苏科版八年级上册第四章 实数4.3 实数课时作业

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【名师点睛】
1.无理数：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、
2的平方根等．
2.实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
3.实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
4.实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5.实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【典例剖析】
【考点1】实数的运算
【例1】（2022·江苏·八年级专题练习）计算：
(1)33−(3)2+(π+3)0−27+|3−2|
(2)(3+2)(2−3)+(3−2)2
【答案】(1)−33；
(2)6−26
【分析】（1）利用利用有理数的乘方法则，零指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可；
（2）根据平方差公式及完全平方公式及二次根式的运算法则即可解答．
（1）解：原式=3−3+1−33+2−3=-33.
（2）解：原式=4−3+3−26+2=6−26
【点睛】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，零指数幂的意义，二次根式的性质和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
【变式1】（2022·江苏盐城·八年级期末）
（1）计算：(−3)2−3338+(5)2−|2−2|；
（2）求式中的x：(3−x)2=64．
【答案】（1）92+2（2）x=−5或x=11．
【分析】（1）利用实数的运算法则计算法则；
（2）利用平方根解方程即可．
【详解】解：（1）(−3)2−3338+(5)2−|2−2|
=3−32+5+2−2
=92+2．
（2）(3−x)2=64
开平方得：(3−x)=±8
∴3−x=8或3−x=−8
∴x=−5或x=11
故方程的解为：x=−5或x=11 ．
【点睛】本题考查实数的混合运算法则，利用平方根解方程，解题的关键是掌握运算法则及平方根解方程．
【考点2】实数的分类
【例2】（2022·江苏·八年级）把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣12，|﹣2|，2.3，30%，4，3−8．
(1)整数集：{ …}；
(2)有理数集：{ …}；
(3)无理数集：{ …}．
【答案】(1)2，4，3−8
(2)2，﹣12，2.3，30%，4，3−8
(3)π，|−2|
【分析】根据有理数与无理数概念，运用实数的分类求解即可．
(1)
解：∵|−2|＝2，4＝2，3−8＝﹣2，
∴整数集：{2，4，3−8，…}
故答案为：2，4，3−8；
(2)
解：有理数集：{2，﹣12，2.3，30%，4，3−8，…}；
故答案为：2，﹣12，2.3，30%，4，3−8；
(3)
解：无理数集：{π，|−2|，…}；
故答案为：π，|−2|．
【点睛】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记实数的分类．
【变式2】（2020·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内．
32，−35，38，(3)2，2π，364，3.14159265，−−25，1.03030030003…（相邻两个3之间依次多1个0）．
（1）有理数集合：{ }
（2）无理数集合：{ }
（3）整数集合：{ }
（4）负实数集合：{ }
【答案】（1）−35，38，(3)2，364，3.14159265，−−25，... （2）32，2π，1.03030030003…（相邻两个3之间依次多1个0），...（3）38，(3)2，364，−−25， ...(4）−35，−−25，...
【分析】（1）根据有理数的定义即可求解；
（2）根据无理数的定义即可求解；
（3）根据整数的定义即可求解；
（4）根据负实数的定义即可求解．
【详解】∵38=2，(3)2=3，364=4，−−25=-5．
∴（1）有理数集合：{−35，38，(3)2，364，3.14159265，−−25，...}
（2）无理数集合：{32，2π，1.03030030003…（相邻两个3之间依次多1个0），...}
（3）整数集合：{38，(3)2，364，−−25， ...}
（4）负实数集合：{−35，−−25，...}．
【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知实数的分类方法及无理数的定义．
【考点3】实数的性质
【例3】（2022·江苏·八年级）已知|x|＝5，y是11的平方根，且x>y，求x+y的值．
【答案】5−11或−5−11
【分析】根据绝对值的化简，得到x=5或x= -5；y是11的平方根，得到y=11或y= -11，比较大小后，计算和值．
【详解】∵|x|＝5，y是11的平方根，
∴x=5或x= -5； y=11或y= -11，
∵x>y，
∴x=5，y= -11或x= -5，y= -11，
∴x+y=5−11或x+y=−5−11．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，其中a是非负数；实数的大小比较，正确理解平方根的定义，灵活进行大小比较是解题的关键．
【变式3】（2018·江苏泰州·八年级期中）已知实数x、y、m满足x+2+3x+y+m=0,且y是负数，求m取值范围．
【答案】m>6
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：根据题意得：{x+2=03x+y+m=0，
解得：{x=−2y=6−m，
