2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（文）试题（解析版）

2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三第一联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】求出继而可求.

【详解】

依题意，得，故.

故选:D.

【点睛】

本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.

2．若在复平面内，复数所对应的点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由点的坐标写出，从而可求出.

【详解】

依题意，得，则.

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把 的值误当做进行运算.

3．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．

【详解】

解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，

用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为中的．

故选：．

【点睛】

本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．

4．某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（　　）

A．44号 B．294号 C．1196号 D．2984号

【答案】B

【解析】使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有人.故抽得的号码为以15为公差的等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.

【详解】

由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.又.其他选项均不满足.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.

5．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.

【详解】

运行该程序：

第一次，，；

第二次，，；

第三次，，，

…；

第九十八次，，；

第九十九次，，，

此时要输出的值为99.

此时.

故选：C.

【点睛】

本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.

6．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.

【详解】

依题意，得，故，

故，，，

则.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.

7．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【解析】根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值.

【详解】

依题意，得，即.

将代入可得，，

解得（舍去）.

故选：D.

【点睛】

本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.

8．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先利用等比数列的性质得到的值，再根据的方程组可得的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前项和，根据后两个公式可得正确的选项.

【详解】

因为为等比数列，所以，故即，

由可得或，因为为递增数列，故符合.

此时，所以或（舍，因为为递增数列）.

故，.

故选C.

【点睛】

一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：

（1）若，则；

（2）公比时，则有，其中为常数且；

（3） 为等比数列（ ）且公比为.

9．函数的图象大致为（　　　  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.

【详解】

因为 ,

所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;

因为,故排除,

因为由图象知,排除.

故选:A

【点睛】

本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.

10．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】运用辅助角公式、二倍角公式等对整理，得.求出在上的最值，令 小于最小值， 大于最大值即可求出 的取值范围.

【详解】

依题意，得.因为

所以，所以.

因为恒成立，得

解得.故实数的取值范围为.

故选:D.

【点睛】

本题考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的最值问题，考查了不等式恒成立问题.对于求 在某区间上的最值问题时，先算出 的范围，再结合正弦函数的图像，即可求出.

11．已知点是椭圆：上的一点，，是椭圆的左、右焦点，是的平分线.若，垂足为，则点到坐标原点的距离的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】延长，相交于点，将所求转化为，结合三角形边的关系，可知的取值范围.

【详解】

解：延长，相交于点，连接.由题意知平分.又因为，

所以，所以为的中点.因为为的中点

所以

所以的取值范围为.

故选:C.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何意义，考查了中位线定理.针对此类问题，根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.

12．已知球的体积为，圆柱内接于球，其中，分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱的表面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出球的半径，作出图形，利用三角函数表示出圆柱的表面积，结合函数的性质即可求最值.

【详解】

解：设球的半径为，依题意，得，解得.

根据题意画出图形，如下图所示.设，则圆柱底面半径为，

则圆柱的高为.因此圆柱的表面积，其中.

故圆柱的表面积的最大值为.

故选:B.

【点睛】

本题考查了球的体积，考查了圆柱的表面积，考查了辅助角公式，考查了三角函数的最值.几何问题中，关于最值的问题，一般由两种解题思路：一是找到临界点进行求解；二是结合函数的思想，利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.

二、填空题

13．若变量，满足约束条件则的最大值为________.

【答案】7

【解析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.

【详解】

作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.

观察可知，当直线过点时，有最大值，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.

14．函数的极小值为________.

【答案】

【解析】求出，令导数为0，解出方程，从而可以看出 随 的变化情况，继而可求极小值.

【详解】

解：依题意，得，.令，解得.

所以当时，；当时，.

所以当时，函数有极小值.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为0解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，还要满足左右两侧函数单调性相反.

15．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.

【答案】或

【解析】用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.

【详解】

联立解得.

所以的面积，所以.

而由双曲线的焦距为知，，所以.

联立解得或

故双曲线的离心率为或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.

16．记数列的前项和为，已知，且.若，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围.

【详解】

解：由，可得.

