山东省泰安市泰山区泰山博文中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心，和对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，也可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，也是轴对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
2. 在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )
A. 30cm2B. 30πcm2C. 60πcm2D. 120cm2
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】∵OB＝6，OC＝8，
∴BC＝＝10cm，
∴圆锥的底面周长是2π×6＝12πcm，
∴这个漏斗的侧面积为S＝×BC×12π＝60π(cm2)．
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算的知识，解答这类题往往因为扇形的面积公式记不准确而误选其它选项．
3. 若二次函数的对称轴为直线，则关于x的方程的解为（ ）
A. 2B. 4C. 2和4D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．
【详解】解：∵二次函数y＝x2＋bx−5的对称轴为：直线x＝2，
∴＝2，解得：b＝−4，
则x2＋bx−5＝2x−13可化为：x2−4x−5＝2x−13，
解得：x1＝2，x2＝4．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像，一元二次方程等知识，利用抛物线的对称轴求得b的值是解题的关键．
4. 下列图象中，当时，函数与的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象等知识，二次函数当时，开口向上，当时，开口向下；一次函数当函数图象经过一二三象限时，，，图象经过一三四象限时，，，函数图象经过一二四象限时，，，函数图象经过二三四象限时，，，据此结合条件逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 直线经过的象限得到，，与矛盾，该选项是错误的；
B. 抛物线开口向下得到，而由直线经过第一、三象限得到，该选项是错误的；
C. 根据抛物线开口向上得到，而由直线经过第二、四象限得到，该选项是错误的；
D. 根据抛物线开口向下得到，则直线经过第二、四象限，并且，得到直线与y轴的交点在x轴下方，该选项是正确的；
故选：D
5. 已知二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了抛物线与x轴交点坐标与函数解析式的关系，由于二次函数的图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，由此得到，，接着把点，点代入解析式即可得到方程组，解方程组即可求解，根据交点坐标满足函数关系式得到关于待定字母的方程是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象与轴的正半轴交于点，点，与的正半轴交于点且，，
∴，
∴，
∴，
∴代入第一个方程得：，
故选：．
6. a、b为两个不等实数，，则的值等于（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是根据题意得：，是方程的两个根，即：，根据根与系数的关系得到，，代入代数式求值即可．
【详解】解：根据题意得：，是方程两个根，
即：，
，，
原式
．
故选：A．
7. 如图，四边形ABCD内接于，，，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠D=∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠D=180°，求出∠ABC=∠AOC=120°，解直角三角形求出OA，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵对的圆周角是，对的圆心角是，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是的内接四边形，
∴，
∴，
解得：，
∴，
过O作于E，则，
∵OE过O，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度是，
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的公式，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．
8. 矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题；根据矩形的面积得，，，则可判断、与半圆相切，根据切线长定理得到，，设，则，在中利用勾股定理得到，解得，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
为直径，
、与半圆相切，
而切于点，如下图：
，，
设，则，
，
在中，，
，解得，
．
故选：B．
9. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的图形，若点E恰好落在上，且与交于点F，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵是由绕点顺时针旋转得到图形，
故选：B．
10. 二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列结论①；②；③若方程有两根为和，且，则，其中正确的个数是（ ）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用顶点式得到，根据抛物线的开口向上得到，则，，于是可对①进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，利用时，可对②进行判断；根据抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，则可对③进行判断．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
，
抛物线的开口向下，
，
，，
，所以①错误；
当时，，解得或，
抛物线与轴的交点坐标为，，
时，，
，所以②错误；
方程有两个根和，
抛物线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为和，
，所以③正确；
综上：正确的个数为1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 在平面直角坐标系中，点(a，5)关于原点对称的点的坐标是(1，b＋1)，则点(a，b)是_______．
【答案】(﹣1，﹣6)
【解析】
【详解】根据中心对称的性质，得：a=﹣1，b+1=﹣5，解得：a=﹣1，b=﹣6，∴点（a,b）是（﹣1，﹣6）．
12. 半径为5的中，两平行弦的长度分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________．
【答案】7或1
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示，
过O作，
∵，
∴，
∴E为中点，F为中点，
∴，，
在中，，
根据勾股定理得：，
在中，，
根据勾股定理得：，
此时两平行弦间的距离；
当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得，
综上，两平行弦间的距离等于7或1．
故答案为：7或1．
13. 抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是_____（用“＜”连接）．
【答案】b＜a＜c．
【解析】
【分析】把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y＝x2+x+2求出a、b、c的值，进而得出大小关系．
【详解】把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y=x2+x+2得，
a=9﹣3+2=8，b=4﹣2+2=4，c=9+3+2=14；
因此有b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14. 如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是________________m．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
【详解】为正三角形，
，
，
∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ，
，则，
（m），
故答案为：．
15. 腰长为4的等腰直角放在如图所示的平面直角坐标系中，点A、C均在y轴上，C(0，2)，∠ACB=90，AC=BC=4，平行于y轴的直线x=-2交线段AB于点D，点P是直线x=-2上一动点，且在点D的上方，当时，以PB为直角边作等腰直角，则所有符合条件的点M的坐标为________．
【答案】或或或
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形存在性问题的求解方法，通过分类讨论，借助全等的辅助，即可得解.
