2023-2024学年山东省临沂外国语学校九年级（下）调研数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂外国语学校九年级（下）调研数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在实数1、−1、 2、32中，最大的数是( )
A. 1B. −1C. 2D. 32
2.9的算术平方根是( )
A. −3B. ±3C. 3D. 3
3.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108B. 3×109C. 3×1010D. 3×1011
4.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. a>bB. ab>0C. −a>bD. |a|<|b|
5.下列计算正确的是( )
A. m3+m4=m2+m5B. m4⋅m3=m12
C. m4÷m4=mD. (m4)2=m8
6.化简a2+aba−b÷aba−b的结果是( )
A. a2B. a2a−bC. a−bbD. a+bb
7.一元二次方程t2−t−34=0配方后可化为( )
A. (t+12)2=1B. (t+12)2=12C. (t−12)2=1D. (t−12)2=12
8.如图，公园里的方桌旁有4个圆凳，甲、乙、丙、丁4人随机坐到这4个圆凳上，则甲坐在乙对面的概率为( )
A. 14
B. 12
C. 13
D. 23
9.在同一直角坐标系中，反比例函数y=ax与一次函数y=ax−a(a≠0)的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.如图，边长为4的正方形OABC放置在平面直角坐标系中，OA在x轴正半轴上，OC在y轴正半轴上，当直线y=−x+b中的系数b从0开始逐渐变大时，直线在正方形上扫过的面积记为S.则S关于b的函数图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算： 8− 12= ______； 24÷ 35= ______；(2 3+ 6)(2 3− 6)= ______．
12.要使代数式 2x−2x−2有意义，则x的取值范围是______．
13.一个正多边形的内角和比其外角和的度数大720°，则它的边数是______．
14.已知关于x的分式方程12x+3−a−xx−5=1无解，则a的值为 ．
15.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为______．
16.利用图形的分、合、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法.如图1，点I、点G是矩形ABCD对角线AC上的两点，四边形EBFG和四边形HIJD是两个全等的正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若矩形ABCD的周长是40，面积是88，则NQ= ______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组2(x−1)≤3x−1x+43>2x−1，并写出它的所有整数解．
18.(本小题12分)
化简(xx+1+xx−1)⋅x2−1x下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
19.(本小题12分)
书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
20.(本小题12分)
如图，直线OC：y=3x的图象与反比例函数：y=kx(x>0)的图象交于点C(2,c)，点A在x轴的正半轴上，四边形OABC是平行四边形，y=kx(x>0)的图象经过线段AB的中点M．
(1)求c的值与k的值；
(2)求平行四边形OABC的面积；
(3)若点P是反比例函数y=kx(x>0)图象上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，使得四边形AMPQ是矩形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题14分)
如图，△ABC为等边三角形，D为平面内任意一点，连接AD．
(1)如图1，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接DE，CE，直接写出BD与CE的数量关系为______；直线BD与CE所夹锐角为______度.
