2020广东中考数学精准大二轮复习专题突破：核心母题三

核心母题三　圆

【核心母题】

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE＋∠AFO＝180°.

(1)求证：EM是⊙O的切线；

(2)若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)

【知识链接】 圆周角定理，切线的性质与判定，扇形面积的计算．

【母题分析】(1)连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF＝90°，根据三角形的内角和得到∠ACE＝90°＋∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE＝90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；

(2)根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出∠ACO＝∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【母题解答】

角度一 条件开放型

子题1：如图，已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：________．

【子题分析】 根据切线的判定定理求解即可．

【子题解答】

角度二 结论开放型

子题2：如图，已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.若AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？请证明你的判断．

【子题分析】 作直径AM，连接CM，根据圆周角定理求出∠M＝∠B，∠ACM＝90°，求出∠MAC＋∠CAE＝90°，再根据切线的判定推出即可．

【子题解答】

角度三 设置陷阱

子题3：已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是(     )

A．30°          B．60°

C．30°或150°        D．60°或120°

【子题分析】 根据特殊角的三角函数值求角度即可．本题易因忽略不是直径的弦所对的圆周角有2个而出错，审题时要注意题目中的陷阱．

【子题解答】

角度四 由静态向动态衍生

子题4：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为________．

【子题分析】 注意分情况讨论．

【子题解答】

角度五 设置背景

子题5：如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升________cm.

【子题分析】 注意分两种情形求解即可解决问题．

【子题解答】

角度六 与坐标、旋转结合

子题6：如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是(1，)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为________．

【子题分析】 过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S＝S扇形OAO′＋S△O′AC′－S△OAC－S扇形CAC′＝S扇形OAO′－

S扇形CAC′，分别求出即可．

【子题解答】

角度七 与三角形、四边形结合

子题7：如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.

(1)求证：CE＝EF；

(2)连接AF并延长，交⊙O于点G.填空：

①当∠D的度数为________时，四边形ECFG为菱形；

②当∠D的度数为 ________时，四边形ECOG为正方形．

【子题分析】 (1)连接OC，利用切线的性质、等腰三角形的性质与判定、互余，即可得到结论；

(2)①当∠D＝30°时，∠DAO＝60°，证明△CEF和△FEG都为等边三角形，从而得到EF＝FG＝GE＝CE＝CF，则可判断四边形ECFG为菱形；

②当∠D＝22.5°时，∠DAO＝67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE＝45°，利用对称得∠EOG＝45°，则∠COG＝90°，接着证明△OEC≌△OEG得到∠OGE＝∠OCE＝90°，从而证明四边形ECOG为矩形，然后进一步证明四边形ECOG为正方形．

【子题解答】

模型一 常见切线的判定模型

子题8：如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°.

(1)求∠ADC的度数；

(2)求证：AE是⊙O的切线．

子题9：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为______．

子题10：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝______cm时，BC与⊙A相切．

模型二 求阴影面积模型

基本思想：转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积．

(1)直接和差法

子题11：如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为(     )

A.π－        B.π－2

C.π－4        D.π－2

子题12：如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是(     )

A．3π     B.     C．6π      D．24π

子题13：如图，分别以△ABC的三个顶点为圆心作⊙A，⊙B，⊙C ，且半径都是0.5 cm，则图中三个阴影部分面积之和等于(     )

A. cm2         B. cm2

C. cm2         D. cm2

(2)构造和差法

子题14：如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D.若OA＝4，则图中阴影部分的面积为(     )

A.＋         B.＋2

C.＋         D．2＋

子题15：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为 cm，弦CD的长为3 cm，则图中阴影部分的面积是________cm2.

子题16：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，AB＝AC，连接BC，交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)求证：DE与⊙O相切；

(2)若∠B＝30°，AB＝4，则图中阴影部分的面积是________(结果保留根号和π)．

(3)割补法

子题17：如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于________．

子题18：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为(     )

A．4π           B．2π 

C．π           D.

子题19：如图，CD是⊙O的直径，AB，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝16，CD＝20，EF＝12，则图中阴影部分的面积是(     )

A．96＋25π         B．88＋50π

C．50π          D．25π

参考答案

【核心母题突破】

【核心母题】

(1)如图，连接OC.

∵OF⊥AB，

∴∠AOF＝90°，

∴∠A＋∠AFO＋90°＝180°.

∵∠ACE＋∠AFO＝180°，

∴∠ACE＝90°＋∠A.

∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACE＝90°＋∠ACO＝∠ACO＋∠OCE，

∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线．

(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO＋∠BCO＝∠BCE＋∠BCO＝90°，

∴∠ACO＝∠BCE.

∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，

∴∠ABC＝∠BCE＋∠E＝2∠A，

∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，

∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，

∴阴影部分的面积＝－××＝π－.

【母题衍生角度】

角度一

子题1: ①∠BAE＝90°，②∠EAC＝∠ABC.

理由：①∵∠BAE＝90°，∴AE⊥AB.

∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线．

②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＋∠BAC＝90°.

∵∠EAC＝∠ABC，

∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠BAC＋∠ABC＝90°，

即AE⊥AB.

∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线．

角度二

子题2: EF是⊙O的切线. 证明如下：

如图，作直径AM，连接CM，

则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，

∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°.

∵∠CAE＝∠B，

∴∠CAM＋∠CAE＝90°，

∴AE⊥AM.

∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线．

角度三

子题3: 由图可知OA＝10，OD＝5.

在Rt△OAD中，

∵OA＝10，OD＝5，∴AD＝＝＝5，

∴tan ∠1＝＝，∠1＝60°.

同理可得∠2＝60°，

∴∠AOB＝∠1＋∠2＝60°＋60°＝120°.

∴圆周角的度数是60°或120°.故选D.

角度四

子题4: ∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2－BC2＝AC2.

∵sin A＝＝，AC＝12，

∴AB＝13，BC＝5.

如图1，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ.

设PQ＝PA′＝r.

∵PQ∥CA′，∴＝ ，

∴＝，∴r＝.

如图2，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′，B′，T共线．

∵△A′BT∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴A′T＝，

∴r＝A′T＝.

综上所述，⊙P的半径为或.

角度五

子题5: 如图，作半径OD⊥AB于C，连接OB.

由垂径定理得BC＝AB＝30 cm.

在Rt△OBC中，

OC＝＝40(cm)．

当水位上升到圆心以下，水面宽80 cm时，

则OC′＝＝30(cm)．

水位上升的高度为40－30＝10(cm)；

当水位上升到圆心以上，水面宽80 cm时，

水位上升的高度为40＋30＝70(cm)．

综上所述，水位上升的高度为10 cm或70 cm.

故答案为10或70.

角度六

子题6: 如图，过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°.

∵点O′的坐标是(1，)，∴O′M＝，OM＝1.

∵AO＝2，∴AM＝2－1＝1，∴tan∠O′AM＝＝，

∴∠O′AM＝60°，即旋转角为60°，

∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°.

∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，

∴S△OAC＝S△O′AC′，

∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′＋S△O′AC′－S△OAC－S扇形CAC′＝S扇形OAO′－S扇形CAC′＝－＝.

故答案为.

角度七

子题7: (1)如图，连接OC.

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°.

∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°.

∵∠2＝∠3，

∴∠2＋∠B＝90°.

∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，

∴∠1＝∠2，∴CE＝FE.

(2)①30°

②22.5°

【母题衍生模型】

模型一

子题8: (1)解：∵∠ABC与∠ADC都是所对的圆周角，

∴∠ADC＝∠B＝60°.

(2)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，

∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，

即 BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线．

子题9: 4

子题10: 6

模型二

子题11: D

子题12: B

子题13: B

子题14: B

子题15: π－

子题16: (1)证明：如图，连接OD.

∵AB＝AC，OB＝OD，

∴∠B＝∠C＝∠ODB，∴OD∥AC.

∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，

∴∠ODE＝90°，∴DE与⊙O相切．

(2)＋

子题17: －1

子题18: D

子题19: C