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2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题12 反比例函数(含解析)
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专题训练12 反比例函数
一.选择题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
2.（2019•湖北省仙桃市•3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
3.（2019•湖北省咸宁市•3分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A.B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D.E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
4.（2019•四川省凉山州•4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S＝|k|．
所以△ABC的面积等于2×|k|＝|k|＝4．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
5.（2019湖南益阳4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
6.（2019云南3分）若点（3，5）在反比例函数的图象上，则k＝.
【解析】∵点（3,5）在反比例函数上，∴，∴
7. （2019•广东广州•3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
8 （2019•广西北部湾•3分）若点（﹣1，y1）、（2, y2）、（3, y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 （ ）
A． y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】C
【解析】
解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x=-1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
k＜0，y随x值的增大而增大，（-1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题；
本题考查反比函数图象及性质；熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解题的关键．
9. （2019·广西贺州·3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10. （2019•海南省•3分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故选：D．
【点评】本题运用了反比例函数y＝图象的性质，关键要知道k的决定性作用．
11. （2019•河北省•2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
12．（2019•山东青岛•3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
13. (2019湖北仙桃)（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
14. (2019湖北咸宁市3分)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A.B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D.E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值7.
二.填空题
1.（2019•四川省达州市•3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ 4 ．
【分析】设出A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．
【解答】解：设A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则
CA＝﹣＝2，
∴，
得a＝
同理：BD＝，得b＝
又∵a﹣b＝3
∴﹣＝3
解得：k2﹣k1＝4
【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
2.（2019•四川省广安市•3分）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线图
交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是 ▲ .
【答案】3
【解析】因为交x轴为B点，交y轴于点A,则A（0，-2），B（4，0），即OB=4，OA=2.令PQ与x轴的交点为E，因为P在曲线C上，所以△OPE的面积恒为2，所以当△OEQ面积最大时△的面积最大，所以当Q为AB中点时△OEQ为1，故答案是3.
3.（2019湖南益阳4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ 6 ．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
4. （2019·贵州安顺·4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2＝ ．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，
∴△AOB的面积为k1﹣2，
∴k1﹣2＝4，
∴k1﹣k2＝8，
故答案为8．
5. （2019•黑龙江省绥化市•3分）一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
答案：2＜x＜4
考点：一次函数与反比函数的图象，由图象解不等式。
解析：由图可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2
在x＜2， x＞4时，都有y1＜y2时，
所以，2＜x＜4.
6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为 ．
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为（﹣2，0）知OC＝AB＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠DOC＝60°，据此求得OE＝ODcos30°＝﹣k，DE＝ODsin30°＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），代入解析式解之可得．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝﹣，
∴OC＝﹣，
由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，
即D（﹣k，﹣k），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，
∴k＝（﹣k）（﹣k）＝k2，
解得：k＝0（舍）或k＝﹣，
故答案为：﹣．
7．（2019•山东威海•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
【分析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝4，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则有＝，解得k＝m2+4m，推出A（m，m+4），B（m+4，m），可得M（m+2，m+2），求出OM即可解决问题．
【解答】解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，
解得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2019•山东潍坊•3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法5.