(2)如图2，D为△ABC外一点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接DE，取BC，DE的中点M，N，连接MN，试问：MNBD的值是否随图形的旋转而变化？若不变，请求出该值；若变化，请说明理由．
(3)如图3，D在BC边上时，将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，连接BE交AC于F，G为AB边的中点，连接FG，猜想FG与AE存在的关系，并证明你的猜想．
22.(本小题14分)
抛物线y=x2−mx+m+1与y轴交于点A，顶点为D．
(1)若抛物线过点B(−3,2)，求抛物线顶点D和点A坐标；
(2)如图，在(1)的条件下，连接AB，点N为线段AB下方抛物线上一点，求△ABN面积的最大值；
(3)已知点P(2m+3,2)，Q(1,3+m2)，若线段PQ与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵ 2≈1.414，
∴32> 2>1>−1，
∴最大的数是32，
故选：D．
先求出 2的近似值，然后根据正负数的大小比较即可．
本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根 a.依此即可求解．
【解答】
解：9的算术平方根是3．
故选C．
3.【答案】D
【解析】解：3000亿=3000×108=3×1011，
故选：D．
运用科学记数法进行变形、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4.【答案】C
【解析】解：由有理数a、b在数轴上的位置可得，a<0，b>0，|a|>|b|，
∴ab，
因此A，B、D不符合题意，C符合题意，
故选：C。
根据有理数a、b在数轴上的位置，可以得出a为负数，b为正数，且a的绝对值较大，然后利用相反数、绝对值的意义进行判断。
考查数轴表示数、绝对值、相反数、有理数的乘法的法则等知识，根据点在数轴的位置，确定有理数的大小，绝对值的大小是解决问题的关键。
5.【答案】D
【解析】解：A、m3+m4=m4+m3，故A不符合题意；
B、m4⋅m3=m7，故B不符合题意；
C、m4÷m4=1，故C不符合题意；
D、(m4)2=m8，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键，先将分子因式分解，再将除法转化为乘法后约分即可．
【解答】
解：原式=a(a+b)a−b⋅a−bab=a+bb，
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：t2−t−34=0，
移项得：t2−t=34，
配方得：t2−t+(−12)2=34+(−12)2，
即：(t−12)2=1，
故选：C．
根据题意先将常数移项到等号右侧，再进行配方即可．
本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】解：如图，设甲坐在圆凳④上，把其它三个圆凳分别记为①、②、③，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，
∴甲坐在乙对面的概率为26=13，
故选：C．
设甲坐在最上面的圆凳A，把其它三个圆凳分别记为B、C、D，画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲坐在乙对面的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】解：当a>0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故C错误，B正确；
当a<0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故A、D错误；
故选：B．
分别根据a>0和a<0讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：①当0≤b≤4，S=12⋅b2；
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向上；
②当4≤b<8，S=16−12(8−b)2=−12(b−8)2+16，
它的函数图象为抛物线的一部分，开口向下；
③当b≥8，S=16；
它的函数图象为射线；
所以B选项正确．
故选：B．
当0≤b≤4；4≤b<8；b≥8时，分别求出S，然后根据求得的解析式得到对应的函数图象即可找到正确选项．
本题考查了运用分类的思想求动点的函数图象的问题：分别求出每个时段的函数关系式，然后根据自变量和函数解析式作出相应的图象．
11.【答案】3 22 2 10 6
【解析】解： 8− 12
=2 2− 22
=3 22；
24÷ 35
= 24×53
=2 10；
(2 3+ 6)(2 3− 6)=12−6=6．
故答案为：3 22，2 10，6．
对于 8− 12，把二次根式化为最简二次根式，然后合并；对于 24÷ 35，先根据二次根式的除法法则运算，然后化简即可；利用平方差公式计算(2 3+ 6)(2 3− 6).
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
12.【答案】x≥1且x≠2
【解析】解：由题意得，2x−2≥0且x−2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】8
【解析】解：设这个多边形是n边形．
则180°⋅(n−2)=720°+360°，
解得n=8，
故答案为：8．
结合多边形的内角和公式与外角和的关系寻求等量关系，构建方程即可求解．
