2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（理）试题
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数学（理）
一.选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设集合，，则( )
A． B． C． D．
2. 已知命题，则为( )
A. B．
C． D．
3.已知是的共轭复数，则( )
4. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A. B． C. D．2
5. 下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( )
A． B．
C． D．
6. 若，则 ( )
A． B． C． D．
7. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )
A．18种 B．36种 C．54种 D．72种
9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )
A． B C． D．
10.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为C的左焦点，P为C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为
A. B.
C. D.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则面积的最大值是( )
A． B． C． D．
12. 已知函数，关于的方程（R）有四个相异的实数根，则m的取值范围是( )
A． B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知，，的夹角为，，则_________．
14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为2，则该几何体外接球的体积为________．
15. 设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是_________．
16. 已知函数，则下列结论中正确的是_______ __．
①是周期函数； ②的对称轴方程为；
③在区间上为增函数； ④方程在区间有6个根.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. （本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中，，，，，， 分别为 ， 中点．
（1）求证：；
（2）求二面角 的大小．
18. （本小题满分12分）
某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．
| 理科方向 | 文科方向 | 总计 |
男 |
|
| 110 |
女 |
| 50 |
|
总计 |
|
|
|
(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．
参考公式和参考临界值见后：
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考临界值：
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
19. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且、、成等差数列，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
20. （本小题满分12分）
从抛物线：外一点作该抛物线的两条切线（切点分别为），分别与轴相交于，若与轴相交于点，点在抛物线上，且（为抛物线的焦点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）①求证：四边形是平行四边形.
②四边形能否为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求实数和的值；
（3）证明：
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标．
23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】
已知.
（1）求的最小值；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
西安中学高三第一次模拟考试
理科数学答案
一.选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | C | D | B | C | B | D | B | A | D | A | A |
二.填空题
13. 1 14. 15. 16. ①②④
三.解答题
17. （1） 连接 ．因为 ，所以 ．因为 ，，
所以 ．又 ，所以 ．而 ，所以 ．
（2） 因为 且交于 ，，所以 ，则以 为原点建立空间直角坐标系，如图：所以 ，，，
所以 ，．设平面 的法向量 ，
所以 令 ，得 ．，所以平面 的法向量为 ．
由图知 ，由图知 ，所以 ，即二面角 的大小为 ．
18. 解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
| 理科方向 | 文科方向 | 总计 |
男 | 80 | 30 | 110 |
女 | 40 | 50 | 90 |
总计 | 120 | 80 | 200 |
又K2＝≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．
(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p＝＝.
依题意知ξ～B，所以P(ξ＝i)＝Ci3－i(i＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
所以期望E(ξ)＝np＝，方差D(ξ)＝np(1－p)＝.
19. 解析：（1）因为，，成等差数列，所以，①
所以．②
① －②，得，所以．
又当时，，所以，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即．
（2）根据（1）求解知，，，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
又因为，，，，，，，，
，，，
所以
．
20. 解：（1）因为,所以，即抛物线的方程是
（2）由得，.设，
则直线的方程为， ①
则直线的方程为，②
由①和②解得：，所以
设点，则直线的方程为
由得 ,则
所以，所以线段被轴平分，即被线段平分，
在①中，令解得，所以，同理得，所以线段的中点，
坐标为，即 ，
又因为直线的方程为，所以线段的中点在直线上，
即线段被线段平分,因此，四边形是平行四边形。
若四边形是矩形，则,即
解得，故当点为，即为抛物线的焦点时，四边形是矩形。
21.解：（1）由已知可得函数的定义域为，且，令，则有，由可得.
当时，，当时，，可知函数在单调递减，在单调递增.
则，即，可得函数在区间单调递增.
（2）由已知可得的定义域为，且，由已知得，即 ①
由可得， ②
联立①②，消去，可得③
令，则，
由（1）知，，故，故在区间单调递增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得即
（3）证明：有（1）知在区间单调递增，故当时，，可得在单调递增.
因此，当时，，即，亦即，这时，故可得.
取，可得
而，
故
所以.
22. （1）由消去参数得，即曲线的普通方程为，
又由得，即为，即曲线的平面直角坐标方程为．
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，∴直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．
∵，则，直线的倾斜角为，即点的极角为，∴点的极角为，点的极角为，∴三个点的极坐标为，，．
23.（1） 可得，又由，两边同除以 ，得，
，当且仅当时取得等号，即时等号成立，，解得：
，当且仅当时等号成立，的最小值为2.
（2）由（1）知，，对任意，都有
则即
当时，得，；
当时，得，，即；
当时，得，，即.综上，.实数的取值范围是.解法2:
