2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题22 等腰三角形(含解析)

专题训练22 等腰三角形

一.选择题

1.（2019湖北宜昌3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．

【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．

由此可知：选项A符合条件，

故选：A．

二.填空题

1.（2019•四川省广安市•3分）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为　32　cm．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和13cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：由题意知，应分两种情况：

（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；

（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．

故答案为32．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

2.(2019•四川省绵阳市•3分)如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2．将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，当点E′恰好落在线段AD′上时，则CE′=______．

【答案】

【解析】解：如图，连接CE′，

∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC，BD=BE，AC=4，DE=2，

∴AB=BC=2，BD=BE=2，

∵将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得△BD′E′，

∴D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90′，∠D′BD=∠ABE′，

∴∠ABD′=∠CBE′，

∴△ABD′≌△CBE′（SAS），

∴∠D′=∠CE′B=45°，

过B作BH⊥CE′于H，

3.（2019湖南常德3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是　22.5°　．

【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．

【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，

∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'

∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°

∴∠ABD＝22.5°

故答案为：22.5°

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

4. （2019•甘肃庆阳•4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　或　．

【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解

【解答】解：

①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°

∴特征值k＝＝

②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°

∴特征值k＝＝

综上所述，特征值k为或

故答案为或

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．

5. （2019•贵州省铜仁市•4分）如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于　   　cm．

【解答】解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，

∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，

∵ED∥BC，

∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，

∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm．

6. （2019•黑龙江省绥化市•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　   　度．

答案：36

考点：等边对等角，三角形内角和定理。

解析：设∠A为x度，

因为BD＝AD，所以，∠ABD＝∠A，

因为BD＝BC，所以，∠C＝∠BDC＝2x，

因为AB＝AC，所以，∠ABC＝∠C＝2x，

所以，∠DBC＝2x－x＝x，

在三角形DBC中，

x＋2x＋2x＝180°，

解得： x＝36°

7. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰△ABC底角的度数为　   　．

【分析】分点A是顶点、点A是底角顶点、AD在△ABC外部和AD在△ABC内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．

【解答】解：①如图1，点A是顶点时，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵AD＝BC，

∴AD＝BD＝CD，

在Rt△ABD中，∠B＝∠BAD＝×（180°﹣90°）＝45°；

②如图2，点A是底角顶点，且AD在△ABC外部时，

∵AD＝BC，AC＝BC，

∴AD＝AC，

∴∠ACD＝30°，

∴∠BAC＝∠ABC＝×30°＝15°；

③如图3，点A是底角顶点，且AD在△ABC内部时，

∵AD＝BC，AC＝BC，

∴AD＝AC，

∴∠C＝30°，

∴∠BAC＝∠ABC＝（180°﹣30°）＝75°；

故答案为：15°或45°或75°．

8．（2019•山东威海•3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝　105　°．

【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出CF＝AF＝BF＝AB，得出DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，由直角三角形的性质得出∠ABD＝30°，得出∠BAD＝∠BDA＝75°，再由平行线的性质即可得出答案．

【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：

则DE＝CF，

∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴CF＝AF＝BF＝AB，

∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，

∴∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝∠BDA＝75°，

∵AB∥CD，

∴∠ADC+∠BAD＝180°，

∴∠ADC＝105°；

故答案为：105°．

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证出∠ABD＝30°是解题的关键．

9．(2019•湖南常德•3分)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是　     　．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性质可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度数．

【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，

∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，

∴∠ABD＝22.5°．故答案为22.5°．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．

三.解答题

1. （2019•甘肃庆阳•8分）已知：在△ABC中，AB＝AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝　25π　．

【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．

（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．

【解答】解：（1）如图⊙O即为所求．

（2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E．

由题意OE＝4，BE＝EC＝3，

在Rt△OBE中，OB＝＝5，

∴S圆O＝π•52＝25π．

故答案为25π．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2. （2019•广东广州•14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．

（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；

（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．

【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；

（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；

（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°

由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上

∴∠DFC＝∠C＝60°

∴∠DFC＝∠A

∴DF∥AB；

（2）存在，

过点D作DM⊥AB交AB于点M，

∵AB＝BC＝6，BD＝4，

∴CD＝2

∴DF＝2，

∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，

∴当点F在DM上时，S△ABF最小，

∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°

∴MD＝2

∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6

∴S最大值＝×2×3﹣（6﹣6）＝﹣3+6

（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，

∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE

∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°

∵GD⊥EF，∠EFD＝60°

∴FG＝1，DG＝FG＝

∵BD2＝BG2+DG2，

∴16＝3+（BF+1）2，

∴BF＝﹣1

∴BG＝

∵EH⊥BC，∠C＝60°

∴CH＝，EH＝HC＝EC

∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°

∴△BGD∽△BHE

∴

∴

∴EC＝﹣1

∴AE＝AC﹣EC＝7﹣

【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．