则6-m＜0，
解得：m＞6．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【考点4】实数与数轴
【例4】（2021·江苏·沭阳县怀文中学八年级阶段练习）实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，
化简：a2+3a+b3−b−c
【答案】2b−c．
【分析】根据数轴上点的位置可得b【详解】解：由数轴上点的位置可知：b∴原式=a+a+b−c−b
=−a+a+b−c+b
=2b−c．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，立方根和绝对值，解题的关键在于能够根据数轴上点的位置得到b【变式4】（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）（1）计算32= ；(−6)2= ；(−12)2= ；02=
（2）利用上述规律计算：实数a、b在数轴上的位置，化简 a2−b2−a−b2．
【答案】（1）3；6；12；0；（2）−2b
【分析】（1）先算根号里的乘方运算，然后再根据算术平方根可进行求解；
（2）由（1）可得当a2中a≥0时，结果为a，当a＜0时，结果为-a，由此结合题中的数轴可进行求解．
【详解】解：（1）32=9=3，−62=36=6，−122=14=12，02=0；
故答案为3；6；12；0；
（2）由（1）可知当a2中a≥0时，结果为a，当a＜0时，结果为-a，由数轴可得−1∴a−b<0，
∴a2−b2−a−b2=−a−b+a−b=−2b．
【点睛】本题主要考查算术平方根、实数的运算及合并同类项，熟练掌握算术平方根、实数的运算及合并同类项是解题的关键．
【考点5】实数的大小比较
【例5】（2022·江苏·八年级）数学课上，老师出了一道题：比较19−23与23的大小．
小华的方法是：
因为19＞4，所以19﹣2_____2，所以19−23_____23（填“＞”或“＜”）；
小英的方法是：
19−23﹣23＝19−43，因为19＞42＝16，所以19﹣4____0，所以19−43____0，所以19−23_____23（填“＞”或“＜”）．
（1）根据上述材料填空；
（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较6−14与12的大小．
【答案】（1）＞，＞，＞，＞，＞；（2）6−14<12．
【分析】（1）根据不等式的性质即可求解；
（2）根据小华的方法求解即可．
【详解】解：（1）∵19>4，
∴19−2>2，
∴19−23>23；
19−23−23=19−2−23=19−43，
∵19>42=16，
∴19−4>0．
∴19−43>0，
∴19−23>23，
故答案是：＞，＞，＞，＞，＞；
（2）∵6<3，
∴6−1<2，
∴6−14<12；
【点睛】考查了实数大小比较，读懂题目并能应用，熟练掌握比较大小的解法是解题的关键．
【变式5】（2020·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）（1）用“<”“>”或“=”填空：1 2，2 3；
（2）由以上可知：
①|1−2|= ；
②|2−3|= ．
（3）计算：|1−2|+|2−3|+|3−4|+⋯+|35−36|．
【答案】（1）<，<；（2）①2−1；②3−2；（3）5．
【分析】（1）比较被开方数的大小即可；
（2）根据绝对值的意义化简即可；
（3）先化简绝对值，再合并同类二次根式；
【详解】解：（1）∵1<2，2<3，
∴1<2，2<3；
故答案为：<，<；
（2）∵1<2，2<3，
∴1-2<0，2-3<0，
∴①|1−2|=−1−2=2−1；
②|2−3|=−2−3=3−2；
故答案为：2−1；②3−2；
（3）|1−2|+|2−3|+|3−4|+⋯+|35−36|
=2−1+3−2+4−3+36−35
=−1+36
=5．
【点睛】本题考查了无理数的大小比较，绝对值的意义，以及二次根式的加减运算，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
【考点6】实数的整数部分与小数部分
【例6】（2022·江苏·八年级）阅读下面的文字后回答问题：我们知道无理数是无限不循环小数，例如2=1.414…，2的小数部分我们无法全部出来，但可以用2−1来表示．请解答下列问题：
(1)17的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)若5的小数部分是a，6的整数部分是b，求a(b+5)的值．
【答案】(1)4，17−4
(2)1
【分析】（1）用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案；
（2）用夹逼法估算无理数的大小得出a，b的值，代入代数式求值即可；
(1)
解： ∵16<17<25，
∴4<17<5，
∴ 17的整数部分是4，小数部分是17−4，
故答案为：4，17−4；
(2)
∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴a=5−2，
∵4<6<9，
∴2<6<3，
∴b=2，
∴a(b+5)=(5−2)(2+5)=1．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式6】（2022·江苏·八年级）我们用[a]表示不大于a的最大整数，a−[a]的值称为数a的小数部分，如[2.13]=2，2.13的小数部分为2.13−[2.13]=0.13．
(1)[3]= ，[7]= ，π的小数部分= ．
(2)设5的小数部分为a，则a+[13]−5= ．
(3)已知：10+3=x+y，其中x是整数；且0【答案】(1)1，2，π−3
(2)1
(3)3−12
【分析】（1）根据平方运算估算出3，7的值，即可解答，再根据π的整数部分是3，即可求出π的小数部分；
（2）根据平方运算估算出5，13的值，即可解答；
（3）利用（1）的结论可得11<10+3<12，从而求出x，y的值，进而求出x−y的值，然后根据相反数的意义，即可解答．