本题考查多边形的内角和与外角和，解题关键是记住内角和的公式与外角和的性质．
14.【答案】5或112
【解析】解：12x+3−a−xx−5=1，
去分母得：x−5−(a−x)(2x+3)=(2x+3)(x−5)，
(11−2a)x=(3a−10)，
当11−2a=0，即a=112时，整式方程无解，分式方程也无解；
当11−2a≠0，即a≠112时，整式方程有唯一解，但是x=3a−1011−2a=5或x=3a−1011−2a=−32分式方程无解，
当x=3a−1011−2a=5时，a=5，
当x=3a−1011−2a=−32时a不存在．
∴a=5或a=112时分式方程无解．
故答案为：5或112．
首先去掉分母，然后讨论整式方程无解条件，接着讨论整式方程有解但是分式方程无解条件，由此求出a的值．
本题主要考查了分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；整式方程有解但是分式方程产生增根．
15.【答案】63
【解析】解：第①个图形有3颗棋子，即3=3，
第②个图形一共有9颗棋子，即9=3+6，
第③个图形一共有18颗棋子，即18=3+6+9
…，
∴第⑥个图形中棋子的颗数为：3+6+9+12+15+18=3×(1+2+3+4+5+6)=63(颗)，
故答案为：63．
由题意可知，最里面的棋子的个数是3，由内到外依此比里面一层多3个棋子，由此规律计算出棋子个数即可．
本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出棋子的变化规律是解题的关键．
16.【答案】4.4
【解析】解：∵矩形ABCD的周长是40，面积是88，
∴2(AB+BC)=40，AB⋅BC=88，
∴AB+BC=20，
由图2得：MN=AB+BC=20，
∴MN⋅NQ=88，
解得：NQ=4.4．
故答案为：4.4．
由长方形ABCD的周长与面积，可得AB+BC=20，AB⋅BC=88，由图2可知，长方形NQPM的长为(AB+BC)，再利用等积即可求解．
本题主要考查全等图形，解答的关键是明确图1与图2的面积相等．
17.【答案】解：2(x−1)≤3x−1①x+43>2x−1②，
解不等式①，得x≥−1；
解不等式②，得x<75，
∴这个不等式组的解集是−1≤x<75，
∴这个不等式组的整数解是−1、0、1．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】② ③
【解析】解：(1)甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②；③；
(2)若选择甲同学的解法：
若选择甲同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x+1)(x−1)]⋅x2−1x
=2x2(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x
=2x；
若选择乙同学的解法：
(xx+1+xx−1)⋅x2−1x
=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
=xx+1⋅(x+1)(x−1)x+xx−1⋅(x+1)(x−1)x
=x−1+x+1
=2x．
(1)根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；
(2)若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：40x+100y=28030x+200y=260，
解得：x=6y=0.4，
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元；
(2)设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为(200−m)张，
根据题意可得：6m+0.4(200−m)≤360，
解得：m≤50，
答：学校最多可以购买50支毛笔．
【解析】(1)设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设可以购买m支毛笔，则购买宣纸的数量为(200−m)张，根据(1)中所求，结合计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200得出不等式求出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：(1)当x=2时，y=3x=6=c，
即点C(2,6)，
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：k=2×6=12，
即c=6，k=12；
(2)由(1)知，反比例函数的表达式为：y=12x，
设点A(m,0)，则点B(m+2,6)，
则点M的坐标为：(m+1,3)，
将点M的坐标代入反比例函数表达式得：3(m+1)=12，
解得：m=3，
即点M(4,3)，点B(5,6)，
则四边形OABC的面积=OA×yB=3×6=18；
(3)存在，理由：
设点P(s,t)，则st=12①，
过点M作GH//x轴，交故点A和y轴的平行线于点G，交过点P和y轴的平行线于点H，

则△AGM、△MPH为直角三角形，
∵AMPQ是矩形，则∠AMP=90°，
∵∠GMA+∠HMP=90°，∠GMA+∠GAM=90°，
∴∠GAM=∠HMP，
∴tan∠GAM=tan∠HMP，即GMAG=PHMH
∵GM=4−3=1，AG=3，MH=s−4，PH=3−t，
则13=3−ts−4②，
联立①②并解得：s=3或9t=4或43，
即点P的坐标为：(3,4)或(9,43).
