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第二章 模型1抽象函数与函数性质的综合模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳
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这是一份第二章 模型1抽象函数与函数性质的综合模型 （含解析）2024年高考数学三轮冲刺考点归纳，共18页。
【问题背景】函数是高中数学的重中之重，而函数的性质是高考的重点、热点也是难点.抽象函数由于表现形式的抽象性使得这部分内容的难度更加增大.这部分题型多样，难度中等.常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.抽象函数学习是一个难点，但抽象函数平时考试或在高考中考察较多，故有必要对其进行归纳总结，以便揭开其“神秘面纱”，使得对其学习不再困难.
【解决方法】
【典例1】（23-24高三上·山东德州·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数的周期为2
D.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，结合选项具体情况，确定大致解题思路.
根据函数的奇偶性得到关于的表达式，代值判断根据奇偶性判断函数图象的对称性，判断研究函数的周期性，判断根据D中式子结构的特征知也与周期性有关.
第二步：联系函数性质进行运算.函数的导电性、奇偶性等.
对于A，若为偶函数，则的图象关于直线对称，将其图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，则.
【快速分析】也可以直接用代换，直接得为偶函数
所以，即，令，得，所以，故A正确.
对于B，由可得，当时，，
即，令，则，所以，
所以函数的图象关于点对称，故B正确.
对于C，因为为偶函数，所以，
又，所以，
则，所以，
即，则，
所以函数的周期为4，故C不正确.
对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，
由，可得，
则
故D正确.
第三步：得到结论.
故选ABD.
【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试）已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在点处的切线方程为________.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义.
为奇函数因为，所以.
第二步：联系函数性质进行运算.
故是以4为周期的周期函数.
将代入，则，即，则.
对求导得，
故是以4为周期的周期函数，则，
即切点坐标为，切线斜率，
故所求切线方程为.
第三步：得到结论
所以
【典例3】（22-23高三下·福建泉州·二模）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义，构造新函数.
是定义在上的偶函数.要研究的解集，可考虑移项并构造函数.
第二步：联系函数性质进行运算.
则，所以函数也是偶函数.
，因为当时，，即，
所以函数在上单调递增，不等式，即不等式.
由得，所以，所以，解得或.
第三步：得到结论
故选B.
一、单选题
（2024·内蒙古赤峰·一模）
1．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
（2024·山东烟台·一模）
2．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
（2024·辽宁·一模）
3．已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（2024·黑龙江·二模）
4．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．B．是周期函数
C．D．
（2024·湖南邵阳·二模）
5．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
（2024·陕西西安·一模）
6．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
（23-24高三下·河南·阶段练习）
7．已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．或
C．是上的增函数D．是上的增函数
（2024·吉林白山·二模）
8．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（2024·湖南邵阳·二模）
9．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
（2024·山东聊城·一模）
10．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期B．曲线关于点对称
C．曲线关于直线对称D．都是偶函数
三、填空题
（2024·陕西西安·二模）
11．已知函数满足，.则 .
（2024·山东淄博·一模）
12．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，满足，则 .
（2024·宁夏银川·一模）
13．已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
（2024·全国·模拟预测）
14．已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
2．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以.
故选：A
3．A
【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.
【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，
故选：A
4．C
【分析】借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得.
【详解】对A：由为定义在上的奇函数，故，即，故A正确；
对B：由，则，即有，
故是以为周期的周期函数，故B正确；
对C：由，，故C错误；
对D：由，故，又，
故，故D正确.
故选：C.
5．D
【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
6．C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知，则，则，
可知函数为周期函数，最小正周期，
又当时，，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
综上所述，
故选：C.
7．AC
【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.
【详解】解：在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
8．ACD
【分析】根据对称性即可判断A，根据，，的值即可排除B,根据可求解C，根据即可求解D.
【详解】因为的图象关于中心对称，则,故A正确；
由，可得，则，取得，
在中取可得，则，
由，得，故B错误；
由，得
①②，
②-①得，又，故C正确；
又由① ，故D正确.
故选：ACD.