(1)
解： ∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴[3]=1，
∵4<7<9，
∴2<7<3，
∴[7]=2，
π的小数部分为：π−3，
故答案为：1，2，π−3；
(2)
∵4<5<9，
∴2<5<3，
∴ 5的整数部分为2，
∴ 5的小数部分为：5−2，
∴a=5−2，
∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴[13]=3，
∴a+[13]−5=5−2+3−5 =1，
故答案为：1；
(3)
∵1<3<2，
∴11<10+3<12，
∵10+3=x+y，x是整数，且0∴x=11，y=10+3−11=3−1，
∴x−y=11−(3−1)
=11−3+1
=12−3，
∴x−y的相反数为：3−12，
故答案为：3−12．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的混合运算，熟练掌握平方数是解题的关键．
【满分训练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•海安市期末）下列各数中，无理数是（ ）
A．3.2B．27C．4D．π﹣3.14
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解析】A．3.2是小数，属于分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．27是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．4=2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．π是无理数，故π﹣3.14也是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2022春•海门市期末）如果m＜17−1＜m+1，那么正整数m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由42＜17＜52可得4＜17＜5，进而得出m的值．
【解析】∵42＜17＜52，
∴4＜17＜5，
∴3＜17−1＜4，
∵m为正整数，且m＜17−1＜m+1，
∴m＝3．
故选：C．
3．（2022•工业园区校级模拟）下列实数中，最小的是（ ）
A．﹣πB．﹣1C．−2D．−3
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的数反而小作出判断即可．
【解析】|﹣π|＞|−3|＞|−2|＞|﹣1|，
∴﹣π＜−3＜−2＜−1．
所以最小的数是﹣π．
故选：A．
4．（2022•泰州）下列判断正确的是（ ）
A．0＜3＜1B．1＜3＜2C．2＜3＜3D．3＜3＜4
【分析】估算确定出3的大小范围即可．
【解析】∵1＜3＜4，
∴1＜3＜2．
故选：B．
5．（2022春•灌云县期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，分别表示实数a、a+5、5，则原点的位置在（ ）
A．点A和点B之间B．点B和点C之间
C．点A的左侧D．点C的右侧
【分析】通过数轴先判断a的取值范围，再判断原点位置即可．
【解析】∵a+5＜5，
∴a＜0，
∵AB＞BC，
∴a+5﹣a＞5﹣（a+5），
∴a＞﹣5，
∴a+5＞0，
∴原点的位置在点A和点B之间，
故选：A．
6．（2022•玄武区二模）下列整数，在7与15之间的是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据9在7与15之间判断即可．
【解析】∵5=25，4=16，3=9，2=4，
∴在7与15之间的是3，
故选：C．
7．（2022•建邺区二模）数m在数轴上的位置如图所示，则m、﹣m、1m这三个数的大小关系为（ ）
A．﹣m＜m＜1mB．1m＜m＜﹣mC．﹣m＜1m＜mD．m＜1m＜−m
【分析】通过特殊值法判断即可．
【解析】若m＝﹣2，
则﹣m＝2，
1m=−12，
∵﹣2＜−12＜2，
∴m＜1m＜−m，
故选：D．
8．（2022•苏州模拟）2+2的整数部分是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平方运算估算出2的值，即可解答．
【解析】∵1＜2＜2，
∴3＜2+2＜4，
∴2+2的整数部分是3，
故选：C．
9．（2022春•锡山区期中）已知x满足条件11＜x＜111，若x为整数，则满足条件的整数x的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【解析】∵9＜11＜16，100＜111＜121，
∴3＜11＜4，10＜111＜11，
∵x为整数，
∴满足条件的整数x有4，5，6，7，8，9，10共7个，
故选：C．
10．（2022•五华区一模）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数的著作，书中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门名词——“面”．例如面积为7的正方形的边长称为7“面”，关于7“面”的说法正确的是（ ）
A．它是0和1之间的实数B．它是1和2之间的实数
C．它是2和3之间的实数D．它是3和4之间的实数
【分析】估算出7的近似值即可判断．
【解析】∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∴7“面”是2和3之间的实数，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2022春•海安市期末）无理数7的整数部分是 2 ．
【分析】由22＜7＜32可得2＜7＜3，进而得出7的整数部分．
【解析】∵22＜7＜32，
∴2＜7＜3，
∴无理数7的整数部分是2．
故答案为：2．
