2025版高考数学一轮总复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件

这是一份2025版高考数学一轮总复习第6章数列第3讲等比数列及其前n项和课件，共60页。PPT课件主要包含了数不为零，a1qn－1，amqn－m，na1，题组二走进教材，2由1可知，ABC等内容，欢迎下载使用。

知识梳理 · 双基自测
知 识 梳 理知识点一　等比数列的概念1．等比数列的定义如果一个数列______________________________________________ ______________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示.符号语言：____________(n∈N*，q为非零常数).
从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常
2．等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么______叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝________.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个.
知识点二　等比数列的有关公式1．通项公式：an＝________＝________.2．前n项和公式：
知识点三　等比数列的主要性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和.
2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m， ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*).
4．当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列.
5．等比数列{an}的单调性
(4)当q<0时，{an}为摆动数列.
归 纳 拓 展等比数列的概念的理解(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同.如{an}为等比数列，a3＝－1，a11＝－4则a7＝－2.(3)等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0).(4)若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝kan＋b(k≠0，k≠1)，则数列{an}必为等比数列.
(6)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则{lgaan}(a>0且a≠1)成等差数列，反之亦然.(7)若{an}是等差数列，则{aan}(a>0，a≠1)成等比数列，反之亦然.
双 基 自 测题组一　走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列{an}的公比q>1，则该数列单调递增.( )(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )(3){an}为等比数列，若a3＝1，a9＝4，则a6＝2.( )(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.( )
(6)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )
(2)若a＝b＝c＝0，则a，b，c不成等比.
(4)an必须大于0.(5)讨论a＝0,1和a≠0,1.(6)q＝－1时S4＝S8＝S12＝0.
3．(选修2P34T1改编)如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设An是第n次挖去的小三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是第2次挖去的三个小三角形面积之和)，则前10次挖去的所有小三角形面积之和的值为( )
题组三　走向高考5．(2020·课标Ⅰ，10,5分)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝( )A.12 B．24 C．30 D．32
6．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A.14 B．12 C．6 D．3
7．(2023·新课标Ⅱ，8,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A.120 B．85 C．－85 D．－120[解析]　解法一：设等比数列{an}的公比为q，
解法二：由等比数列前n项和的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等比数列，可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，
设等比数列{an}的公比为q，
所以S4－S2＝－4，S6－S4＝－16，所以S8－S6＝－64.又因为S6＝－21，所以S8＝－85，故选C.
考点突破 · 互动探究
等比数列的基本运算——自主练透
1.(多选题)已知单调递增的正项等比数列{an}中，a5－a1＝30，a4－a2＝12，其公比为q，前n项和Sn，则下列选项中正确的有( )A.q＝2 B．a8＝512C.Sn＝2an－1 D．Sn3．(2023·全国甲理，5,5分)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝( )
[解析]　设数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可知q≠1.
∴q4－5q2＋4＝0，解得q2＝4或q2＝1，
4．(2023·全国甲文，13,5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6＝7S3，则{an}的公比为_________.[解析]　设等比数列{an}的公比为q，q≠1，
∴8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，
名师点拨：等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用.特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式.
等比数列性质的应用——多维探究
角度1　等比数列项的性质的应用
2．(2023·洛阳统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，则lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a20＝________.[解析]　由等比数列的性质可得a10a11＝a8a13，所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，所以a10a11＝32，所以lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a20＝lg2(a1·a2·a3·…·a20)＝lg2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝lg2(a10·a11)10＝lg23210＝50.
[引申]　在本例1中若将a3，a15改为a2，a16，其他不变，该题应选( )[解析]　a2＋a16＝－6，a2a16＝2，
名师点拨：1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N*，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
角度2　等比数列前n项和的性质 1.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝______.
[解析]　解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，
∴S12＝15S3＝150.故选A.
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A.解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A.
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，
解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A.
[引申]本例2中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？[解析]　由本例解法一知q3＝2或－3，当q3＝2时，S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150；当q3＝－3时，S12＝S9＋q9S3＝70－270＝－200.故选C.
名师点拨：1．等比数列前n项和的性质主要是：若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列.2．利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度.解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口.
4．S2n＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn(1＋qn＋q2n)，….
【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙理，15,5分)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.[解析]　由等比数列的性质得a4a5＝a3a6≠0，∵a2a4a5＝a3a6，∴a2＝1.
∴q15＝－8，∴(q5)3＝－8，∴q5＝－2，∴a7＝a2q5＝1×(－2)＝－2.
[解析]　解法一：不妨设S4＝1，则S12＝7，∵S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，∴(S8－1)2＝7－S8，解得S8＝3或－2，
等比数列的判定与证明——师生共研
[解析]　(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)·(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{an＋3)为等比数列，因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3n－3，
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即an＋1＝2an＋3，所以an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝6≠0，所以存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列，所以an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1).
名师点拨：等比数列的判定方法
3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中.
【变式训练】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式.
所以an＋1－bn＋1＝an－bn＋2，又a1－b1＝1，所以数列{an－bn}是首项为1、公差为2的等差数列.
名师讲坛 · 素养提升
数列中的数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生受困于背景陌生，无处着手.本专题就数列中的数学文化试题通过典型分析，让学生提高审题能力，增强对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解.
1.(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B．3 474块C.3 402块D．3 339块
2．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为( )
名师点拨：以数学文化为背景的等差(比)数列问题的求解关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建模型，即由题意构建等差(比)数列的模型；③解模，即把文字语言转化为求等差(比)数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.
【变式训练】1．(多选题)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的有( )
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短
[解析]　由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸).故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误，故选ABC.