2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：8专题八 函数综合题

专题八　函数综合题

类型一 一次函数与反比例函数综合题

(2019·粤西联考)已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)求两函数图象的另一个交点坐标；

(3)直接写出不等式：kx＋b≤的解集．

【分析】 (1)先求出A，B，C坐标，再利用待定系数法确定函数表达式．

(2)两个函数的表达式作为方程组，解方程组即可解决问题．

(3)根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．

【自主解答】

1．(2019·中山模拟)如图，点A(－1，m)是双曲线y1＝与直线y2＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，另一个交点C在第四象限，AB⊥x轴于B，且cos∠AOB＝.

(1)求m的值；

(2)求△AOC的面积；

(3)直接写出使y1＞y2成立的x的取值范围．

2．如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，且与反比例函数y＝(x<0)交于点A(－1，n)．

(1)求直线与反比例函数的表达式；

(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；

(3)若点D在x轴正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

类型二 一次函数与二次函数综合题

(2019·广东模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线表达式；

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；

(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】 (1)①利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；

②设抛物线的表达式为y＝a(x＋4)(x－1)，然后将点C的坐标代入即可求得a的值；

(2)设点P，Q的横坐标为m，分别求得点P，Q的纵坐标，从而可得到线段PQ＝－m2－2m，然后利用三角形的面积公式以及配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分类讨论即可，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

【自主解答】

解答存在性问题的一般思路

解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．

3．(2019·菏泽)如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，－2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝－1.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积；

(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

4．(2019·安顺)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线 y＝x＋3 分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC.已知A(0，3)，C(－3，0)．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MC|的值最大，并求出这个最大值；

(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三 一次函数、反比例函数与二次函数综合题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 y1＝kx＋b 与反比例函数y2＝的图象交于点A(1，5)和点B(m，1)．

(1)求m的值和反比例函数的表达式；

(2)当x＞0时，根据图象直接写出不等式≥kx＋b的解集；

(3)若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的表达式．

【分析】 (1)利用待定系数法求得反比例函数表达式，然后把B的坐标代入求得m的值；

(2)不等式≥kx＋b的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的交点以及反比例函数图象在上方时对应的x的范围；

(3)利用待定系数法即可求得二次函数的表达式．

【自主解答】

5．如图，在平面直角坐标系中，过点A(2，0)的直线l与y轴交于点B，tan∠OAB＝，直线l上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1.

(1)求直线l的表达式；

(2)若反比例函数y＝的图象经过点P，求m的值及反比例函数的表达式；

(3)若一抛物线过A，P两点，且对称轴为y轴，求此抛物线的顶点坐标．

类型四 二次函数与几何变换综合题

(2019·广东)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋x－与x轴交于点A，B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE.

(1)求点A，B，D的坐标；

(2)求证：四边形BFCE是平行四边形；

(3)如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似(不含全等)．

①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；

②直接回答这样的点P共有几个？

【分析】 (1)利用抛物线表达式求得点A，B，D的坐标；

(2)欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；

(3)①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边(角)，需要分类讨论；

②根据①的结果即可得到结论．

【自主解答】

6．(2019·聊城)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与x轴交于点A(－2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求 Rt△PFD 面积的最大值．

参考答案

类型一

【例1】 (1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2.

∵CD⊥x轴，∴DC∥OB，

∴＝，∴＝，∴CD＝10，

∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)．

将A，B代入y＝kx＋b得

解得

∴一次函数为y＝－2x＋6.

∵反比例函数y＝经过点C(－2，10)，∴n＝－20，

∴反比例函数表达式为y＝－.

(2)由解得或

∴另一个交点坐标为(5，－4)．

(3)由图象可知kx＋b≤的解集为－2≤x＜0或x≥5.

跟踪训练

1．解：(1)∵A(－1，m)，AB⊥x轴于B，∴OB＝1.

∵cos∠AOB＝，

∴OA＝，∴AB＝＝3，

∴A(－1，3)，∴m＝3.

