2020届四川省宜宾市高三第二次诊断测试数学（文）试题
展开宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断测试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设是虚数单位，则
A． B． C． D．
2．已知集合，则
A． B． C． D．
3．2019年底，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各省（市、区）在春节期间相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.下图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列表述错误的是
A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值
4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
5．如图，为了估计函数的图象与直线以及轴所围成的图形面积(阴影部分)，在矩形中随机产生个点，落在阴影部分的样本点数为个，则阴影部分面积的近似值为
A． B．
C． D．
6．函数的图像大致为
A． B． C． D．
7．20世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是
A． B． C． D．
8．已知，
A． B． C． D．
9．四棱锥所有棱长都相等，分别为的中点，下列说法错误的是
A．与是异面直线 B．平面
C． D．
10．在中，角的平分线交边于，，则的面积是
A． B． C． D．
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交抛物线的准线于点，若，则
A. B. C. D.
12．若定义在上的偶函数满足.当，，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．函数的零点个数为_________.
14．已知为奇函数，则_________.
15．在中，已知是边的垂直平分线上的一点，则＝_________.
16．已知圆锥的顶点为，过母线，的切面切口为正三角形，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
年龄（） | |||||
患病人数（） |
（1）求关于的线性回归方程；
（2）计算变量的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性较弱.）
参考数据：
参考公式:，相关系数
18.（12分）
已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为,求.
．(12分)
将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.
（1）求证平面；
（2）求几何体的体积.
20．(12分)
已知椭圆的左焦点为，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于.当四边形是平行四边形时，求四边形的面积．
21．（12分）
已知函数. 证明：
（1）函数在上是单调递增函数；
（2）对任意实数，若，则．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22．(10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为 ，直线的极坐标方程为，设与交于两点，中点为,的垂直平分线交于.以为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系.
（1）求的直角坐标方程及点的直角坐标；
（2）求证：.
23．(10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围．
宜宾市普通高中2017级高三第二次诊断试题(文科数学)参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | D | C | D | A | B | A | B | C | C | A | D | A |
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由题意得···············································2分
由公式求得····················································4分
···························································6分
（2）·····························································9分
∴说明负相关
又，说明相关性很强.
∴可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强····················12分
18．解：（1）令， 当时，，
当时，，则， 故···················································6分
（2），····························································8分
································································12分
19. 解：（1）取中点为，连接.
正方形中为的中点, ∴为的中点.
又∵正方体中,
∴ . ∴.
∴四边形为平行四边形, ∴∴.
∴四边形为平行四边形 .∴.
又平面，平面,
∴平面············································6分
（2）
,··························12分
20．（1）由已知得：，所以.
又，解得，所以椭圆的标准方程为：.·································4分
（2）设点的坐标为，则直线的斜率,
当时，直线的斜率，直线的方程是.
当时，直线的方程也符合的形式.
由 得 . 其判别式.
设，则 .
因为四边形是平行四边形，所以，即.
所以 解得.
此时四边形的面积.···················································12分
21．解：（1）,,
令,,函数单增;
,,函数 单减;
所以 .
故函数在上是单调递增函数；·····································4分
（2）因,在上是单调递增函数,不妨设,
构造,
,,所以单增,
,所以单减,
因,有.
由（1）知, 在上是单调递增函数,有,即.·······························12分
22．解：（1）.,
联立的方程得;,解得 . .········································5分
（2）由（1）得 .
又设的垂直平分线 代入的方程得：，
······················································10分
23解：（1）························································2分
当时， 解得.
当时， 解得.
当时， 解得.
综上得或.
∴不等式的解集为.··················································5分
（2）∵存在实数，不等式成立,
∴存在实数，不等式成立.
∴存在实数，不等式成立.···········································7分
又∵,
∴.····························································9分
∴,解得.∴的范围是·················································10分
