知识点27 三角形（含多边形及其内角和）2018--1

这是一份知识点27 三角形（含多边形及其内角和）2018--1，共20页。

一、选择题
1. （2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm
【答案】B
【解析】三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。A选项中4+5=9，两边之和等于第三边，故A错误；C选项5+5=10，两边之和等于第三边，故C错误；D选项6+7=13<14，两边之和小于第三边，故D错误；B选项8+8=16>15，故B正确。
【知识点】三角形三边关系


2. （2018山东省济宁市，8，3）如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E=300°.DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°

【答案】D
【解析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°-300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°-120°=60°，因此，本题应该选D.
【知识点】多边形的内角和公式 角平分线的定义

3. （2018浙江杭州，5，3分） 若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】AM和AN可以看成是直线为一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，则，再考虑特殊情况，当AB=AC的时候AM=AN
【知识点】垂线段最短

4. （2018宁波市，5题，4分） 已知正多边形的一个外角等于40°,那么这个正多边形的边数为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】利用正多边形的每个外角都相等，外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数
解：360°÷40°=9
【知识点】多边形外角和

1. （2018湖北鄂州，5，3分）一副三角板如图放置，则∠AOD的度数为（ ）
A． 75° B． 100° C． 105° D．120°

【答案】C
【解析】如下图（1），由题意可知，∠ABC＝45°，∠DBC＝30°，∴∠ABO＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°，又∵∠BOC是△AOB的一个外角，∴∠BOC＝∠ABO＋∠A＝15°＋90°＝105°，∴∠AOD＝∠BOC＝105°．

【知识点】三角形的外角；对顶角


2. （2018内蒙古呼和浩特，3，3分）已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（ ）
A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形
答案B
【解析】设这个多边形为n边形，则（n-2） 180=1080，解得n=8，故选B.
【知识点】多边形的内角和

3. （2018河北省，1，3）下列图形具有稳定性的是( )
A
B
C
D

【答案】A
【解析】三角形是具有稳定性的图形，故选A．
【知识点】三角形的稳定性


4. （2018福建A卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B.1，2，4
C. 2，3，4 D.2，3，5
【答案】C
【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．
【知识点】三角形三边的关系


5. （2018福建A卷，4，4）一个边形的内角和是360°，则等于( )
A．3 B.4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(-2)×180°，=4.
【知识点】多边形 ；多边形的内角和

6.（2018福建B卷，3，4）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )
A．1，1，2 B.1，2，4
C. 2，3，4 D.2，3，5
【答案】C
【解析】三数中，若最小的两数和大于第三数，符合三角形的三边关系，则能成为一个三角形三边长，否则不可能．解：∵1＋1=2 ，∴选项A不能；∵1＋2＜4，∴选项B不可能；∵2＋3＞4，∴选项C能；∵2＋3=5，∴选项D不能．故选C．
【知识点】三角形三边的关系

7. （2018福建B卷，4，4）一个边形的内角和是360°，则等于( )
A．3 B.4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】先确定该多边形的内角和是360゜，根据多边形的内角和公式，列式计算即可求解．解：∵多边形的内角和是360゜，∴多边形的边数是：360゜=(-2)×180°，=4.
【知识点】多边形 ；多边形的内角和

8. （2018四川雅安，5题，3分）已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是
A.180° B.270° C.360° D.720°
【答案】D
【解析】n边形的外角和为360°，因为每个外角都等于60°，所以这个多边形是六边形，所以内角和=(6-2)×180°=720°，故选D
【知识点】多边形的内角和、外角和

9.（2018浙江省台州市，7，3分）
正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要计算正十边形的内角，首先利用内角和公式计算出正十边形的内角和，然后再计算每一个内角.∵（10-2）×180°=1440°，∴1440°÷10=144°，还有1种解法，利用正多边形的外角和是360°进行计算，360°÷10=36°，180°-36°=144°，故选D.
【知识点】正多边形的内角和公式，外角和是360°；邻补角的定义；

10. （2018·北京，5，2）若正多边形的一个外角为60°，则该多边形的内角和为 （ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C．
【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴该正多边形的边数n＝＝6．∴正多边形的的内角和＝(6－2)×180°＝720°．故选C．
【知识点】多边形的内角和；正多边形