9．(2019•湖南益阳•4分)反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ ．
【考点】反比例函数．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3(n－1)，解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n－1)，
依题意得：k＝2n＝3(n－1)，解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
10．(2019•云南•3分)若点(3，5)在反比例函数的图象上，则k＝ ．
【考点】反比例函数．
【分析】直接将已知点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．
【解答】解：∵点(3,5)在反比例函数上，∴，∴．
【点评】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的比例系数k．
11. (2019湖北荆门)（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝OA＝，AC＝，
∴A（，），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣，b＝，
∴y＝x+；
由题意得： 解得：x＝，
∵x＞，
∴x＝，
故点N的横坐标为：
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的x的值．
三.解答题
1.（2019•四川省广安市•6分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点C的坐标，从而根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可以求得△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，
∴4＝，得m＝﹣4，
∴y＝﹣，
∴﹣2＝﹣，得n＝2，
∴点A（2，﹣2），
∴，解得，
∴一函数解析式为y＝﹣2x+2，
即反比例函数解析式为y＝﹣，一函数解析式为y＝﹣2x+2；
（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（2，﹣2），点B（﹣1，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×1＝3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2.(2019•四川省绵阳市•11分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE=4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
【答案】解：（1）将点A（4，1）代入y=，
得，m2-3m=4，
解得，m1=4，m2=-1，
∴m的值为4或-1；反比例函数解析式为：y=；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB=∠CEA=90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴，
∵CE=4CD，
∴AE=4BD，
∵A（4，1），
∴AE=4，
∴BD=1，
∴xB=1，
∴yB==4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y=kx+b，
得，，
解得，k=-1，b=5，
∴yAB=-x+5，
设直线AB与x轴交点为F，
当x=0时，y=5；当y=0时x=5，
∴C（0，5），F（5，0），
则OC=OF=5，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CF=OC=5，
则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，
即OM=CF=．
【解析】
（1）将点A（4，1）代入y=，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；
（2）先证△CDB∽△CEA，由CE=4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．
本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．
3.（2019湖南常德6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
4.（2019浙江丽水10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；
（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；
【解答】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG＝，
∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝上，
∴k＝2，
∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），
∴点A在反比例函数图象上；
（2）D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
联立方程解得x＝，
∴Q点横坐标为；
（3）E（4，），F（3，2），
将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），
则点E与F都在反比例函数图象上；
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．
5. （2019•甘肃庆阳•10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象可解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
6 （2019·贵州贵阳·10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是 （2，4） ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．
【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C
∴﹣2x+8＝
∴x＝2，
∴点C坐标为（2，4）
故答案为：（2，4）；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，
∴点B（4，0）
∵点M为线段BC的中点，
∴点M（3，2）
∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）
∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）
∴m＝1
∴k＝4
【点评】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题．
7. （2019•贵州省铜仁市•12分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴3＝﹣，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B（﹣4，3），A（3，﹣4），
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：（﹣1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．
8 （2019•河北省•10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．
9．（2019•山东临沂•9分）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水．
x/h
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y/m
14
15
16
17
18
14.4
12
10.3
9
8
7.2
（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．
（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．
（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m．
【分析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．
（2）观察图象当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：设y＝kx+b，把（0，14），（8，18）代入得
解得：k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足y＝x+14
因此放水前y与x的关系式为：y＝x+14 （0＜x＜8）
观察图象当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8×18＝10×10.4＝12×12＝16×9＝18×8＝144．
因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为：．（x＞8）
所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y＝x+14 （0＜x＜8）和 ．（x＞8）
（3）当y＝6时，6＝，解得：x＝24，
因此预计24h水位达到6m．
【点评】根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值．
10．（2019•山东泰安•11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
11．（2019•山东威海•8分）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 +＞ ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得+＞．
（2）方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小．
【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．(2019•湖南常德•6分)如图，一次函数y＝－x+3的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【考点】一次函数与反比例函数．
【分析】(1)利用点A在y＝－x+3上求a，进而代入反比例函数y＝(k≠0)求k即可；
(2)设P(x，0)，求得C点的坐标，则PC＝|3－x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：(1)把点A(1，a)代入y＝－x+3，得a＝2，∴A(1，2)
把A(1，2)代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
(2)∵一次函数y＝－x+3的图象与x轴交于点C，∴C(3，0)，
设P(x，0)，∴PC＝|3－x|，
∴S△APC＝|3－x|×2＝5，∴x＝－2或x＝8，
∴P的坐标为(－2，0)或(8，0)．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
专题训练12 反比例函数
一.选择题
1.（2019•湖北省鄂州市•3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断哪个选项中图象是正确的，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝﹣x+k与y＝（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y＝经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y＝经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．
2.（2019•湖北省仙桃市•3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
3.（2019•湖北省咸宁市•3分）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A.B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D.E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值．
4.（2019•四川省凉山州•4分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则S△OBA＝S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．
【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
即S＝|k|．
所以△ABC的面积等于2×|k|＝|k|＝4．
故选：C．
【点评】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．
5.（2019湖南益阳4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4 D．y＝x2
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以得到y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和二次函数的性质解答．
6.（2019云南3分）若点（3，5）在反比例函数的图象上，则k＝.