【详解】∵，AC=BC=4，平行于y轴的直线交线段AB于点D，
∴
∵
∴
∴PD=2
∴
以PB为直角边作等腰直角
如下图，作⊥于R
∵
∴
∴，RP=BS=2
∴；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得；
以PB为直角边作等腰直角
同理可得，
∴M的坐标为或或或，
故答案为：或或或.
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的存在性问题，通过面积法及三角形全等的判定和性质进行求解是解决本题的关键.
三．解答题（共7小题，满分55分）
16. 在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）画圆心Q；
（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；
（3）画弦DP，使DP＝AB；
（4）弦BD的长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【解析】
【分析】（1）易得△ABC是直角三角形，取点E(1，2)，分别连接AE、CE、BE，易得∠BCE=90゜,则BE与AC的交点便是圆心Q；
（2）取点F(3，3)，连接AF，AF与圆的交点为D，连接BD，则BD平分∠ABC；
（3）取点G(2，-1)，连接CG交⊙Q于点P，连接DQ并延长交x轴于点H，交圆于点M，连接CM，则可得DH:BH=3，，易知DP=AB；
（4）判断出点D与点B的坐标，可得结论．
【详解】（1）∵，，AC=5
∴
即△ABC是直角三角形
取点E(1，2)，分别连接AE、CE、BE，则由勾股定理得：AE=BC，CE=AB
∴△ABC≌△CEA
∴∠AEC=∠ABC=90゜，∠BAC=∠ECA
∴∠BCE=∠ECA+∠ACB=∠BAC+∠ACB=90゜
∴BE为圆的直径
∴AC与BE的交点Q就是圆的圆心
所画的圆心Q如图所示：
（2）取点F(3,3)，连接AF交圆于点D，连接BD，则所画的平分∠ABC的弦BD如图所示：
（3）取点G(2，-1)，连接CG交⊙Q于点P，连接DQ并延长交x轴于点H，交⊙Q于点M，连接CM
由图可知BH:DH=1:3
∴
∴∠MDB=∠ACG
∵∠DCA=∠DBA=45゜
∴∠ACB=∠ACM+∠MCB=45゜+∠MDB=45゜+∠ACG=∠DCP
则DP=AB
（4）由作图知，，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了作图，角平分线性质，三角形的外接圆，圆周角定理，三角形函数等知识，关键是数形结合，灵活运用这些知识．
17. 如图，中，，．
（1）将各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得，画出；
（2）将各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，得，画出；
（3）将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，得，画出；
（4）在，，中，△ 与△ 成轴对称，对称轴是 ；△ 与△ 成中心对称，对称中心的坐标是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析 （4），x轴或直线，
【解析】
【分析】（1）向右平移4个单位，分别画出再依次连接，即可作答．
（2）结合，，．这三个点的纵坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答．
（3）结合，，．这三个点的横坐标分别乘以，分别作出，再依次连接，即可作答．
（4）结合所作的图形，以及轴对称和中心对称的性质，即可作答．
本题考查了直角坐标系中图形的平移，轴对称，旋转与点的坐标的数量关系，形数结合，用
数字控制图形变换．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
【小问3详解】
解：如图所示：
【小问4详解】
解：结合图形与坐标
∴在，，中，与成轴对称，对称轴是轴或直线；与成中心对称，对称中心的坐标是
18. 解下列方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）十字相乘法因式分解后求解可得；
（2）先移项，再因式分解后求解可得．
【详解】解：（1）∵（x+2）（2x-3）=0，
∴x+2=0或2x-3=0，
解得：x1=−2,x2=;
（2）
∴=0或
∴
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
19. 一个不透明的袋子中装有分别标注着汉字“文”、“明”、“淮”、“安”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一球，请直接写出球上的汉字恰好是“明”的概率为 ．
（2）若从袋中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，再次记下球上的汉字，请用画树状图或列表的方法，求两次的汉字恰好组成“文明”或“淮安”这两个词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
从4球中任取1球，球上的汉字恰好是“明”的概率为，
故答案：；
【小问2详解】
画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次的汉字恰好组成“文明”或“淮安”这两个词的结果有4个，
∴两次的汉字恰好组成“文明”或“淮安”这两个词的概率为．
【点睛】本题主要考查了用公式法计算概率和画树状图或列表的方法计算概率，正确画出树状图是做出本题的关键．
20. 某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W元．
（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？
（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；（2）192元.