(2)∵A(－1，3)是双曲线y1＝与直线y2＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，

∴k＝－3，

∴反比例函数的表达式为y1＝－，

一次函数的表达式为y2＝－x＋2，

解得或

∴C(3，－1)，

∴S△AOC＝×2×1＋×2×3＝4.

(3)由图象知，使y1＞y2成立的x的取值范围是－1<x<0或x>3.

2．解：(1)将C(4，0)代入y＝x＋b得0＝4＋b，

解得b＝－4，

∴直线的表达式为y＝x－4.

当x＝－1时，y＝－5，

∴A(－1，－5)．

将A代入y＝得m＝5，

∴反比例函数的表达式为y＝.

(2)如图，过点O作OM⊥AC于点M.

∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，

∴令x＝0，得y＝－4，

∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，

∴△OCB是等腰直角三角形，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴在Rt△OMB中，sin∠OBM＝sin 45°＝＝，

∴OM＝2.

∵点A坐标为(－1，－5)，∴AO＝＝，

∴在Rt△AOM中，sin∠OAB＝＝＝，

∴∠OAB的正弦值为.

(3)存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似．

如图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝ON－OB＝5－4＝1，

∴△ABN为等腰直角三角形，且∠ANB＝90°，

∴AB＝＝.

∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4.

又∵∠ABN＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°.

①当△OBA∽△BCD时，＝，

即＝，解得CD＝2.

∵点C(4，0)，∴此时点D为(6，0)．

②当△OBA∽△DCB时，＝，

即＝，解得CD＝16，

此时点D为(20，0)．

综上所述，当点D的坐标为(6，0)或(20，0)时，以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似．

类型二

【例2】 (1)①y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；

当y＝0时，x＝－4，

∴C(0，2)，A(－4，0)．

由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x＝－对称，

∴点B的坐标为(1，0)．

②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－4，0)，B(1，0)，

∴可设抛物线表达式为y＝a(x＋4)(x－1)．

又∵抛物线过点C(0，2)，

∴2＝－4a，∴a＝－，∴y＝－x2－x＋2.

(2)设P(m，－m2－m＋2)．

如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q(m，m＋2)，

∴PQ＝－m2－m＋2－(m＋2)＝－m2－2m.

∵S△PAC＝PQ·4＝2PQ＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4，

∴当m＝－2时，△PAC的面积有最大值，最大为4，

此时P(－2，3)．

(3)在Rt△AOC中，tan∠CAO＝，

在Rt△BOC中，tan∠BCO＝，

∴∠CAO＝∠BCO.

∵∠BCO＋∠OBC＝90°，

∴∠CAO＋∠OBC＝90°，∴∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO.

如图，

①当M点与C点重合，即M1(0，2)时，△M1AN1∽△BAC；

②根据抛物线的对称性，当M2(－3，2)时，△M2AN2∽△ABC；

③当点M在第四象限时，设M(n，－n2－n＋2)，则N(n，0)，

∴MN＝n2＋n－2，AN＝n＋4.

当＝时，MN＝AN，

即n2＋n－2＝(n＋4)，

整理得n2＋2n－8＝0，

解得n1＝－4(舍)，n2＝2，

∴M3(2，－3)．

当＝时，MN＝2AN，

即n2＋n－2＝2(n＋4)，

整理得n2－n－20＝0

解得n1＝－4(舍)，n2＝5，

∴M4(5，－18)．

综上所述，存在M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，－18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似．

跟踪训练

3．解：(1)点A的坐标是(2，0)，抛物线的对称轴是直线 x＝－1，则点B(－4，0)，

设函数的表达式为y＝a(x－2)(x＋4)，

将点C(0，－2)代入得－8a＝－2，解得a＝，

故抛物线的表达式为y＝x2＋x－2.

