2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题（解析版）

2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求函数定义域确定集合，然后由集合交集定义求解．

【详解】

由题意，.根据交集的定义得.

故选：D．

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算.，掌握对数函数性质是解题关键．

2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由复数除法运算计算出，再由复数概念得结论．

【详解】

由知，故复数的虚部为.

故选：B．

【点睛】

本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数，复数的虚部为，不是.

3．某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示，则该校女生人数是（    ）

A．1660 B．1960 C．2040 D．2340

【答案】A

【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得．

【详解】

思路点拨女生人数.

故选：A．

【点睛】

本题考查统计图中的扇形图，属于基础题．

4．已知双曲线：的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【解析】由渐近线的夹角得的关系式，从而可得的关系式，求得离心率．

【详解】

由双曲线：的方程，可知渐近线方程为.由得，所以，即，所以，即，所以离心率.

故选：A．

【点睛】

本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出的关系式即可，如果忽略条件中的，则导致结果有两种可能，从而错选C.

5．执行如图所示的程序框图，若输人的，则输出的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】由程序框图，确定函数的解析式，然后可求得值域．

【详解】

由程序框图可知，，函数在区间上单调递增，值域为；函数在区间上也单调递增，值域为，所以当时，的取值范围为.

故选：B．

【点睛】

本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.

6．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解．

【详解】

如图，设圆柱的高为，由题意可得，所以，从而圆柱的侧面积，

故选：D.

【点睛】

本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算．

7．已知数列是等差数列，其前项和为，且，，则使成立的最小自然数为（    ）

A．1009 B．1010 C．1011 D．1012

【答案】C

【解析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质确定项的正负．

【详解】

因为，所以，即，.

因为，所以，即，所以.

故选：C．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式及前项和公式，考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论．

8．设满足约束条件的变量，形成的区域为，有下列四个命题：

：，；：，；.

：，；：，.

其中正确命题的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】作出可行域，再作直线，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断．

【详解】

思路点拨约束条件所表示的可行域为图中三角形区域，直线经过三角形的一个顶点，根据题意可知

：，正确，：，正确，可行域均在直线的上方，故：，正确，：，错误，

故选：C.

【点睛】

本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线，由直线与可行域的关系得出结论．

9．2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】把6人编号，然后写出各选1人的所有基本事件，从中可得2人性别相同的基本事件的个数，从而计算出概率．

【详解】

由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为，，，

获得跳远奖牌的三名运动员分别为，，则从中各选1人的基本

事件有：，，，，，，，，，共9个，而2人性别相同的基本事件有：，，，，共4个，故所求的概率为.

故选：B．

【点睛】

考查目标本题考查古典概型的计算．求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择.

10．在中，内角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为，则周长的最大值是（    ）

A．12 B．6 C．10 D．9

【答案】D

【解析】由正弦定理求出，由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即得周长最大值．

【详解】

由正弦定理，得.由余弦定理，得，所以，，当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为.

故选：D．

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用．属于中档题．

11．设曲线在点处的切线上有一动点，曲线.上有一点，则线段长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出曲线在处的切线方程，再同曲线的与直线平行的切线方程，两平行线间的距离就是所求的最小值．

【详解】

，，切线斜率，故曲线在处的切线方程为.又，令，则或（舍去）.又，故g（x）在处的切线方程为，与直线平行，这两条平行线间的距离为，故线段长度的最小值为.

故选：C．

【点睛】

本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想．解题关键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离．

12．已知椭圆的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由轴，可得出点坐标（不妨设在第一象限），由得，从而可表示出点坐标，把点坐标代入椭圆方程得的关系式，变形后可求得．

【详解】

因为轴，所以不妨设

因为，所以，即.因为，

，，∴，，

即，代入椭圆方程可得，，，

所以.

故选：C．

【点睛】

本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于的等式，本题根据三角形面积关系得出，从而表示出点坐标是解题关键．

二、填空题

13．已知向量，.若，则的值为__________.

【答案】2或

【解析】根据向量共线的坐标表示求出．

【详解】

因为与共线，所以得或.

【点睛】

本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题．

14．已知定义在区间上的函数满足，当时，，则函数的所有零点的乘积为__________.

【答案】1

【解析】由解方程的思想求出时，的零点，在根据偶函数性质得出时的零点，计算乘积即可．

【详解】

当时，由知，的零点有两个，分别为和.由题意可知函数为偶函数，所以当时，还有两个零点，即，，

所以，，从而.

【点睛】

标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法．

15．已知函数与的图象有一个横坐标为的交点，则在上的值域为__________.

【答案】

【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入可求得，再由正弦函数的单调性可求得值域．

【详解】

由题意知交点坐标为，代入的解析式可以得到，所以，.因为，所以，所以.

因为，所以，所以的值域为.

故答案为：．

【点睛】

考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域.

16．四面体的四个顶点都在半径为1的球面上，若为直角三角形，则该四面体体积的最大值为__________.