两式相减，可得，所以数列为等差数列.当时

由，得，又，解得.

所以，则.令，则.

当时，，数列单调递减，而，，

故，即实数的取值范围为.

故答案为: .

【点睛】

本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前 项和，考查了数列的增减性.已知 的递推关系时，求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列，或者令 将得到的式子与原式相减.

三、解答题

17．2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：

若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为.

（1）完善上述表格；

（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？

附：，其中.

【答案】（1）表格见解析；（2）没有

【解析】（1）由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数，结合男女各100人，即可求出表中所有数据.

（2）代入求出的观测值，进而可判断.

【详解】

（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强的女性观众人数为.

完善表格如下表所示：

（2）本次试验中，的观测值.

所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关.

【点睛】

本题考查了独立性检验，考查了概率.易错点是计算观测值.

18．的内角，，的对边分别是，，，已知.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.

（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.

【详解】

（1）由，得.

所以由余弦定理，得.

又因为，所以.

（2）由，得.

由正弦定理，得，因为，所以.

又因，所以.

所以的面积.

【点睛】

在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

19．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面平面，是等边三角形.

（1）求证：；

（2）若的面积为，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）取的中点，连接，，结合等边三角形和菱形可证明，，从而可证明平面，进而可证.

（2）由的面积为可求出的边长为4，由平面平面可知，平面，则分别求出的面积以及 的长，利用可求出点到平面的距离.

【详解】

（1）证明：取的中点，连接，，.

因为是等边三角形，是的中点，所以.

因为四边形是菱形，，所以是等边三角形，所以.

因为，且平面，平面，所以平面.

又因平面，所以.

（2）解：设，则，解得.

因为平面平面，，所以平面.

记点到平面的距离为，则.

易知，.在中，由，得

.边上的高为.

所以.而，

所以.解得.即点到平面的距离为.

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求.

20．已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；

（Ⅱ）构造函数，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.

【详解】

（Ⅰ）当时，，则.

所以.

又，故所求切线方程为，即.

（Ⅱ）依题意，得，

即恒成立.

令，

则.

①当时，因为，不合题意.

②当时，令，

得，，显然.

令，得或；令，得.

所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.

当时，，，

所以，

只需，所以，

所以实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.

21．已知抛物线：（）.

（1）若抛物线的焦点到准线的距离为4，点，在抛物线上，线段的中点为，求直线的方程；

（2）若圆以原点为圆心，1为半径，直线与，分别相切，切点分别为，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由距离为4可求出进而可求出抛物线的方程.设，，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.

（2）设直线的方程为（），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求，.设，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出，，从而，结合基本不等式，可求出有最小值.

【详解】

解：（1）由抛物线的焦点到准线的距离为4，得.所以抛物线的方程为.

设，，则，所以，即

.因为线段的中点的坐标为，

所以且.所以.

故直线的方程为，即直线的方程为

经检验符合题意.

（2）设直线的方程为（）.代入，得.（）

由直线与抛物线相切可知，，故.①

又直线与圆相切，所以，即.②

联立①②，得，故.

设，解（）式可得，，从而.

故，

当且仅当时，有最小值，为.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了中点弦问题，考查了直线与圆锥曲线相切，考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题，一般设出弦端点的坐标，带回方程，两式相减，通过整理，可得到弦的斜率和中点坐标的关系.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．

（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．

【答案】（1）l： ，C方程为 ；（2）＝

【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．

【详解】

(1)曲线C的参数方程为（m为参数），

两式相加得到，进一步转换为．

直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，则

转换为直角坐标方程为．

（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），

代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），

所以，，

所以＝．

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

23．已知x，y，z均为正数．

（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8

【解析】（1）利用基本不等式可得 , 再根据0＜xy＜1时, 即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz.

（2）由＝, 得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值.

【详解】

（1）证明：∵x，y，z均为正数，

∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，

当且仅当x＝y＝z时取等号．

又∵0＜xy＜1，∴，

∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；

（2）∵＝，即．

∵，

，

，

当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，

∴，

∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，

∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．

【点睛】

本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．