(2)一次函数表达式为y＝mx＋n，将点B，C的坐标代入可求得y＝－x－2，则tan∠ABC＝，sin∠ABC＝，

设点D(x，0)，则点P(x，x2＋x－2)，

点E(x，－x－2)．

∵PE＝OD，

∴PE＝x2＋x－2＋x＋2＝－x，

解得x＝0(舍去)或－5，

即点D(－5，0)，

S△PBE＝PE·BD＝××1＝.

(3)设M(x，－x－2)，

∵△BDM是以BD为腰的等腰三角形，∴BD＝BM.

∵BD＝1，∴(x＋4)2＋(－x－2)2＝1，

解得x1＝，x2＝.

∵点M在x轴的上方，

∴x＝，此时－x－2＝.

∴存在M(，)，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形．

4．解：(1)将A(0，3)，C(－3，0)代入y＝x2＋bx＋c得

解得

∴抛物线的表达式是y＝x2＋x＋3.

(2)将直线y＝x＋3与y＝x2＋x＋3联立并解得x＝0或－4.

∵A(0，3)，∴B(－4，1)．

①当点B，C，M三点不共线时，|MB－MC|＜BC，

②当点B，C，M三点共线时，|MB－MC|＝BC，

∴当点B，C，M三点共线时，|MB－MC|取最大值，即为BC的长．

如图，过点B作BE⊥x轴于点E，在 Rt△BEC 中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB－MC|取最大值为.

(3)存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

设点P坐标为(x，x2＋x＋3)(x＞0)．

在Rt△BEC中，

∵BE＝CE＝1，∴∠BCE＝45°，

在Rt△ACO中，

∵AO＝CO＝3，∴∠ACO＝45°，

∴∠ACB＝180°－45°－45°＝90°，AC＝3.

如图，过点P作PQ⊥PA于点P，则∠APQ＝90°，过点P作PG⊥y轴于点G.

∵∠AGP＝∠APQ＝90°，∠PAG＝∠QAP，

∴△PGA∽△QPA.

∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∴当＝＝时，

△PAG∽△BAC，

∴＝，

解得x1＝1，x2＝0(舍去)，

∴点P的纵坐标为×12＋×1＋3＝6，

∴点P为(1，6)．

当＝＝3时，△PAG∽△ABC，

∴＝3，

解得x1＝－(舍去)，x2＝0(舍去)，

∴此时无符合条件的点P.

综上所述，存在点P(1，6)，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

类型三

【例3】 (1)∵反比例函数y2＝的图象交于点A(1，5)，

∴n＝5，

∴反比例函数的表达式是y＝.

∵点B(m，1)在双曲线上，∴1＝，∴m＝5，∴B(5，1)．

(2)不等式≥kx＋b的解集为0＜x≤1或x≥5.

(3)∵抛物线的顶点为A(1，5)，

∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋5.

∵抛物线经过B(5，1)，

∴1＝a(5－1)2＋5，解得a＝－，

∴二次函数的表达式是y＝－(x－1)2＋5.

跟踪训练

5．解：(1)∵点A(2，0)，即OA＝2，且tan∠OAB＝＝，

∴OB＝1，即点B(0，1)，

设直线l的表达式为y＝kx＋b，

将点A(2，0)，B(0，1)代入得

解得

则直线l的表达式为y＝－x＋1.

(2)∵点P到y轴的距离为1，且点P位于y轴左侧，

∴点P的横坐标为－1，

则当x＝－1时，y＝－×(－1)＋1＝，

∴点P的坐标为(－1，)．

将点P代入y＝得＝，即m＝－，

则反比例函数表达式为y＝－.

(3)设抛物线表达式为y＝ax2＋c.

将点P(－1，)，A(2，0)代入得

解得

 则抛物线的表达式为y＝－x2＋2，其顶点坐标为(0，2)．

类型四

【例4】 (1)∵y＝x2＋x－，

∴y＝(x＋3)2－2，

∴点D的坐标为(－3，－2)．

令y＝x2＋x－＝0得x1＝1，x2＝－7，

∴点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(－7，0)．

(2)∵点A与点F恰好重合，∴AC＝CF.