【答案】

【解析】为直角三角形，不妨设斜边是所在截面圆的直径，当且仅当为等腰直角三角形时，的面积最大，当到平面的距离最大时，四面体体积最大．由此可得解法．中点是，设，把体积表示为的函数，再由导数的知识求得最大值．

【详解】

设过，，三点的平面截已知球所得的圆为圆，因为为直角三角形，不妨设，则为圆的直径，设圆的半径为，则当且仅当为等腰直角三角形时，的面积最大，连接并延长交球面于一点，若使得四面体的体积最大，则该交点应为点，即为四面体的高，设，则有，则.

令，

则，

所以在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，的最大值为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查多面体外接球问题．解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征．然后引入参数，体积可表示为的函数，由函数知识求得最大值．

三、解答题

17．已知为等差数列的前项和，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的最小项.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由已知条件列出与的关系式，求解，得的通项公式.

（2）由（1）得出的通项公式，由通项公式得出满足时的那一项，即的最小项.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，

由，，得解得

所以.

（2）由，可得，，

当或时，，此时，

当时，，

所以数列最小项为.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题．基本量法是解决等差数列通项公式和前项和的基本方法．

18．在三棱柱中，平面，且，为棱的中点

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意应用平面几何的知识解决.

（2）注意应用等体积转化的思想，即求的体积．

【详解】

（1）由题意知，底面..

又，，，

为等腰直角三角形且，.

为的中点，.

又，平面.

平面，.

在四边形中，，，，，

与相似，.

，，.

又，平面.

（2）由题意知.

【点睛】

本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．应用等体积转化求三棱锥的体积

19．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆与圆（为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值

【答案】（1）（2）30

【解析】（1）由点在圆上，得.再根据椭圆的定义求出，然后再求得，从而求出椭圆的标准方程.

（2）设，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值.

【详解】

（1）由题意可知点在圆上，

，即，两焦点坐标分别为，.

由，得，，

故所求椭圆的标准方程为.

（1）由题意可设直线的方程为，

设，，

可得，

则，，

，

，

令，则，

故有，

当且仅当，即时取等号，

面积的最大值为30.

【点睛】

本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题．合理恰当地设出直线的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法．

20．某网站为了解某新闻的传播总人数（千人）随时间（小时）的变化情况，统计数据如下：

（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数与中，哪一个适合作为传播总人数关于时间的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立与的回归方程；

（3）若该网站的平均收益（万元）与，满足关系，试求平均收益的最小值.

附：参考数据：

表中，.

参考公式：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】（1）作图见解析；比较适合（2）（3）14.969万元

【解析】（1）由表中数据描点即可.根据散点图确定函数更适合．

（2）由题中数据计算，，代入公式即得回归方程.

（3）求出平均收益后用均值不等式计算最值．

【详解】

（1）题目中所给数据的散点图如图所示，

由散点图容易判断方程比较适合.

（2）由，两边取对数可得，即.

由题意可知，，，

，

所以，

，

所以关于的回归方程为，

所以关于的回归方程为.

（3）由（2）知网站的平均收益

，

当且仅当，即时取等号，

故平均收益的最小值为14.969万元.

【点睛】

本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用．解题根据所给数据和公式计算即可．本题还考查了学生的数据处理能力．

21．已知函数有两个极值点.

（1）求的取值范围；

（2）设的两个极值点分别为，，若不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）求导数．有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得的取值范围；

（2）利用根与系数的关系可以得到，，先转化炎关于的不等式恒成立，最后转化为关于的函数求最值.

【详解】

（1）因为有两个极值点，，

所以有两个不同的零点，

即方程（其中）有两个不同的正根，

所以，所以.

（2）由（1）知，是的两个根，

由根与系数的关系得，，所以，

所以

，

所以.

因为，所以.

设，则，

所以g（a）在上单调递减，所以，

故的最小值为.

【点睛】

本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题．考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线与交点的极坐标.

【答案】（1）；（2），，，

【解析】（1）由曲线的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数，得到曲线的普通方程，再由公式化为极坐标方程即可.对于曲线利用公式直接化为直角坐标方程即可.

（2）把曲线的极坐标方程和曲线的极坐标联立即可求得交点的极坐标.

【详解】

（1）由题意，将与-两式平方相减可得.因为所以，

即曲线的极坐标方程为.

将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为.

（2）由题意得，故，

所以或或或，即或或或.

所以两曲线交点的极坐标为，，，.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式相互转化．

23．已知实数，，，均大于零，且满足.

（1）求的最大值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用基本不等式解决.

（2）利用柯西不等式解决.

【详解】

（1）因为，

又

所以，

故有，

所以，当且仅当“”时等号成立，

所以的最大值为．

（2）由题意，利用柯西不等式可得：

，

所以，当且仅当“”时等号成立，

所以的最小值为.

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，考查用柯西不等式的应用．掌握基本不等式和柯西不等式是解题基础．