第三章 模型3用端点效应速解不等式恒成立问题模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳

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【问题背景】不等式恒成立求参数取值范围问题，是高考的热点，同时也是高考难点，其通法是采用分类讨论，但过程往往比较繁琐，计算量较大；当然也可以优先采用分离参数法，然而并非所有的问题都能奏效，尤其是遇到一些问题，其参数根本无法分离．这时候倘若能适当考虑区间端点的性质，先找到一个不等式成立的必要条件，从而缩小范围，然后再证明必要条件也是充分条件，那么即可求得结论；这种必要条件探路，再证充分性的方法，这就是“端点效应”．端点效应类导数题是高考压轴题的“常客”．
【解决方法】
【典例1】（2023全国甲卷改编）关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【套用模型】
解析 依题意，令，，
所以，
第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应．
则问题等价于在上恒成立，且．
【点技巧】符合类型2的情形，区间端点的函数值为0，即
第二步：代入端点值，求出参数范围．
于是的必要条件为，即，即．
【破题有招】需要注意的是，（或）只是（或）成立的一个必要条件，若此时“二阶导数”不变号，该方法没有问题；若此时“二阶导数”变号，那么所得结果就可能出现问题，导致错误出现
第三步：证明充分性，求得结果．
当时，，
设，，
则
，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
于是是在上恒成立的充要条件，所以实数a的取值范围是．
【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试）关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______．
【套用模型】
第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应．
依题意，令，，
则问题等价于在上恒成立，且，
，
令，，则，
第二步：代入端点值，求出参数范围．
又，于是在上恒成立的必要条件为，
【点技巧】经过两次代换，将不等式恒成立问题转化为函数的恒成立问题，从而转化为利用端点效应速解导数题，注意不要忘记验证，正好符合类型3的情形
，即．
第三步：证明充分性，求得结果．
当时，，
设，，则．
下面证明在上恒成立．
令，，所以在上恒成立，
所以当时，函数单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以当时，函数单调递减，所以，
于是在上恒成立．
所以是在上恒成立的充要条件．
【易遗漏】验证是在上恒成立的充分条件这一步必不可少，否则Step 2求出的参数范围是不严谨的
所以实数a的取值范围为．
【典例3】（2024河北邯郸8月开学考试节选）已知函数，若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．
【套用模型】
第一步：整体审题，分析题意，判断是否可以应用端点效应．
不等式在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，则，．
第二步：代入端点值，求出参数范围．
，则函数在区间上恒成立的必要条件为，即．
【点技巧】符合类型2的情形，区间端点的函数值为0，即，从而得出不等式成立的必要条件，求出参数的取值范围，但是不要忘记证明充分性
第三步：证明充分性，求得结果，
当时，，
令，，则，．
又在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以当时，在上恒成立．
所以是函数在区间上恒成立的充要条件，
所以实数a的取值范围是．
一、填空题
（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）
1．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
二、解答题
（22-23高三上·安徽·期末）
2．设函数
（1）求证：的导数；
（2）若对任意都有求a的取值范围．
（22-23高三上·浙江绍兴·期末）
3．设函数.
（1）当，求函数的单调区间；
（2）当时，若对任意，均有，求的取值范围.
（2023高三·全国·专题练习）
4．已知实数，设函数．
(1)求函数的单调区间：
(2)当时，若对任意的，均有，求的取值范围．
（22-23高三下·北京·开学考试）
5．已知函数．
(1)直接写出在处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最小值；
(3)若恒成立，求实数a的取值集合．
（2023·四川成都·三模）
6．已知函数，.
（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；
（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.
（2023·湖北武汉·模拟预测）
7．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）求实数的取值范围，使得在区间内恒成立（为自然对数的底数）
（2023·湖北武汉·模拟预测）
8．已知函数．
(1)当时，研究函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围．
（2023·江苏南通·三模）
9．设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.
（I）讨论f(x)的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
（2023·全国·高考真题）
10．已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
1．
【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案.
【详解】开口向下，
要想在上恒成立，只需，
解得，
故实数的取值范围是
故答案为：
2．（1）见解析；（2）（﹣∞，2]
【分析】（1）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2当且仅当a＝b时取等号．得到f'（x）≥2；
（2）把不等式变形令g（x）＝f（x）﹣ax并求出导函数令其＝0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可．
【详解】解：（1）f（x）的导数f'（x）＝ex+e﹣x．
由于，故f'（x）≥2．
（当且仅当x＝0时，等号成立）．
（2）令g（x）＝f（x）﹣ax，则g'（x）＝f'（x）﹣a＝ex+e﹣x﹣a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）＝ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g'（x）＝0的正根为，
此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．
【点睛】考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力．
3．（1）递减区间是，递增区间是.（2）
【解析】（1）求出，利用导数知识即可得函数的单调区间；
（2）令，缩小的范围，，，利用导数求出的最大值，令其小于1，研究的取值范围.