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)设点A(m,0)，则点B(m+2,6)，得到点M的坐标为：(m+1,3)，求出m=3，即可求解；
(3)证明∠GAM=∠HMP，得到tan∠GAM=tan∠HMP，即GMAG=PHMH，即可求解．
本题考查了反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、平行四边形和矩形的性质、面积的计算等，分类求解和数形结合是本题解题的关键．
21.【答案】(1)BD=CE，60;
(2)MNBD的值不发生变化，理由如下：
如图2中，连接AM、AN，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE，
∴AM⊥BC，AN⊥DE，∠ABC=∠ADE=∠BAC=∠DAE=60°，
∴AMAB=sin60°，ANAD=sin60°，∠MAB=∠MAC=∠DAN=∠EAN=30°，
∴AMAB=ANAD，∠BAD=∠MAN，
∴△BAD∽△MAN，
∴MNBD=AMAB=sin60°= 32；
(3)FG//AE，FG=12AE，理由如下：
如图3，延长EA至H，使AE=AH，连接BH，DH，
∵将AD绕点A逆时针旋转120°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=120°，
∴∠DAH=60°，
又∵AH=AD，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠AHD=∠ADH=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AHD=∠ABC，
∴点A，点D，点B，点H四点共圆，
∴∠ABH=∠ADH=60°，
∴∠ABH=∠BAC，
∴AF//BH，
∴EFBF=AEAH=1，
∴EF=BF，
又∵G为AB边的中点，
∴GF/​/AE，FG=12AE．
【解析】解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°=∠BAC，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，
∴AD=AE，∠DAE=60°=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠ACE=60°，BD=CE，
∴∠BCE=120°，
∴直线BD与CE所夹锐角为60°，
故答案为：BD=CE，60；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由“′SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠B=∠ACE=60°，BD=CE，即可求解；
(2)通过证明△BAD∽△MAN，利用相似比为 32，即可解决问题；
(3)通过证明点A，点D，点B，点H四点共圆，可得∠ABH=∠ADH=60°=∠BAC，可证AF//BH，由三角形中位线可得结论．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵抛物线过点B(−3,2)，
∴2=9+3m+m+1，
解得m=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−1，
当x=0时，y=−1，
∴A(0,−1)，
∵y=x2+2x−1=(x+1)2−2，
∴抛物线顶点D的坐标为(−1,−2)；
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−3k+b=2b=−1，
∴k=−1b=−1，
∴直线AB的解析式为y=−x−1，
过N作MN/​/y轴交AB于M，
设N(n,n2+2n−1)，则M(n,−n−1)，

∴MN=−n−1−n2−2n+1=−n2−3n，
∴S△ABN=12×3MN=32(−n2−3n)=−32(n2+3n)=−32(n+32)2+278，
∴△ABN面积的最大值为278；
(3)令y=2，则y=x2−mx+m+1=2，
解得x=m−1或1，
∴点E(m−1,2,)F(1,2)，
∴点P在直线EF上，
①如图，当m−1>1，即m>2时，2m+3>m−1，3+m2>2，

∴E(m−1,2)在F(1,2)右侧，且Q(1,3+m2)在F(1,2)的上方，
∴P(2m+3,2)在E(m−1,2)右侧，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m>2；
②当m−1<1，即m<2时，3+m2>2，

由图得，当2m+3≤m−1时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m≤−4；
当2m+3≥1时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m≥−1，
∴−1≤m<2；
③当m−1=1即m=2时，2m+3=7，3+m2>7，

∴点P(7,2)，Q(1,7)，E(1,2)F(1,2)，
此时，线段PQ与抛物线恰有一个交点，
∴m=2，
综上所述，m的取值范围为m>2或m≤−4或−1≤m<2或m=2．
【解析】(1)将m=−2代入y=mx2−2m(m+1)x+2可得抛物线解析式为：y=−2x2−4x+2=−2(x+1)2+4，即可得抛物线的顶点坐标；
(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=−x−1，过N作MN/​/y轴交AB于M，设N(n,n2+2n−1)，则M(n,−n−1)，MN=−n−1−n2−2n+1=−n2−3n，则S△ABN=12×3MN=32(−n2−3n)=−32(n2+3n)=−32(n+32)2+278，根据二次函数的性质即可求解；
(3)令y=2，可得抛物线过点E(m−1,2)F(1,2)，可得点P在直线EF上，分m−1>1时，m−1<1时，m−1=1时，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．甲同学
解：原式=[x(x−1)(x+1)(x−1)+x(x+1)(x−1)(x+1)]⋅x2−1x……

乙同学
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x……