12．（2022春•海门市期末）计算：3−1+9= 2 ．
【分析】3−1表示﹣1的立方根，9表示9的算术平方根．
【解析】原式＝﹣1+3
＝2．
故答案为：2
13．（2022春•如皋市期末）写一个比2小的无理数为 −2（答案不唯一） ．
【分析】根据负数小于正数，写一个负无理数即可．
【解析】∵负数小于正数，
∴比2小的无理数为−2，
故答案为：−2（答案不唯一）．
14．（2021秋•吴江区月考）比较大小：23 ＜ 4（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】先估算23的值，然后判断即可．
【解析】∵1＜3＜2，
∴2＜23＜4，
∴23＜4．
故答案为：＜．
15．（2022春•鼓楼区期末）与7−15最接近的整数是 3 ．
【分析】先估算15的大小，然后计算代数式的值，最后得出最接近的整数．
【解析】∵9=3，16=4，
∴3＜15＜4且15比较接近4，
∴3＜7−15＜4且比较接近3．
故答案为：3．
16．（2022•宿迁）满足11≥k的最大整数k是 3 ．
【分析】根据无理数的估算分析解题．
【解析】∵3＜11＜4，且k≤11，
∴最大整数k是3．
故答案为：3．
17．（2022春•仪征市期末）若a＜13＜b，且a，b是两个连续整数，则a+b的值为 7 ．
【分析】先估算13的大小，确定出a和b的值，然后计算a+b的值即可．
【解析】∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴a＝3，b＝4，
∴a+b＝7．
故答案为：7．
18．（2022春•靖江市校级月考）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式a2+r≈a+r2a得到无理数的近似值，其中r取正整数，且a取尽可能大的正整数．例如：把11化成32+2，再根据近似公式得出11≈3+23×2=103，若利用此公式计算17的近似值时，则17≈ 338 ．
【分析】先把17化成42+1，再根据近似公式a2+r≈a+r2a得出17≈4+12×4，然后进行计算即可得出答案．
【解析】根据题意得：
17≈4+12×4=338，
故答案为：338．
三．解答题（共6小题）
19．（2022春•吴中区校级期末）计算：.(3−1)0−4+|1−2|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解析】原式＝1﹣2+2−1
=2−2．
20．（2022春•江都区月考）计算：
（1）18−412+32；
（2）324−|1−2|+（2−1）0+8．
【分析】（1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算零指数幂、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解析】（1）18−412+32
＝32−4×22+42
＝32−22+42
＝52．
（2）324−|1−2|+（2−1）0+8
＝233−（2−1）+1+22
＝233−2+1+1+22
＝233+2+2．
21．（2022春•崇川区校级期中）计算：
（1）|3−2|+|3−2|﹣|2−1|；
（2）38+(−2)2−14+（﹣1）2018．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质化简，再合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则，进而计算得出答案．
【解析】（1）原式=3−2+2−3−（2−1）
=3−2+2−3−2+1
＝﹣22+3；
（2）原式＝2+2−12+1
＝412．
22．（2020秋•青田县期末）计算：
（1）﹣2﹣3×（﹣1）；
（2）(−1)2012+(−9)×|−29|−42÷(−2)；
（3）16−(3−8+4)．
【分析】（1）首先计算乘法，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
（2）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（3）首先计算开方和小括号里面的运算，然后计算小括号外面的减法，求出算式的值是多少即可．
【解析】（1）﹣2﹣3×（﹣1）
＝﹣2﹣（﹣3）
＝1．
（2）(−1)2012+(−9)×|−29|−42÷(−2)
＝1+（﹣9）×29−16÷（﹣2）
＝1﹣2+8
＝7．
（3）16−(3−8+4)
＝4﹣（﹣2+4）
＝4﹣2
＝2．
23．若已知x，y，z为实数，并且x+3+(y−1)2+z2−2z+1=0，试求（x+y+z）2021的值．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，然后利用算术平方根和绝对值的非负性确定x，y，z的值，从而代入求值．
【解析】∵x+3+(y−1)2+z2−2z+1=0，
∴x+3+(y−1)2+(z−1)2=0，
∴x+3+|y﹣1|+|z﹣1|＝0，
又∵x+3≥0，|y﹣1|≥0，|z﹣1|≥0，
∴x+3＝0，y﹣1＝0，z﹣1＝0，
解得：x＝﹣3，y＝1，z＝1，
∴原式＝（﹣3+1+1）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
即（x+y+z）2021的值为﹣1．
24．（2020秋•江干区期末）如果一个正方形ABCD的面积为69．
（1）求正方形ABCD的边长a．
（2）正方形ABCD的边长满足m＜a＜n，m，n表示两个连续的正整数，求m，n的值．
（3）m，n在满足（2）的条件下，求3−m−n的值．
【分析】（1）根据正方形的面积是69即可得出答案；
（2）故选69的范围即可求出m，n的值；
（3）把m，n的值代入求值即可．
【解析】（1）∵正方形ABCD的面积为69，
∴正方形ABCD的边长a=69；
（2）∵64＜69＜81，
∴8＜69＜9，
∴m＝8，n＝9；
（3）当m＝8，n＝9时，
原式=3−8−9
＝﹣2﹣3
＝﹣5．