又∵CO⊥AF，∴AO＝OF＝1，

∴点F的坐标为(－1，0)，AF＝2.

∴设直线CD的表达式是y＝kx＋b，直线CD过点D，F，

∴

解得

∴y＝x＋，∴C(0，)，

∴AC＝＝＝2，

∴AC＝AF＝FC＝2，∴△ACF是等边三角形，

∴∠CFA＝∠ACF＝∠CAF＝60°，

∴∠ECF＝∠ACF＝60°，

∴∠CFA＝∠ECF＝60°，∴EC∥AB.

如图，过点D作DG⊥y轴于点G，则DG＝3.

∵∠DCG＝30°，

∴CD＝6，∴CE＝CD＝6，

而点F的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(－7，0)，

∴FB＝6，∴FB＝CE，

∴四边形BFCE是平行四边形．

(3)①设点P坐标为(m，m2＋m－)．

当点P与A，B重合时均不符合要求，

∴m≠1，m≠－7.

Ⅰ.如图，点P在点A右侧时，连接PA，则m>1.若△PAM与△DD1A相似，

∵都是直角三角形，

∴必有一锐角相等．

(i)若∠PAM＝∠DAD1，则点P，A，D共线，

而直线AD与抛物线只有两个交点A，D，

∴这种情况不存在点P，使得△PAM与△DD1A相似．

(ii)若∠PAM＝∠D1DA，则＝，

∴＝，

∴m＝1或m＝－，均不满足m>1，

∴当点P在点A右侧时，不存在点P，使得△PAM与△DD1A相似．

Ⅱ.如图，当点P在点A和点B之间，则－7<m<1.

(i)若∠PAM＝∠DAD1，则AD与AP重合，此时不存在点P，使得△PAM与△DD1A相似．

(ii)若∠PAM＝∠D1DA，则＝，

∴＝，

∴m＝1(不合题意，舍去)或m＝－，

∴当m＝－时，△PAM与△DD1A相似．

Ⅲ.如图，当点P在点B左侧时，则m<－7.

(i)若∠PAM＝∠DAD1，则＝，

∴＝，

∴m＝1(不合题意，舍去)或m＝－11，

∴当m＝－11时，△PAM与△DD1A相似．

(ii)若∠PAM＝∠D1DA，则＝，

∴＝，

∴m＝1(不合题意，舍去)或m＝－，

∴当m＝－时，△PAM与△DD1A相似．

综上所述，点P的横坐标为－，－11，－.

②一共存在三个点P，使得△PAM与△DD1A相似．

跟踪训练

6．解：(1)将C(0，8)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝8.

将点A(－2，0)和B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋8得

解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋8.

(2)∵A(－2，0)，C(0，8)，∴OA＝2，OC＝8.

∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，

∵∠PAE≠∠CAO，

∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，

此时＝，即＝，∴AE＝4PE.

设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，

∴OE＝4k－2，

∴P点的坐标为(4k－2，k)．

将P(4k－2，k)代入y＝－x2＋2x＋8得

－(4k－2)2＋2(4k－2)＋8＝k，

解得k1＝0(舍去)，k2＝.

当k＝时，4k－2＝4×－2＝，

∴P点的坐标为(，)．

(3)在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°.

∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠OCB，

∴Rt△PFD∽Rt△BOC，

∴＝()2，∴S△PFD＝()2·S△BOC.

由B(4，0)知，OB＝4.

又OC＝8，∴BC＝＝＝4.

又S△BOC＝OB·OC＝×4×8＝16，

∴S△PFD＝×16＝PD2，

∴当PD最大时，S△PFD最大．

由B(4，0)，C(0，8)可得BC所在直线的表达式为

y＝－2x＋8.

设P(m，－m2＋2m＋8)，则D(m，－2m＋8)，

∴PD＝－m2＋2m＋8－(－2m＋8)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4.

当m＝2时，PD有最大值4，

∴当PD＝4时，S△PFD最大＝×42＝.