方程．
解：因为，所以，即．
所以解得所以． ……4分
设为曲线C1任一点，则，
又设在矩阵A变换作用得到点，
则，即，所以即 ……6分
代入，得，
所以曲线C2的方程为． ……10分
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知曲线C的方程为，直线l的方程为．
设直线与曲线相交于A，B两点，且，求r的值．
解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，
于是曲线C：的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为的圆．
……3分
由直线l的方程，化简得，
所以直线l的直角坐标方程方程为． ……6分
记圆心到直线的距离为，则，
又，即，所以． ……10分
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数x，y，z满足，证明：．
证明：因为，
所以． ……5分
由柯西不等式得，
．
所以 ．
所以． ……10分
22．（本小题满分10分）
小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都
是，且是否休假互不影响．若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人
到该店维持营业，否则该店就停业．
（1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望．
解：（1）记2家小店分别为，店有人休假记为事件，店有人
休假记为事件，发生调剂现象的概率为．
则，
，
．
所以．
答：发生调剂现象的概率为． ……4分
（2）依题意，X的所有可能取值为．
则，
，
． ……8分
X
0
1
2




所以X的分布表为：


所以． ……10分
说明：第1小题中如果只有式子“”，没有必要的说理只给2分；
第2小题中8分前，X的可能取值和三个概率，写对一个给一分。
23． （本小题满分10分）
我们称n ( nN* )元有序实数组 ( x1，x2，…，xn ) 为n维向量，为该向量的范数．
已知n维向量= ( x1，x2，…，xn )，其中xi{ -1，0，1 }，i = 1，2，…，n．记范数为奇数
的n维向量的个数为An，这An个向量的范数之和为Bn．
（1）求A2和B2的值；
（2）当n为偶数时，求An，Bn（用n表示）．
解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，
它们的范数依次为，故． ……3分
（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，
则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：
的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
…
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
所以，
． ……6分
因为， ①
，②
得，，
所以． ……8分
解法1：因为，
所以．


． ……10分
解法2：得，．
又因为，
所以．


． ……10分