11. （2018江苏省宿迁市，6，3）若实数m、n满足等式∣m－2∣＋＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解析】根据两个非负数的和为0，则各自为0．∴m－2＝0，n－4＝0．∴m＝2，n＝4．根据三角形中两边之和大于第三边，则三条边长分别是2，4，4，∴周长是10．故选B．
【知识点】非负数的性质，三角形的三边关系
一、选择题
1. （2018广西省柳州市，6，3分）如图，图中直角三角形共有( )

第6题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】图形中的3个三角形都含有一个内角是直角，故图中有3个直角三角形.
【知识点】三角形

2. （2018贵州省毕节市，5，3分）已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是( )[来
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C．
【解析】设这个三角形的第三边长为a，则由“两边之差＜第三边＜两边之和”可得，8－2＜a＜8＋2，6＜a＜10，故选择C．
【知识点】代数式表示

3. （2018青海，18，3分）小桐把一副直角三角尺按如图9所示的方式摆放在一起，其中∠E=，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2=等于（ ）
A.150° B.180° C.210° D.270°

【答案】C
【解析】如图，不妨设AB与DE交于点G，由三角形的外角性质可知：∠1＝∠A＋∠AGD，∠2＝∠B＋∠BHF，由于∠AGD＝∠EGH，∠BHF＝∠EHG，所以∠AGD＋∠BHF＝∠EGH＋∠EHG＝180°－∠E＝180°－（90°－∠D）＝120°，所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠AGD＋∠BHF＝90°＋120°＝210°，故选B．
【知识点】三角形的外角性质，三角形的内角和

4. （2018贵州铜仁，7，4）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 8 B.9 C. 10 D. 11
【答案】A，【解析】多边形的外角和为360°，设多边形的边数是n，根据题意，得：（n－2）·180°=3×360°，解得n=8.

5. （2018山东莱芜，9，3分）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°

【答案】B
【思路分析】先证明∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，再由∠BED的大小，求出∠ABE＋∠CDE的大小；再根据BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，求出∠DFB．
【解题过程】延长DF交AB于点G，∵AB∥CD，∴∠CDG＝∠BGD；在四边形BEDG中，∠EDF＋∠BED＋∠ABE＋∠BGD＝360°，∴∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°；∵∠BED＝61°，∴∠ABE＋∠CDE＝299°；∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠CDF＋∠ABF＝149.5°，∴∠DFB＝∠FGB＋∠ABF＝∠CDF＋∠ABF＝149.5°．故答案为B．

【知识点】平行线的性质；四边形的内角和；三角形外角的性质；角平分线的定义

6.（2018广西南宁，6，3）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A ＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于（ ）
A．40° B． 45° C．50° D．55°
D
E
A
B
C
40°
60°
第6题图

【答案】C，【解析】△ABC的外角∠ACD ＝ ∠A＋∠B＝60°＋40°＝100°，又因为CE平分∠ACD，∴∠ACE＝ ∠ECD ＝∠ACD ＝ ×100°＝50°．

7. （2018贵州贵阳，2，3分）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG

【答案】B
【解析】根据三角形中线定义：顶点与对边中点的连线知，线段BE是△ABC的中线.

8. (2018黑龙江大庆，4，3) 一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D，【解析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数＝360°÷36°＝10

9.(2018湖北黄石，7，3分)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )

第7题图
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】A【解析】根据三角形内角和定理，得：∠ACD＝180°－(∠BAC＋∠ABC)＝70°，∴∠CAD＝90°－∠ACD＝20°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠BAC＝25°.∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝25°－20°＝5°.∴∠EAD＋∠ACD＝5°＋70°＝75°.

10. （2018四川眉山，5，3分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°

【答案】C，【解析】本题考查三角形的内角和、外角和等知识．30°三角板的另一个锐角为60°，将45°角和60°角放在同一三角形中，利用三角形内角和和对顶角相等即可求出α＝75°．

11. （2018云南曲靖，5，4分）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（）
A．60° B．90° C．108° D．120°
【答案】D
【解析】设边数为n,所以（n－2）×180＝720，解得n＝6，所以正多边形的内角度数是
720°÷6＝120°

12. （2018云南，9，4分）一个五边形的内角和 （　　）
A．540° B．450° C．360° D．180°
【答案】A．
【解析】由“边形的内角和为”知，当＝5时，＝540°．

二、填空题
1. （2018山东滨州，13，5分）在△ ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝___________．
【答案】100°
【解析】∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝100°
【知识点】三角形内角和定理。