9．ACD
【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于D，由，所以，即，
所以的周期为4，
且，
所以，故D正确；
对于A，由为奇函数知关于对称，所以，
由得0，即，
故的周期为4且，可得，故A正确；
对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，
则有，即，所以，
令，得，故，所以关于对称，
又，所以，故B错误；
又，所以，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
10．BC
【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.
【详解】由是奇函数，故有，即有，
故，则，即，故关于对称，
由，则，即，
故关于中心对称，
由，则，又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为，故，
又，故，故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对C：由周期为，故，
又，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
11．.
【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数满足，
取，可得，
令，可得，
即
则
.
故答案为：.
12．
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对两边同时求导得
，
即，
则，，
则.
故答案为：.
13．
【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解.
【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
又，所以，
所以当时，，当时，，
由对称性当时，，当时，
所以的符号随的变化情况如下表：
所以由上表可知不等式的解集为.
故答案为：.
14．38
【分析】根据题意求得的解析式， 作出函数的部分图象和直线，结合图象可得，，，…，，进而可求得n的值，从而可求得k的最小值.
【详解】由是奇函数，是偶函数，可得，
解得．
如图，作出函数的部分图象和直线．
设的实数根从小到大依次为，，，，…，，
则数形结合可得，，，…，，
所以，解得，
结合图象可得k的最小值为．
故答案为：38.
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【问题背景】函数是高中数学的重中之重，而函数的性质是高考的重点、热点也是难点.抽象函数由于表现形式的抽象性使得这部分内容的难度更加增大.这部分题型多样，难度中等.常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.抽象函数学习是一个难点，但抽象函数平时考试或在高考中考察较多，故有必要对其进行归纳总结，以便揭开其“神秘面纱”，使得对其学习不再困难.
【解决方法】
【典例1】（23-24高三上·山东德州·期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的图象关于点对称
C.函数的周期为2
D.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，结合选项具体情况，确定大致解题思路.
根据函数的奇偶性得到关于的表达式，代值判断根据奇偶性判断函数图象的对称性，判断研究函数的周期性，判断根据D中式子结构的特征知也与周期性有关.
第二步：联系函数性质进行运算.函数的导电性、奇偶性等.
对于A，若为偶函数，则的图象关于直线对称，将其图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象关于直线对称，即为偶函数，所以，则.
【快速分析】也可以直接用代换，直接得为偶函数
所以，即，令，得，所以，故A正确.
对于B，由可得，当时，，
即，令，则，所以，
所以函数的图象关于点对称，故B正确.
对于C，因为为偶函数，所以，
又，所以，
则，所以，
即，则，
所以函数的周期为4，故C不正确.
对于D，函数的周期为4，则函数的周期也为4，
由，可得，
则
故D正确.
第三步：得到结论.
故选ABD.
【典例2】（2024湖南长沙一中9月开学考试）已知定义在上的奇函数满足，若，则曲线在点处的切线方程为________.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义.
为奇函数因为，所以.
第二步：联系函数性质进行运算.
故是以4为周期的周期函数.
将代入，则，即，则.
对求导得，
故是以4为周期的周期函数，则，
即切点坐标为，切线斜率，
故所求切线方程为.
第三步：得到结论
所以
【典例3】（22-23高三下·福建泉州·二模）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【套用模型】
第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义，构造新函数.
是定义在上的偶函数.要研究的解集，可考虑移项并构造函数.
第二步：联系函数性质进行运算.
则，所以函数也是偶函数.
，因为当时，，即，
所以函数在上单调递增，不等式，即不等式.
由得，所以，所以，解得或.
第三步：得到结论
故选B.