【解析】
【分析】（1）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出等式求出答案；
（2）直接利用每件利润×销量=总利润进而得出函数关系式，利用二次函数增减性求出答案．
【详解】（1）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150，
解得：x1=25，x2=35，
答：该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；
（2）由题意得：W=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2（x﹣30）2+200，
∵a=﹣2，
∴抛物线开口向下，当x＜30时，y随x的增大而增大，
又由于这种农产品的销售价不高于每千克28元
∴当x=28时，W最大=﹣2×（28﹣30）2+200=192（元）．
∴销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确应用二次函数增减性是解题关键．
21. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）旋转，得到，，进而得到，证明，推出，即可得证；
（2）连接，等边对等角，得到，圆周角定理，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即，即可得证．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质，得，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A，E，B，D四点共圆；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，圆周角定理，切线的判定．掌握相关性质和定理，是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线对称轴与BC交于点D，点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长；
（3）将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B′OC′，点B，C的对应点分别为B′，C′，点E为直线BC上一点，连接B′E，C′E．当△B′C′E为等腰三角形时，求符合条件的点E的坐标．
【答案】（1）y＝x﹣3
（2）
（3）点E的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形；
（2）先求出S△PBD最大时，P（，﹣），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NB的长，计算即可；
（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，
x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝3，
∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3），
设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入，
得，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x﹣3；
【小问2详解】
解：如图1，过点P作PG∥y轴，
由（1）知：直线BC解析式为y＝x﹣3，B（3，0），
设P（a，a2﹣a﹣3），
∴G（a，a﹣3），
∴PG＝a﹣3﹣（a2﹣a﹣3）＝﹣a2+a，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣4，
∴抛物线对称轴为x＝，
∴点D的横坐标为，
S△PBD＝×（3﹣）×PG＝（﹣a2+a）＝﹣（a﹣）2+，
∵0＜a＜3，﹣＜0，
∴当a＝时，S△PBD最大，此时点P（，﹣），
如图2，作点P关于y轴的对称点P′（﹣，﹣），连接P′B，交y轴于点M，交抛物线对称轴于点N，
连接PM，点Q沿P→M→N→B运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NB的长，
∵P、P′关于y轴对称，
∴PM＝P′M，
∴PM+MN+NB＝P′M+MN+NB＝P′B，
作P′H⊥x轴于点H，P′B＝，
∴点Q经过的最短路径的长为PM+MN+AN＝；
【小问3详解】
解：如图3，过C′作C′R⊥x轴于点R，作B′T⊥y轴于点T，
设E（m，m﹣3），
∵将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'，
∴∠COC′＝∠BOB′＝60°，OC′＝OC＝3，OB′＝OB＝3，
∴∠C′OR＝∠B′OT＝30°，
∵∠ORC′＝∠OTB′＝90°，
∴C′R＝，OR＝，B′T＝，OT＝，
∴C′（﹣，﹣），B′（，﹣），
∴B′C′2＝BC2＝OB2+OC2＝（3）2+32＝36，
C′E2＝[m﹣（﹣）2+[m﹣3﹣（﹣）]2＝m2+2m+9，
B′E2＝（m﹣）2+[m﹣3﹣（﹣）]2＝m2﹣2m+9，
∵△B'C'E为等腰三角形，
∴B′C′＝C′E或B′C′＝B′E或C′E＝B′E，
当B′C′＝C′E时，36＝m2+2m+9，
解得：m＝，
∴E（，）或（，）；
当B′C′＝B′E时，36＝m2﹣2m+9，
解得：m＝，
∴E（，）或（，），
当C′E＝B′E时，m2+2m+9＝m2﹣2m+9，
解得：m＝0，
当m＝0时，点B′，C′，E三点在一条直线上，不能构成三角形．
综上所述，点E的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数最值的确定方法，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点．