【解析】∵点（3,5）在反比例函数上，∴，∴
7. （2019•广东广州•3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，
又∵﹣6＜2＜3，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
8 （2019•广西北部湾•3分）若点（﹣1，y1）、（2, y2）、（3, y3）在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是 （ ）
A． y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】C
【解析】
解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x=-1时，y1＞0，
∵2＜3，
∴y2＜y3＜y1
故选：C．
k＜0，y随x值的增大而增大，（-1，y1）在第二象限，（2，y2），（3，y3）在第四象限，即可解题；
本题考查反比函数图象及性质；熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系是解题的关键．
9. （2019·广西贺州·3分）已知ab＜0，一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象可能（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象确定b的符号，结合已知条件求得a的符号，由a、b的符号确定一次函数图象所经过的象限．
【解答】解：若反比例函数y＝经过第一、三象限，则a＞0．所以b＜0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第一、二、三象限；
若反比例函数y＝经过第二、四象限，则a＜0．所以b＞0．则一次函数y＝ax﹣b的图象应该经过第二、三、四象限．
故选项A正确；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
10. （2019•海南省•3分）如果反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＞0 C．a＜2 D．a＞2
【分析】反比例函数y＝图象在一、三象限，可得k＞0．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a是常数）的图象在第一、三象限，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2．
故选：D．
【点评】本题运用了反比例函数y＝图象的性质，关键要知道k的决定性作用．
11. （2019•河北省•2分）如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
A．【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
所以点M是原点；
12．（2019•山东青岛•3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y＝bx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
13. (2019湖北仙桃)（3分）反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称 D．y随x的增大而增大
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：由点（1，﹣3）的坐标满足反比例函数y＝﹣，故A是正确的；
由k＝﹣3＜0，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；
由反比例函数的对称性，可知反比例函数y＝﹣关于y＝x对称是正确的，故C也是正确的，
由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，
故选：D．
【点评】考查反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
14. (2019湖北咸宁市3分)在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A.B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D.E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．
【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出sin∠ABO的值7.
二.填空题
1.（2019•四川省达州市•3分）如图，A、B两点在反比例函数y＝的图象上，C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝ 4 ．
【分析】设出A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），由坐标转化线段长，从而可求出结果等于4．
【解答】解：设A（a，），C（a，），B（b，），D（b，），则
CA＝﹣＝2，
∴，
得a＝
同理：BD＝，得b＝
又∵a﹣b＝3
∴﹣＝3
解得：k2﹣k1＝4
【点评】本题考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
2.（2019•四川省广安市•3分）如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线图
交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，△面积的最大值是 ▲ .
【答案】3
【解析】因为交x轴为B点，交y轴于点A,则A（0，-2），B（4，0），即OB=4，OA=2.令PQ与x轴的交点为E，因为P在曲线C上，所以△OPE的面积恒为2，所以当△OEQ面积最大时△的面积最大，所以当Q为AB中点时△OEQ为1，故答案是3.
3.（2019湖南益阳4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ 6 ．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
4. （2019·贵州安顺·4分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2＝ ．
【解答】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，
∴△AOB的面积为k1﹣2，
∴k1﹣2＝4，
∴k1﹣k2＝8，
故答案为8．
5. （2019•黑龙江省绥化市•3分）一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是 ．
答案：2＜x＜4
考点：一次函数与反比函数的图象，由图象解不等式。
解析：由图可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2
在x＜2， x＞4时，都有y1＜y2时，
所以，2＜x＜4.
6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为 ．
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由点B的坐标为（﹣2，0）知OC＝AB＝﹣，由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠DOC＝60°，据此求得OE＝ODcos30°＝﹣k，DE＝ODsin30°＝﹣k，即D（﹣k，﹣k），代入解析式解之可得．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
∵点B的坐标为（﹣2，0），
∴AB＝﹣，
∴OC＝﹣，
由旋转性质知OD＝OC＝﹣、∠COD＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴DE＝OD＝﹣k，OE＝ODcos30°＝×（﹣）＝﹣k，
即D（﹣k，﹣k），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过D点，
∴k＝（﹣k）（﹣k）＝k2，
解得：k＝0（舍）或k＝﹣，
故答案为：﹣．
7．（2019•山东威海•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是 （用含k的代数式表示）．
【分析】如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小．首先证明点A与点B关于直线y＝x对称，因为点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，AB＝4，所以可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），则有＝，解得k＝m2+4m，推出A（m，m+4），B（m+4，m），可得M（m+2，m+2），求出OM即可解决问题．
【解答】解：如图，当OM⊥AB时，线段OM长度的最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴＝，
解得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2019•山东潍坊•3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，
∴S△BDO＝，S△AOC＝，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴＝（）2＝＝5，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法5.