2. （2018甘肃白银，13，4） 若正多边形的内角和是1080°，则该正多边的边数是 。
【答案】8
【解析】由多边形的内角公式得：，解得：n=8.
故填8.
【知识点】多边形的内角和公式：多边形的内角和=

3. （2018甘肃白银，15，4）已知是△ABC的三边长，满足，为奇数，则= 。
【答案】7.
【解析】∵
∴，即a=7,b=1
∴由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得到：7-1<<7+1
即：6<<8
又因为为奇数，所以=7.
故填7.
【知识点】非负数性质，三角形的三边关系定理，奇数与偶数的概念。

4. （2018山东聊城，16，3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 .
【答案】180°或360°或540°
【解析】如图所示，一个正方形被截掉一个角后，可能得到如下的多边形：

∴这个多边形的内角和是180°或360°或540°.
【知识点】三角形、四边形、五边形的内角和公式

5. （2018四川广安，题号12，分值：3）一个n边形的每个内角的等于108°，那么n=____.
【答案】5.
【解析】根据多边形的内角和公式可知(n-2)×180°=108n，
解得n=5.
【知识点】多边形的内角和

6.（2018江苏泰州，12，3分）已知三角形两边的长分别为1,5，第三边长为整数，则第三边的长为 .
【答案】5
【解析】由“三角形三边关系”得5－1＜第三边的长＜5＋1，即4＜第三边的长＜6，又因为第三边长为整数，所以第三边的长为5.
【知识点】三角形三边关系1. (2018山东菏泽，11，3分)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ．
【答案】8
【解析】∵每一个内角为135°，∴每一个外角是45°，360°÷45°=8，∴这个正多边形的边数是8．
【知识点】正多边形的内角和、外角和；

2. （2018贵州遵义，16题，4分）每一层三角形的个数与层数的关系如下图所示，则第2018层的三角形个数为_____个

第16题图
【答案】4035
【解析】每层的三角形个数构成一个等差数列：1,3,5，......，第n层有三角形(2n-1)个，所以第2018层有4035个三角形
【知识点】找规律

3. （2018湖南郴州，11，3） 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 .
【答案】720°
【解析】先确定该多边形的外角和是360゜，根据多边形的每一个外角都相等，多边形的边数＝360°÷60°=6，再代入内角和公式（n－2）·180°求解即可．
【知识点】多边形；多边形的外角和

4. （2018河北省，19，3）如图（1），作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．
例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，∠BPC＝90°，而90°2＝45°是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可以作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图（2）所示．
图（2）中的图案外轮廓周长是 ；
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 ．
P
A
B
C
第19题图（1）
第19题图（2）

【答案】14，21
【解析】外轮廓一共14条边，∴周长是14．故第一个空填14．
当∠BPC＝120°时，图案由三个正六边形组成，外部轮廓一共12条边，故周长是12；
当∠BPC＝60°时，图案的上方是一个等边三角形，下方是两个正十二边形，外部轮廓一共21条边，∴周长是21．
当∠BPC＜60°，不能构成符合要求的图案．
∴外部轮廓的最大周长是21，故第（2）空填21．
【知识点】正多边形的周长，图形的镶嵌

5. （2018江苏省宿迁市，12，3）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【解析】设边数为n，则（n－2）×180°＝360°×3．n＝8．故填8．
【知识点】多边形的内角和与外角和


6.（2018陕西，12，3分）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为 ．

【答案】72°
【解析】∵五边形内角和为（5－2）·180°=540°．
∴∠ABC=∠BAE=540°÷5=108°．
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=．
同理：∠ABE=36°．
∴∠AFE=∠BAC＋∠ABE=36°＋36°=72°．
【知识点】正多边形，等腰三角形
1. （2018海南省，16，4分）五边形的内角和的度数是________．
【答案】540°
【解析】n边形的内角和为(n－2)×180°，当n=5时，(5－2)×180°=540°，∴五边形的内角和的度数是540°．
【知识点】多边形的内角和

2. （2018黑龙江绥化，14，3分）三角形三边长分别为3，2a-1，4.则a的取值范围是 ．
【答案】1＜a＜4.
【解析】解：∵三角形三边长分别为3，2a-1，4，
∴4-3＜2a-1＜4+3，解得1＜a＜4.
故答案为1＜a＜4.
【知识点】三角形三边关系，解一元一次不等式（组）

3. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，13，3分） 若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为 ．
【答案】12
【解析】利用多边形外交和360°可得，多边形的边数为360÷30＝12．
【知识点】多边形的外角和

4. （2018湖南省怀化市，15，4分）一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数为________．
【答案】这个多边形的边数是：．故答案为10．
【解析】多边形的外角和是，又已知多边形的每个外角都为，用即可得到多边形的边数．
【知识点】多边形内角与外角
5. （2018年江苏省南京市，15，2分） 如图，五边形是正五边形，若，则 ．

【答案】72
【思路分析】过B点作BF∥l1，根据正五边形的性质可得∠ABC的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠1﹣∠2的度数．
【解题过程】过B点作BF∥l1，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=108°，∵BF∥l1，l1∥l2，∴BF∥l2，
∴∠CBF=180°﹣∠1，∠ABF=∠2，∴180°﹣∠1+∠2=∠ABC=108°，∴∠1﹣∠2=72°．故答案为：72．

【知识点】平行线 正多边形
6.（2018山西省，12题，3分） 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，图2,是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度

【答案】360
【解析】解：延长CD、DE

则∠1=∠7；∠2=∠6
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
= ∠7+∠6+∠3+∠4+∠5
= 360°
【知识点】多边形内角和、对顶角

7. （2018江苏徐州，9，3分）五边形的内角和为 .
【答案】540°

8. （2018上海，16，4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角各问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是
度.
【答案】 540，【解析】由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知此多边形是五边形，所以其内角和为（5-2）×180°=540°.

9.（2018贵州贵阳，13，4分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是 度.

【答案】72
【解析】如图所示，连接OA，OB.∵OA＝OB，∠OAM＝∠OBN，AM＝BN，∴△OAM≌△OBN.∴∠AOM＝∠NOB，∴∠AOM＋∠MOB＝∠NOB＋∠MOB，即∠AOB＝∠MON.∵∠OAB是正五边形的中心角，∴∠MON＝∠OAB＝＝72(度).


10. (2018湖南邵阳，14，3分)如图(七)所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的大小是_______．

图(七)
【答案】40°，【解析】根据邻补角的性质可得∠CDA＝180°－60°＝120°，又因为四边形的内角和为360°，所以∠B＝360°－110°－120°－90°＝40°．

11. （2018辽宁省抚顺市，题号15，分值3）将两张三角形纸片如图，摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ________.

【答案】40°
【解析】由三角形内角和定理知，180°- （∠1+∠2）+180°-（∠3+∠4）+∠5=180°，整理，得∠5=（∠1+∠2+∠3+∠4）-180°=220°-180°=40°.
【知识点】三角形内角和定理.

三、解答题
1. （2018山东省淄博市，19，5分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.

【思路分析】经过点A作BC的平行线，将三角形各内角转移到一个顶点上即可.
【解题过程】

证明：过点A作DE∥BC.∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC.
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
【知识点】平行线的性质
1. （2018湖北宜昌，18，7分）如图，在中，，,的外角的平分线交的延长线于点.
(1)求的度数；
(2)过点作,交的延长线于点.求的度数.

(第18题图)

【思路分析】（1）由直角三角形的两个锐角互余，求出∠ABC,由补角求出∠DBC,再由外角的平分线，求出∠CBE.
(2) 由直角三角形的两个锐角互余，求出再根据平行线的性质，求出∠F.
【解析】 解：(1)在中，,,
,
∴,
∵是的平分线，
.
(2)∵,,
∵,
∴.
【知识点】直角三角形的两个锐角互余，角的平分线，平行线的性质.

2. （2018江西，15，6分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB＝2CD，E为AB的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．
(1)在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
(2)在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

第15题图
【思路分析】(1)连接CE，∵AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，∴四边形AECD是平行四边形. 由AECD得DC＝AE＝BE，∴四边形EBCD也是平行四边形，∴AF为BD上的中线．
（2）由(1)知AF、DE为等腰△ABD两腰上的中线，∴G是等腰△ABD三条中线的交点，故连接BG并延长交AD于H，则利用三线合一知BH为高．
【解析】(1)如解图①，AF为所求；
如解图②，BH为所求．


第15题解图① 第15题解图②

【知识点】等腰三角形，平行四边形，创新作图