【详解】解：（1）当时，，
由于，且函数单调递增，
所以当时，，当时，，
故函数的单调递减区间是，递增区间是.
（2）令，得，所以.
因为，
令，则，
由，解得，
故在单调递增，在单调递减，
所以，
下面证明当时，，即，
令，即证，，
令，，
在区间单调递减，则.
综上所述当时，对任意，均有.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
4．(1)单调增区间是，单调递减区间是
(2)
【分析】（1）求导，根据导函数的正负得到的单调性；
（2）令，根据得到，然后分和两种情况来验证对任意的都成立．
【详解】（1），
令，解得时，令，解得，
所以的单调增区间是，单调递减区间是．
（2）令，则对任意的都成立．
由可得．
下面我们证明此时对任意的都成立．
令，令得．
故当时，，
此时，
令，则，
所以在上单调递增，则，则，
当时，，此时，
令，则，．
则在单调递增，而，，
即在有零点，，
则时，时，
则在上递减，在递增，
而．
需证明，只需证明，而，则，．
综上所述，的取值范围是．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求导得到，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到，确定恒成立，得到单调区间，计算最值即可.
（3）根据必要性得到，再代入数据计算函数在上单调递减，在上单调递增，计算最值得到答案.
【详解】（1），，
，，故切线方程为，即
（2），，
当时，，，故恒成立，单调递减.
.
（3）在上恒成立，，
必要性：，函数在的左右均大于等于，故是极值点，
，；
充分性：当时，，
根据（2），当时，单调递减.
当时，设，则，
，故单调递增，
，故单调递增，
综上所述：在上单调递减，在上单调递增，故，满足，故，实数a的取值集合为.
6．（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.
【分析】（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的正负情况，最后得出，是函数的极大值点；
（2）利用题目已有条件得，再证明时，不等式 恒成立，即证，从而可知整数的最小值为1.
【详解】解:（1）当时，.
令，则
当时，.
即在内为减函数，且
∴当时，;当时，.
∴在内是增函数，在内是减函数.
综上，是函数的极大值点.
（2）由题意，得，即.
现证明当时，不等式成立，即.
即证
令
则
∴当时，;当时，.
∴在内单调递增，在内单调递减，
的最大值为.
∴当时，.
即当时，不等式成立.
综上，整数的最小值为.
【点睛】本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题
7．（1）时，在上单调递减，时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【分析】（1）分类讨论实数，利用函数的导数讨论函数的单调性；
（2）构造新函数，利用导函数解决不等式恒成立问题.
【详解】（1）∵，，
∴，
当时，，
∴在上单调递减，
当时，
，则，
，则，
，则，
∴在上单调递减，在上单调递增；
（2）若在区间内恒成立
则在区间内恒成立，
令，则只需在内恒成立即可，
∵，
∴ 必须恒成立.
，
，
∴.
令，
在，，，
∴在，时恒大于，
∴在上单调递增，，
故在上单调递增，，
∴在上恒大于成立，
∴.
【点睛】本题考查利用导函数讨论函数的单调性，利用导函数讨论不等式恒成立求参数的取值范围，
考查分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是难题.
8．(1)在定义域内单调递增
(2)
【分析】（1）求函数的导函数可得，根据导数结构考虑构造函数，利用导数证明，取对数证明，由此证明，由此可得函数的单调性；
（2）设，，由已知可得恒成立，构造函数，讨论，利用导数求其最小值，可得a的取值范围．
【详解】（1）因为，所以，
所以函数的定义域为，且，
构造函数，则，
令，得，
∴当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
∴，∴，
∴当时，，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，
∴在上单调递增．
（2）∵，，等价于
，
令，，构造函数，
∴，，．
令，，，
注意到．
当时，，
∴，当时，，即当时，，
所以在上单调递减，所以，不符合题意．
当时，令，，
，
∴单调递增，则，
当时，则，
，单调递增，．
∴，单调递增，，符合题意．
综上所述．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
9．（I） 见解析（II） .
【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.
试题解析：（Ⅰ）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
此时，当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（Ⅱ）令=，=.
则=.
而当时，>0，
所以在区间内单调递增.
又由=0，有>0，
从而当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（Ⅰ）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令，
当时，，
因此，在区间单调递增.
又因为，所以当时，，即恒成立.
综上，.
【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题
【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．
10．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.