9．(2019•湖南益阳•4分)反比例函数的图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ ．
【考点】反比例函数．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3(n－1)，解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为(2，n)，则点Q的坐标为(3，n－1)，
依题意得：k＝2n＝3(n－1)，解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，故答案为6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
10．(2019•云南•3分)若点(3，5)在反比例函数的图象上，则k＝ ．
【考点】反比例函数．
【分析】直接将已知点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k的值．
【解答】解：∵点(3,5)在反比例函数上，∴，∴．
【点评】此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的比例系数k．
11. (2019湖北荆门)（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝OA＝，AC＝，
∴A（，），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣，b＝，
∴y＝x+；
由题意得： 解得：x＝，
∵x＞，
∴x＝，
故点N的横坐标为：
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的x的值．
三.解答题
1.（2019•四川省广安市•6分）如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）根据A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，可以求得m的值，进而求得n的值，即可解答本题；
（2）根据函数图象和（1）中一次函数的解析式可以求得点C的坐标，从而根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC可以求得△AOB的面积．
【解答】解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，
∴4＝，得m＝﹣4，
∴y＝﹣，
∴﹣2＝﹣，得n＝2，
∴点A（2，﹣2），
∴，解得，
∴一函数解析式为y＝﹣2x+2，
即反比例函数解析式为y＝﹣，一函数解析式为y＝﹣2x+2；
（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，
∴点C的坐标是（0，2），
∵点A（2，﹣2），点B（﹣1，4），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×1＝3．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2.(2019•四川省绵阳市•11分)如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE=4CD．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．
【答案】解：（1）将点A（4，1）代入y=，
得，m2-3m=4，
解得，m1=4，m2=-1，
∴m的值为4或-1；反比例函数解析式为：y=；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，
∴∠CDB=∠CEA=90°，
∴△CDB∽△CEA，
∴，
∵CE=4CD，
∴AE=4BD，
∵A（4，1），
∴AE=4，
∴BD=1，
∴xB=1，
∴yB==4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y=kx+b，
得，，
解得，k=-1，b=5，
∴yAB=-x+5，
设直线AB与x轴交点为F，
当x=0时，y=5；当y=0时x=5，
∴C（0，5），F（5，0），
则OC=OF=5，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∴CF=OC=5，
则当OM垂直CF于M时，由垂线段最知可知，OM有最小值，
即OM=CF=．
【解析】
（1）将点A（4，1）代入y=，即可求出m的值，进一步可求出反比例函数解析式；
（2）先证△CDB∽△CEA，由CE=4CD可求出BD的长度，可进一步求出点B的坐标，以及直线AC的解析式，直线AC与坐标轴交点的坐标，可证直线AC与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM长度的最小值．
本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质．
3.（2019湖南常德6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+3上求a，进而代入反比例函数y＝（k≠0）求k即可；
（2）设P（x，0），求得C点的坐标，则PC＝|3﹣x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
4.（2019浙江丽水10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．
【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；
（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；
【解答】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG＝，
∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝上，
∴k＝2，
∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），
∴点A在反比例函数图象上；
（2）D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
联立方程解得x＝，
∴Q点横坐标为；
（3）E（4，），F（3，2），
将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），
则点E与F都在反比例函数图象上；
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．
5. （2019•甘肃庆阳•10分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据图象可解．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点，
∴3＝，3＝﹣1+b，
∴k＝3，b＝4，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；
（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
6 （2019·贵州贵阳·10分）如图，已知一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，并与反比例函数y＝的图象相切于点C．
（1）切点C的坐标是 （2，4） ；
（2）若点M为线段BC的中点，将一次函数y＝﹣2x+8的图象向左平移m（m＞0）个单位后，点C和点M平移后的对应点同时落在另一个反比例函数y＝的图象上时，求k的值．
【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可；
（2）先求出点M坐标，再求出点C和点M平移后的对应点的坐标，列出方程可求m和k的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数y＝的图象相切于点C
∴﹣2x+8＝
∴x＝2，
∴点C坐标为（2，4）
故答案为：（2，4）；