一、单选题
（2024·内蒙古赤峰·一模）
1．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（ ）
A．4B．16C．D．
（2024·山东烟台·一模）
2．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
（2024·辽宁·一模）
3．已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（2024·黑龙江·二模）
4．已知定义在上的奇函数满足，则以下说法错误的是（ ）
A．B．是周期函数
C．D．
（2024·湖南邵阳·二模）
5．已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
（2024·陕西西安·一模）
6．已知函数为偶函数，满足，且时，，若关于的方程至少有两解，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
（23-24高三下·河南·阶段练习）
7．已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．或
C．是上的增函数D．是上的增函数
（2024·吉林白山·二模）
8．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
（2024·湖南邵阳·二模）
9．已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
（2024·山东聊城·一模）
10．设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A．都是的周期B．曲线关于点对称
C．曲线关于直线对称D．都是偶函数
三、填空题
（2024·陕西西安·二模）
11．已知函数满足，.则 .
（2024·山东淄博·一模）
12．已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，满足，则 .
（2024·宁夏银川·一模）
13．已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为 .
（2024·全国·模拟预测）
14．已知是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数．设，若在内恰有个实数根，且这2n个实数根之和为380，则k的最小值为 ．
参考答案：
1．B
【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】因为.
故选：B.
2．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.
【详解】在上的奇函数满足，则，
于是，即函数的周期为4，
而，则，，又当时，，
所以.
故选：A
3．A
【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，化简，即得答案.
【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，
故选：A
4．C
【分析】借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得.
【详解】对A：由为定义在上的奇函数，故，即，故A正确；
对B：由，则，即有，
故是以为周期的周期函数，故B正确；
对C：由，，故C错误；
对D：由，故，又，
故，故D正确.
故选：C.
5．D
【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.
【详解】设函数，可得，
所以函数在上单调递减，
由，可得，即，
可得，所以，即不等式的解集为.
故选：D.
6．C
【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.
【详解】由已知，则，则，
可知函数为周期函数，最小正周期，
又当时，，
可知函数的图象如图所示，且的值域为，
关于的方程至少有两解，
可得函数与函数的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当时，，解得，即，
当时，，解得，即，
综上所述，
故选：C.
7．AC
【分析】A.令判断；B.令，分别令，判断；CD.由，令判断.
【详解】解：在中，
令，得，即．
因为函数为非常数函数，所以，A正确．
令，则．
令，则，①
令，则，②
由①②，解得，从而，B错误．
令，则，即，
因为，所以，所以C正确，D错误．
故选：AC
8．ACD
【分析】根据对称性即可判断A，根据，，的值即可排除B,根据可求解C，根据即可求解D.
【详解】因为的图象关于中心对称，则,故A正确；
由，可得，则，取得，
在中取可得，则，
由，得，故B错误；
由，得
①②，
②-①得，又，故C正确；
又由① ，故D正确.
故选：ACD.
9．ACD
【分析】根据已知条件可得的周期，由为奇函数可得的对称性，利用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.
【详解】对于D，由，所以，即，
所以的周期为4，
且，
所以，故D正确；
对于A，由为奇函数知关于对称，所以，
由得0，即，
故的周期为4且，可得，故A正确；
对于BC，由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称，
则有，即，所以，
令，得，故，所以关于对称，
又，所以，故B错误；
又，所以，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.
10．BC
【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.
【详解】由是奇函数，故有，即有，
故，则，即，故关于对称，
由，则，即，
故关于中心对称，
由，则，又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为，故，
又，故，故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对C：由周期为，故，
又，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
11．.
【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数满足，
取，可得，
令，可得，
即
则
.
故答案为：.
12．
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对两边同时求导得
，
即，
则，，
则.
故答案为：.
13．
【分析】首先得出的对称性结合的单调性可得的符号变化情况，由此可通过列表法求解.
【详解】由题意是偶函数，所以的对称轴是，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
又，所以，
所以当时，，当时，，
由对称性当时，，当时，
所以的符号随的变化情况如下表：
所以由上表可知不等式的解集为.
故答案为：.
14．38
【分析】根据题意求得的解析式， 作出函数的部分图象和直线，结合图象可得，，，…，，进而可求得n的值，从而可求得k的最小值.
【详解】由是奇函数，是偶函数，可得，
解得．
如图，作出函数的部分图象和直线．
设的实数根从小到大依次为，，，，…，，
则数形结合可得，，，…，，
所以，解得，
结合图象可得k的最小值为．
故答案为：38.
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