（2）∵一次函数y＝﹣2x+8的图象与坐标轴交于A，B两点，
∴点B（4，0）
∵点M为线段BC的中点，
∴点M（3，2）
∴点C和点M平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2）
∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m）
∴m＝1
∴k＝4
【点评】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质，由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题．
7. （2019•贵州省铜仁市•12分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，
且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，
∴3＝﹣，
解得：x＝﹣4，
y＝﹣＝﹣4，
故B（﹣4，3），A（3，﹣4），
把A，B点代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；
（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，
故C点坐标为：（﹣1，0），
则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；
（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．
8 （2019•河北省•10分）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v＝2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【解答】解：（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），
∴S头＝2t+300
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150 s，此时S头＝2t+300＝600 m
甲返回时间为：（t﹣150）s
∴S甲＝S头﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头＝2t+300，当甲赶到排头位置时，求S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲＝﹣4t+1200．
（2）T＝t追及+t返回＝+＝，
在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；
因此T与v的函数关系式为：T＝，此时队伍在此过程中行进的路程为（400﹣150v）m．
9．（2019•山东临沂•9分）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h内水位的变化情况，其中x表示时间（单位：h），y表示水位高度（单位：m），当x＝8（h）时，达到警戒水位，开始开闸放水．
x/h
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
y/m
14
15
16
17
18
14.4
12
10.3
9
8
7.2
（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点．
（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式．
（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m．
【分析】根据描点的趋势，猜测函数类型，发现当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点，如图所示．
（2）观察图象当0＜x＜8时，y与x可能是一次函数关系：设y＝kx+b，把（0，14），（8，18）代入得
解得：k＝，b＝14，y与x的关系式为：y＝x+14，经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足y＝x+14
因此放水前y与x的关系式为：y＝x+14 （0＜x＜8）
观察图象当x＞8时，y与x就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8×18＝10×10.4＝12×12＝16×9＝18×8＝144．
因此放水后y与x的关系最符合反比例函数，关系式为：．（x＞8）
所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为：y＝x+14 （0＜x＜8）和 ．（x＞8）
（3）当y＝6时，6＝，解得：x＝24，
因此预计24h水位达到6m．
【点评】根据图象猜测函数类型，尝试求出，再验证确切性；也可根据自变量和函数的变化关系进行猜测，关系式确定后，可以求自变量函数的对应值．
10．（2019•山东泰安•11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；
②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；
③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；
（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①当AB＝PB时，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②当AB＝AP时，如图2，
由（1）知，BD＝4，
易知，点P与点B关于AD对称，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③当PB＝AP时，设P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
11．（2019•山东威海•8分）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．
小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：
若n＞1，则 +＞ ．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．
【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得+＞．
（2）方法一利用求差法比较大小，方法二：利用求商法比较大小．
【解答】解：（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．
故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，
∴+＞．
方法二：∵＝＞1，
∴+＞．
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．(2019•湖南常德•6分)如图，一次函数y＝－x+3的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，a)和B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．
【考点】一次函数与反比例函数．
【分析】(1)利用点A在y＝－x+3上求a，进而代入反比例函数y＝(k≠0)求k即可；
(2)设P(x，0)，求得C点的坐标，则PC＝|3－x|，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：(1)把点A(1，a)代入y＝－x+3，得a＝2，∴A(1，2)
把A(1，2)代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
(2)∵一次函数y＝－x+3的图象与x轴交于点C，∴C(3，0)，
设P(x，0)，∴PC＝|3－x|，
∴S△APC＝|3－x|×2＝5，∴x＝－2或x＝8，
∴P的坐标为(－2，0)或(8，0)．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．
